一、选择题在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.
3. 设
,则f(x,y)在(0,0)处
- A.连续但不可偏导
- B.可偏导但不连续
- C.连续、可偏导但不可微
- D.可微
A B C D
C
所以
,故f(x,y)在(0,0)处连续.
,所以f'
x(0,0)=0,同理f'
y(0,0)=0,即f(x,y)在(0,0)处可偏导.
所以f(x,y)在(0,0)处不可微,选(C).
5. 用定积分表示曲线(x
2+y
2)
2=x
2-y
2所围成的平面区域的面积A为
A B C D
C
双纽线(x
2+y
2)
2=x
2-y
2的极坐标方程形式为r
2=cos2θ,
在第一卦限部分的区域可表示为
,
根据对称性得A=4A
1,其中A
1为区域D
1的面积.
二、填空题1.
2.
4. 摆线
(a>0,0≤t≤2π)绕x轴一周旋转曲面的表面积为______.
5. 微分方程
的通解为______.
6. 设A为三阶矩阵,其特征值为λ
1=-2,λ
2=λ
3=1,其对应的线性无关的特征向量为α
1,α
2,α
3,令P=(4α
1,α
2-α
3,α
2+2α
3),则P
-1(A
*+3E)P为______.
因为A的特征值为λ
1=-2,λ
2=λ
3=1,所以A
*的特征值为μ
1=1,μ
2=μ
3=-2,A
*+3E的特征值为4,1,1,又因为4α
1,α
2-α
3,α
2+2α
3也为A的线性无关的特征向量,所以4α
1,α
2-α
3,α
2+2α
3也是A
*+3E的线性无关的特征向量,所以
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 设f(x)满足xf"(x)+3x[f'(x)]
2=1-e
-x.
(Ⅰ) 若f(x)在x=x
0点(x
0≠0)取得极值,证明其为极小值;
(Ⅱ) 若f(0)=f'(0)=0,证明:当x≥0时,有
.
(Ⅰ) 由f(x)可导得f'(x
0)=0,又
,无论x
0>0或x
0<0,均有f"(x
0)>0,所以该点为函数的极小点.
(Ⅱ)
,令F(x)=x-1+e
-x,则F'(x)=1-e
-x=
(x≥0),所以F(x)为增函数,从而F(x)≥F(0)=0,故
,即f"(x)≤
,积分得
,再积分得
,所以
.
2. 设g(x)二阶可导,且
(Ⅰ) 求常数a,使得f(x)在x=0处连续;
(Ⅱ) 求f'(x),并讨论f'(x)在x=0处的连续性.
(Ⅰ) 当f(x)在x=0处连续时,g(0)=1,
当f(x)在x=0处连续时,a=g'(0).
所以f'(x)在x=0处连续.
3. 设a为实数,问方程e
x=ax
2有几个实根?
当a=0时,方程无解;
当a≠0时,令
由φ'(x)=2xe
x-x
2e
-x-x(2-x)e
-x=0得x=0或x=2.
当x<0时,φ'(x)<0;
当0<x<2时,φ'(x)>0;
当x>2时,φ'(x)<0,
于是
为极小值,
为极大值,又
1) 当a≤0时,:方程无解;
2)
时,方程有两个根,分别位于(-∞,0)内及x=2;
3) 当
时,方程有三个根,分别位于(-∞,0),(0,2),(2,+∞)内;
4) 当
时,方程只有一个根,位于(-∞,0)内.
4. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),f(a)=f(b)=1.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得
abe
η-ξ=η
2[f(η)-f'(η)].
令
,由柯西中值定理,存在η∈(a,b),
5. 设函数f(x)(x≥0)连续可导,且f(0)=1.又已知曲线y=f(x)、x轴、y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与曲线y=f(x)在[0,x]上的一段弧长相等,求f(x).
曲线y=f(x)、x轴、y轴及过点(x,0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积为
;曲线y=f(x)在[0,x]上的一段弧长为
,根据题意得
两边对x求导得
6. 计算
,其中D是由x
2+y
2=4与x
2+(y+1)
2=1围成的区域.
由对称性得
令D
0:x
2+(y+1)
2≤1,
7. 设函数f(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数,函数
满足
,若f(1)=0,f'(1)=1,求f(x).
由f'(1)=1得C
1=1,于是
,故f(x)=lnx+C
2,
又由f(1)=0得C
2=0,故f(x)=lnx.
8.
(Ⅰ) 当a,b为何值时,β不可由α
1,α
2,α
3线性表示;
(Ⅱ) 当a,b为何值时,β可由α
1,α
2,α
3线性表示,写出表达式.
1) 当a≠-6,a+2b-4≠0时,因为
,所以β不可由α
1,α
2,α
3线性表示;
2) 当a≠-6,a+2b-4=0时,
,β可由α
1,α
2,α
3唯一线性表示,表达式为β=2α
1-α
2+0α
3;
当a=-6时,
当a=-6,b≠5时,
,β可由α
1,α
2,α
3唯一线性表示,表达式为β=6α
1+lα
2+2α
3;
当a=-6,b=5时,
,β可由α
1,α
2,α
3线性表示,表达式为β=(2k+2)α
1+(k-1)α
2+kα
3,其中k为任意常数.
9. 设A为三阶矩阵,α
1,α
2,α
3是三维线性无关的向量组,且Aα
1=α
1+3α
2,Aα
2=5α
1-α
2,Aα
3=α
1-α
2+4α
3.
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值;
(Ⅱ) 求可逆Q,使得Q
-1AQ为对角阵.
(Ⅰ) 令P=(α
1,α
2,α
3),因为α
1,α
2,α
3线性无关,所以P可逆,
因为Aα
1=α
1+3α
2,Aα
2-5α
1-α
2,Aα
3=α
1-α
2+4α
3,
所以(Aα
1,Aα
2,Aα
3)=(α
1+3α
2,5α
1-α
2,α
1-α
2+4α
3),
从而
得A的特征值为λ
1=-4,λ
2=λ
3=4.
(Ⅱ) 因为,A~B,所以B的特征值为λ
1=-4,λ
2=λ
3=4.
当λ
1=-4时,由(-4E-B)X=0得
当λ
2=λ
3=4时,由(4E-B)X=0得
令
因为P
-1AP=B,所以
取Q=PP
1=(-α
1+α
2,5α
1+3α
2,α
1+3α
2),则