B

[解析] 函数的极大值、极小值．
   [解题分析] 因为f(x)在上可导，f'(x)=xcosx＞0在区间上成立，f'(x)＜0在上成立，所以函数f(x)在区间上单调增加，在上分别单调递减，所以f(0)是极小值，是极大值．故选B．

C

[解析] 极值点、拐点．
   [解题分析] 本题考查极值点与拐点的定义，若严格采用解析方法分析，f'(x)与f"(x)在x=0左、右侧的性质较为繁琐，由于f(x)=|x(1-x)|是二次函数加绝对值符号，图形不难作出，可由此直接判断，如右图所示．f(0)=0且f(0)为极小值，而在x=0左侧，f(x)下凸，在x=0右侧，f(x)上凸，因此(0，0)为y=f(x)之拐点，综上选C．
   

D

[解析] 渐近线的求法．
   [解题分析] ，则x=0是曲线的垂直渐近线；
   ，则y=0是曲线的水平渐近线；
   ，则y=x是曲线的斜渐近线．
   故应选D．

C

[解析] 分段函数的高阶导数．
   [解题分析] 因3x³处处任意阶可导，只需考查x²|x|=ψ(x)，它是分段函数，x=0是连接点．
   
   又
   即
   同理可得
   即
   因y=|x|在x=0处不可导ψ"(0)不存在．应选C．

A

[解析] 函数的单调性、奇偶性．
   [解题分析] 排除法．分别举反例如下：
   B的反例：取f(x)=cosx．F(x)=sinx+1不是奇函数．
   C的反例：取f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x不是周期函数．
   D的反例：取f(x)=x，，不是单调增函数．
   所以，应选A．
   也可以直接证明A正确．f(x)的全体原函数F(x)可表示为。于是
   
   故应选A．
   [点评] 设f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，可得如下结论：
   (1) 若f(x)是奇函数，则f(x)的每个原函数都是偶函数．
   (2) 若f(x)是偶函数，则f(x)有且仅有一个原函数是奇函数．
   (3) 若f(x)是以T＞0为周期的周期函数，则f(x)的任一原函数必为一个一次函数与一个以T为周期函数之和；若进一步设，则f(x)的每个原函数都是以T为周期的周期函数．

C

[解析] 矩阵的计算．
   [解题分析]

D

[解析] 向量组的秩．
   [解题分析] 设a₁'，a₂'，…，为α₁，α₂，…，α_s的极大线性无关组，则它也是α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_s的极大线性无关组，所以D结论成立．

C

[解析] 随机变量的无偏估计量．
   [解题分析] 因为
   由辛钦大数定律可知
   根据依概率收敛的性质可知
   
   所以
   故选C．

-3

[解析] 矩阵的秩．
   [解题分析] 由题设r(A)=3，则|A|=0，即
   
   从而k=-3或k=1．当k=1时，
   
   则r(A)=1，与已知矛盾，所以k=-3．

0.9

[解析] 相关系数．
   [解题分析] 本题考查相关系数的定义，由题设，D(Z)=D(X)，
   cov(Z，Y)=cov(X-0.4，Y)=E[(X-0.4-E(X-0.4))(Y-E(Y))]
   =E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=cov(X，Y)，
   因此

2e³

[解析] 一元复合函数求导法则．
   [解题分析] 已知f(x)在x=2的某邻域内可导，且f'(x)=e^f(x)，所以f'(x)在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数．f(x)二阶可导，且
   f"(x)=[e^f(x)'=f'(x)e^f(x)=e2^f(x)．
   于是f"(x)也在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)三阶可导，且
   f'"(x)=[e^2f(x)'=2f'(x)e^2f(x)=2e^3f(x)．
   将f(2)=1代入可得f'"(2)=2e³．

