一、选择题下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则______.
- A.当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
- B.当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
- C.当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数
- D.当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数
A B C D
A
[解析] 原函数.
[解题分析] 由已知f(x)是连续函数,则
(t)dt是f(x)的一个原函数,从而f(x)的任一原函数F(x)可表示为
(t)dt+C,即F(x)=
(t)dt+C,其中C为任意常数,且有
当f(x)是奇函数时,
即F(x)为偶函数,A成立.
当f(x)是偶函数时,
所以B不成立.
关于选项C,D可举反例予以排除,如令f(x)=1+cosx,则周期为2π,F(x)=x+sinx+C不是周期函数.又令f(x)=x,为单调增函数,但
不是单调函数.综上,选A.
5. 设f(x)和φ(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则______.
A.φ[f(x)]必有间断点
B.[φ(x)]
2必有间断点
C.f[φ(x)]必有间断点
D.
必有间断点
A B C D
D
[解析] 间断点的判定.
[解题分析] 用反证法.设
无间断点,即连续,又已知f(x)连续,于是
·f(x=一φ(x)连续.这与题设矛盾,故应选D.
[评注] 本题也可举反例用排除法判定:设f(x)=1,φ(x)=
,则有φ[f(x)]=1,[φ(x)]
2=1,f[φ(x)]=1,都处处连续,可排除A,B,C,知应选D.
7. 设A是任-n(n≥3)阶方阵,A
*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)
*=______.
- A.kA*
- B.kn-1A*
- C.knA*
- D.k-1A*
A B C D
B
[解析] 伴随矩阵A
*的定义.
[解题分析] 题设未给出A
-1存在的条件,所以公式A
*=|A|A
-1不可直接应用.但由题意知结论对A可逆应该也成立,即假没A可逆,则
从而知只有B成立.题设中k≠0,±1的条件是为保证正确选项的唯一性.严格的做法是由伴随矩阵的定义出发,设A=(a
ij),a
ij的代数余子式为A
ij,则A
*=(A
ij)
T.令kA=(ka
ij),ka
ij的代数余子式记为B
ij,则B
ij=k
n-1A
ij.因此
(kA)
*=(B
ij)
T=(k
n-1A
ij)
T=k
n-1(A
ij)
T=k
n-1A
*.
8. 设λ
1,λ
2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1,α
2,则α
1,A(α
1+α
2)线性无关的充分必要条件是______.
A B C D
B
[解析] 特征值与特征向量.
[解题分析] 根据特征值特征向量的定义,有
A(α
1+α
2)=Aα
1+Aα
2=λ
1α
1+λ
2α
2,
α
1,A(α
1+α
1)线性无关
k
1α
1+k
2A(α
1+α
2)=0.
k
1,k
2恒为0
(k
1+λ
1k
2)α
1+λ
2k
2α
2=0,k
1,k
2恒为0.
所以
k
1,k
2恒为0.
而齐次方程组
只有零解
所以选B.
二、填空题1.
______.
0
[解析] 函数求极限.
[解题分析]
[评注] 一般地,若a>0,b>0,则
2. 曲线
在t=2处的切线方程为______.
3x-y-7=0
[解析] 曲线的切线方程.
[解题分析] 按照参数方程求导得切线斜率,代入点斜式即得切线方程.
当t=2时,x
0=5,y
0=8,
且
可知过曲线
上对应于t=2处的切线斜率为3,切点为点(5,8).
因此切线方程为y-8=3(x-5),即3x-y-7=0.
3.
______.
[解析] 不定积分.
[解题分析] 被积函数为幂函数与指数函数的乘积,因此采用分部积分法,将幂函数看作u.
[评注] 此题为明了起见,也可以先令x
2=t,原式化为
后,再分部积分.
4. 设矩阵A=
,E为二阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=______.
2
[解析] 行列式、矩阵的计算.
[解题分析] 由已知BA=B+2E,有B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B|·|A-E|=4.
因为|A-E|=
=2,所以|B|=2.
5. 设3阶矩阵A的特征值λ是2,3.若行列式|2A|=-48,则λ=______.
-1
[解析] 矩阵的特征值及其与矩阵的行列式之间的关系.
[解题分析] 因为矩阵的行列式等于它所有特征值的积,且|2A|=23|A|=-48,所以23|A|=23×λ×2×3=-48,则λ=-1.
6. 微分方程yy'+y'
2=0满足初始条件y|
x=0=1,y'|
x=0=
的特解是______.
y2=x+1
[解析] 二阶微分方程.
[解题分析] 由题设,令y'=u,则y"=
代入原方程,得
由初始条件知u≠0,所以化为
+u=0.分离变量得
两边积分得lnu=lnC-lny.由已知y=1时,u=
,可解得C=
于是lnu=ln
,即u=
.将y'=u代入上式,有
,分离变量并积分得y
2=c+C
1.由初始条件x=0,y=1,解得C
1=1,所以y
2=x+1.此即所求特解.
三、解答题1. 求
[解析] 函数求极限.
[评注] 注意本题x为负,因此分子分母同除以x时,将x放入根式内应小心符号.
2. 计算
本题为“1
∞”型未定式,除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外,由于已知数列的表达式,也可将n换为x转化为函数极限进行计算.一般地.若
因为
故原极限=e
4.
[解析] 三角函数求极限.
3. 设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义,在区间[0,2]上,f(x)=x(x
2-4).若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数.
(1) 写出f(x)在[-2,0]上的表达式.
(2)问k为何值时,f(x)在x=0处可导.
由题设,f(x)=x(x
2-4),x∈[0,2].
当x∈[-2,0)时,x+2∈[0,2),则由f(x)=kf(x+2)知
f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)
2-4]
=k(x+2)(x
2+4x)=kx(x+2)(x+4),x∈[-2,0).