[解析] 大数定律．
   [解题分析] 由题设，X₁，X₂，…，X_n独立同分布，从而也独立同分布，且
   
   由此服从大数定律，即，
   
   因此依概率收敛于。

λ＞2

[解析] 导数的连续性．
   [解题分析] 由题设。当x≠0时，
   
   当x=0时，
   
   又
   因此，当λ＞2时，，即f'(x)在x=0处连续．所以λ的取值范围是λ＞2．

[解析] 向量组的线性相关性．
   [解题分析] n个n维向量线性相关|α₁，α₂…α_n|=0．根据题意有
   
   因为a≠1，所以。

设x₁+x₂是A的属于某个特征值λ的特征向量．则
   A(x₁+x₂)=λ(x₁+x₂)．
   由已知，
   Ax₁=λ₁x₁，Ax₂=λ₂x₂，λ₁≠λ₂，
   所以A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂=λ₁x₁+λ₂x₂，
   于是λ₁x₁+λ₂x₂=λ(x₁+x₂)，
   从而(λ₁-λ)x₁+(λ₂-λ)x₂=0
   即λ₁=λ₂，这与假设矛盾．
   所以x₁+x₂不是A的特征向量．

[解析] 可用反证法，涉及抽象矩阵的特征值、特征向量的问题时往往从定义着手分析．
   [评注] 这种否定论述的命题往往用反证法证明是最方便的．

因为Z=X+Y．所以
   
   (Ⅱ) 因为Z=X+Y，故随机变量Z的分布函数
   F(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}．
   显然当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，即F(z)=1；相反当z＜-1时，X，Y只能取空值，则有F(z)=0；而当-1≤z＜2时，
   
   当-1≤z＜0时，
   当0≤z＜1时，
   
   当1≤z＜2时，
   
   故可得到随机变量Z的分布函数和概率密度分别为
   

[解析] 随机变量的条件概率与概率密度．

(1) 因为A与B相似，故其特征多项式相同，即
   |λE-A|=|λE-B|，
   (λ+2)[λ²-(x+1)λ+(x-2)]=(λ+1)(λ-2)(λ-y)，
   令λ=0，得2(x-2)=2y，即y=x-2，
   令λ=1，得y=-2，从而x=0．
   (2)由(1)知
   
   对应于A的特征值-1、2、-2的特征向量分别为
   ξ₁=(0，2，-1)^T，ξ₂=(0，1，1)^T，ξ₃=(1，0，-1)^T，
   则可逆矩阵，满足P^-1AP=B．

[解析] 由此可定出参数x，y．若A与B相似，则|λE-A|=|λE-B|对所有λ均成立．
   [评注] 若A与B相似，则有|λE-A|=|λE-B|，|A|=|B|，r(A)=r(B)，一般由以上三个等式求出A、B中所含的未知参数．

由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2]上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，从而
   
   由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使
   
   由已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此
   f(η)=f(3)=1，η∈[0，2]．
   由罗尔定理，知存在，使f'(ξ)=0．证毕．

[解析] 介值定理、微分中值定理．

由题设，知年利率为r，则由连续复利公式，现时本金A元，则到t年时本金利息合计应为R(t)=Aeⁿ，因此要使t年时本金利息合计为R(t)，则现时本金应为A(t)=R(t)e^-n，已知这批酒窖藏t年末售出总收入R的现值为A(t)=Re^-rt，又已知，从而
   
   且
   所以是A的极大值点，从而也就是最大值点，即应窖藏售出，
   当r=0.06时，

[解析] 一元函数的最值．

方程两边对x求导得
   f'(x)=3f(x)+2e^2x，即f'(x)-3f(x)=2e^2x，
   令x=0，由原方程得f(0)=1．
   于是，原问题就转化为求微分方程f'(x)-3f(x)=2e^2x满足初始条件f(x)=1的特解．
   由一阶线性微分方程的通解公式，得
   
   代入初始条件f(0)=1，得C=3，
   从而f(x)=3e^3x-2e^2x．

[解析] 先在等式两边对x求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数f(x)的微分方程，再求解该微分方程．

如图，由得曲线l₁与曲线l₂的交点为，所求平面图形面积为
   
   因为S₁=S₂，所以，得a=3．
   

[解析] 先求出曲线l₁与曲线l₂的交点，然后利用定积分求平面图形面积的公式计算出S₁和S₂．由S₁=S₂求a的值．
   [评注] 本题是利用定积分求面积的基本题型，只是以反问题的形式出现，即已知面积的关系反求参数a，这种出题方式应引起注意．

(1) 因为
   
   当λ=3时，代入上式解得y=2．于是
   
   (2) 方法一  由A^T=A，得(AP)^T(AP)=P^TA²P，
   而矩阵
   考虑二次型
   
   令y₁=x₁，y₂=x₂．，y₄=x₄，得
   
   取
   则有
   方法二  先求出A²的特征值λ₁=1(三重)，λ₂=9．
   对应于λ₁=1的特征向量为
   α₁=(1，0，0，0)^T，α₂=(0，1，0，0)^T，α₃=(0，0，-1，1)^T．
   经正交并单位化后，得向量组β₁=(1，0，0，0)^T，β₂=(0，1，0，0)^T
   对应于λ₂=9的特征向量为α₄=(0，0，1，1，)^T，经单位化后，得
   
   令
   则

[解析] 由定义有|3E-A|=0，由此可定出参数y．考虑到A²为对称矩阵，而(AP)^T(AP)=P^TA²P，化其对角矩阵方法有两种：转化为对应二次型x^TA²x，通过非退化线性变换x=Py化为标准形，相应求出P；或者求出A²的特征值、单位化，最后构造出正交矩阵P，本题所求P不唯一．
   [评注] 将一个实对称矩阵化为对角阵可用二次型的配方法也可用正交变换法，但两者是有本质区别的．用配方法得到的对角阵的对角线上的元素不一定是矩阵特征值，得到的可逆矩阵P也不一定是正交的，而正交变换法得到的对角线上的元素一定是矩阵特值，得到可逆矩阵P也一定是正交的．

[详解1] 设事件A_i={部件i需要调整}，i=1，2，3．则A₁，A₂，A₃相互独立，并有
   P(A₁)=0.1，P(A₂)=0.2，P(A₃)=0.3．
   由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3．且
   
   
   即X的概率分布为

X	0	1	2	3
P	0.504	0.398	0.092	0.006

因此X的数学期望 E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}+2×P{X=2}+3×P{X=3} =0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006 =0.6． 又因为E(X²)=0²×P{X=0}+1²×P{X=1)+2²×P{X=2}+3²×P{X=3} =0×0.504+1×0.398+4×0.092+9×0.006 =0.82． 所以X的方差 D(X)=E(X²)-[E(X)]²=0.82-0.6²=0.46． [详解2] 设，i=1，2，3．则X₁，X₂，X₃相互独立，且X₁，X₂．X₃分别服从参数为0.1，0.2，0.3的0-1分布．即：

X1	0	1
P	0.9	0.1

X2	0	1
P	0.8	0.2

X3	0	1
P	0.7	0.3

由题设知，X=X₁+X₂+X₃，显然X的所有可能取值为0，1，2，3．且 P{X=0}=P{X₁=0，X₂=0，X₃=0}=P{X₁=0}P{X₂=0}P{X₃=0} =0.9×0.8×0.7=0.504； P{X=3}=P{X₁=1，X₂=1，X₃=1}=P{X₁=1}P{X₂-1}P{X₃=1} =0.1×0.2×0.3=0.006； P{X=1}=P{X₁=1，X₂=0，X₃=0}+P{X₁=0，X₂=1，X₃=0}+P{X₁=0， X₂=0，X₃=1} =0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398； P{X=2}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=3} =1-0.504-0.398-0.006=0.092． 因此X的概率分布为

X	0	1	2	3
P	0.504	0.398	0.092	0.006

   因为X_i均服从0-1分布，所以
   E(X₁)=0.1，E(X₂)=0.2，E(X₃)=0.3，
   D(X₁)=0.1×0.9=0.09，D(X₂)=0.2×0.8=0.16，D(X₃)=0.3×0.7=0.21．
   于是E(X)=E(X₁+X₂+X₃)=E(X₁)+E(X₂)+E(X₃)=0.6．
   D(X)=D(X₁+X₂+X₃)=D(X₁)+D(X₂)+D(X₃)=0.46．

[解析] 先确定X的所有可能取值，然后分别求出每一取值的概率，再按定义求数学期望和方差即可．
   [评注] 详解1思路直观，容易想到；详解2借助独立性及其运算性质，思路巧妙．