由导数定义及f(0)=0.
有
令f'(0
+)=f'(0
-),则k=-
.所以当k=-
时,f(x)在x=0处可导.
[解析] 分段函数、导数的定义.
4. 设ρ=ρ(x)是抛物线y=
上任一点M(x,y)(x≥1)的曲率半径,S=S(x)是该抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长,计算
的值(在直角坐标系下曲率公式为k=
由题设,
且抛物线在点M(x,y)处的曲率半径为
抛物线上
的弧长为
因此得到ρ(x)与S(x)都是x的函数,从而由
知
且
因此
[解析] 曲率、弧长公式、参数方程求导.
5. 计算
[详解1] 分子、分母同乘以某一三角函数.
[详解2] 用万能代换.
今t=tan
则sinx=
cosx=
x=2arctant,dx=
于是
[详解3] 用半角公式.
[详解4] 用半角公式.
[解析] 本题主要考查三角函数有理式不定积分的计算技巧和方法,由于三角函数的变形公式非常多,相应地,本题也有多种解法.
[评注] 不定积分的最后结果表达式,采用不同的计算方法可能在形式上不完全一致,这是正常的.最后结果是否正确只需对其求导即可验证.若求导后等于被积函数,说明一定是正确的.
6. 已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x
2+
≤1}上的最大值和最小值.
(1) 求f(x,y)的表达式.
由已知有dx=dx
2-dy
2=d(x
2-y
2)
z=x
2-y
2+C.
又因为f(1.1)=2,所以C=2,从而z=f(x,y)=x
2-y
2+2.
(2) 求f(x,y)在D内驻点及相应函数值.
解
得(x,y)=(0,0),即f(x,y)在D内有唯一驻点(0,0),且f(0,0)=2.
(3) 求f(x,y)在D的边界y
2=4(1-x
2)上的最大值和最小值.将y
2=4(1-x
2)(|x|≤1)代入z=x
2-y
2+2,得
z(x)=x
2-4(1-x
2)+2=5x
2-2.
显然,z(x)在[-1,1]上的最大值为3,最小值为-2.
综上所述,z=f(x,y)在D上的最大值是max{2,3,-2}=3,最小值是min{2,3,-2}=-2.
[解析] 多元函数的最值.
7. 设矩阵A=
,矩阵X满足A
*X=A
-1+2X.其中A
*是A的伴随矩阵.求矩阵X.
根据已知A
*X=A
-1+2X,得(A
*-2E)X=A
-1,由A左乘该式,并利用公式A
*=|A|A
-1,则得(|A|E-2A)X=E,其中
从而
因此
[解析] 矩阵方程.
8. 已知α
1=(1,4,0,2)
T,α
2=(2,7,1,3)
T,α
3=(0,1,-1,a)
T,β=(3,10,b,4)
T.问:
(1) a,b取何值时,β不能由α
1,α
2,α
3线性表示?
(2) a,b取何值时,β可由α
1,α
2,α
3线性表示?并写出此表示式。
向量β能否由α
1,α
2,α
3线性表示,实质上等价于下述方程组有解或无解的问题:Ax=β,其中
从而
相应的增广矩阵为
利用初等行变换,将B化为阶梯形如下
(1) 当b≠2时,r(A)<r(B),此时方程组Ax=β无解,即β不能由α
1,α
2,α
3线性表示.
(2) 当b=2,a≠1时,r(A)=r(B)且r(A)=3,此时方程组Ax=β有唯一解,且相应的行简化阶梯形为
因此该唯一解为x=
因此β可由α
1,α
2,α
3唯一表示为β=-α
1+2α
2.
当b=2,a=1时,r(A)=r(B)且r(A)=2<3,此时方程组Ax=β有无穷解,相应的行简化阶梯形为
其导出组的基础解系为(-3,3,1)
T,原方程组特解为(-1,2,0)
T,则通解为
C(-3,3,1)
T+(-1,2,0)
T,
其中C为任意常数.此时β可由α
1,α
2,α
3表示为
β=-(3C+1)α
1+(3C+2)α
2+cα
3.
[解析] 线性代数方程组解的性质.
9. 设
,A=αβ
T,B=β
Tα,其中β
T是β的转置.求解方程
2B
2A
2x=A
4x+B
4x+γ.
由题设,不难求得
而 A
2=(αβ
T)(αβ
T)=α(β
Tα)β
T=αβ
T=2A,
则A
4=4A
2=8A.由此可将原矩阵方程化简为16Ax=8Ax+16x+γ,即8(A-2E)x=γ,其中E为三阶单位矩阵.令x=(x
1,x
2,x
3)
T,代入上式,得
此方程组的增方矩阵为
经由初等行变换化为行简化阶梯形为
则导出组的基础解系为
而原方程组有特解
所以
其中C为任意常数.
[解析] 矩阵方程.
10. 设矩阵A=
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
由题设,A=
,则|A-λE|=0,
即其行列式
可得出
(λ-2)(λ
2-8λ+18+3a)=0.
若λ=2是特征方程的二重根,则2
2-8·2+18+3a=0,解之得a=-2,此时λ
1=λ
2=2,λ
3=6,且A-2E=
.显然r(A-2E)=1,所以对应特征值2有两个线性无关的特征向量,因此A可相似对角化.
若λ=2不是特征方程的二重根,则λ
2-8λ+18+3a=0有二重根,即64-4(18+3a)=0,解之得a=-
.此时λ
1=2,λ
2=λ
3=4,
且
显然r(A-4E)=2,所以对应于特征值4只有一个线性无关的特征向量,所以A不可相似对角化.
[解析] 矩阵对角化、相似矩阵.