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工程硕士(GCT)数学模拟88
单项选择题
1. 有已知a，b，c是三个正整数，且a＞b＞c，若a，b，c的算术平均值为
，几何平均值是4，且b，c之积恰为a，则a，b，c的值依次为( )．
A.8，4，2
B.6，5，3
C.12，6，2
D.4，2，8
A
B
C
D
A
[解析] 通过验证，只有8，4，2满足，选(A)．
2. 甲、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为
，甲分得900元，则奖金总数为
．
A.2850元
B.2580元
C.2770元
D.3050元
A
B
C
D
C
[解析] 甲分得的份数为
，所以奖金总数为
，选(C)．
3. a，b是均小于10的自然数，且a与b之比
是一个既约的真分数，而b的倒数等于
，则
是( )．
A
B
C
D
A
[解析]
，选(A)．
4. 甲、乙两人同时从一地点出发，相背而行．1小时后他们分别到达各自的终点A和B．若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B．甲的速度和乙的速度之比是
．
A.3:5
B.4:3
C.4:5
D.3:4
A
B
C
D
D
[解析] 设甲的速度为v
甲
，乙的速度为v
乙
，乙从原地到B地时间为t，则
，所以
，选(D)．
5. 若(1+x)
8
(x≠0)展开式的第4项与第6项的和等于第5项的2倍，则x=
．
A
B
C
D
A
[解析]
，所以
，解得
或x=2，选(A)．
6. 下列函数中，存在反函数的是
．
A
B
C
D
C
[解析] A、B、D选项函数在
都不是单调函数，不存在反函数，选(C)．
7. 一个圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则它的体积等于
．
A
B
C
D
D
[解析] 设圆锥母线长为l，半径为r，则
，即
，高为
=
，所以体积为
，选(D)．
8. 若不等式
的解集是(0，4)，则a的取值范围是
．
A.(-∞，0]
B.(-∞，0)
C.(-∞，4)
D.(0，4)
A
B
C
D
A
[解析] 要使
成立，有0＜x＜4，所以只要
恒大于ax即可，选(A)．
9. 已知等差数列{a
n
}的公差不为0，且a
1
，a
3
，a
9
成等比数列，则
等于
．
A
B
C
D
D
[解析] 令a
n
=n，则
，选(D)．
10. 如果多项式f(x)=x
3
+px
2
+qx+6有一次因式x+1和
，那么另外一个一次因式是
．
A.x-2
B.x+2
C.x-4
D.x+4
A
B
C
D
C
[解析]
，则
，选(C)。
11. 函数f(x)=cos
2
x-3cosx-2的最小值是
．
(A) -2 (B) -4 (C)
(D) 2
A
B
C
D
B
[解析]
，而-1≤cosx≤1，所以当cosx=1时，f(x)取得最小值，为-4，选(B)．
12. 平面上过点P(0，2)且被圆x
2
+y
2
=4截得弦长为
的直线有
．
A.唯一的一条，其斜率为-1
B.唯一的一条，其斜率为1
C.互相垂直的两条
D.夹角为45°的两条
A
B
C
D
C
[解析] 两条直线为y=x+2和y=-x+2，垂直，选(C)．
13. 过椭圆
短轴上的顶点作椭圆的弦，其最长弦的长度是
．
A
B
C
D
D
[解析] 假设P(a，b)到顶点距离最长，则距离为
=
，当
时取最大值，故最长弦为
，选(D)．
14. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
．
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
A
B
C
D
D
[解析] 考虑反面，其反面是选出的4人都是男生，共有不同的选法为
，选(D)．
15. 某班组共有员工10人，其中女员工3人，现选2名职工代表，至少有1名女员工当选的概率是
．
A
B
C
D
A
[解析] 考虑反面，至少有1名女员工的反面为全是男员工，故概率为
，选(A)．
16. 下列函数中，
在x=0处连续．
A
B
C
D
A
[解析] A选项，
；B选项
=
；C选项，
；D选项，
=
，选(A)．
17. 曲线y=x
2
+ax+b与曲线2y=-1+xy
3
在点(1，-1)处相切，则a，b分别为
．
A.a=1，b=1
B.a=-1，b=1
C.a=1，b=-1
D.a=-1，b=-1
A
B
C
D
D
[解析] y=x
2
+ax+b过点(1，-1)，即a+b=-2；y=x
2
+ax+b的切线在点(1，-1)的斜率y'=2x+a，即k=2+a，又2y=-1+xy
2
在点(1，-1)的斜率，y'=
，即k=1，所以
，解得a=-1，b=-1，选(D)．
18. 设
则
=( )．
A.-6
B.6
C.-6ln2
D.6ln2
A
B
C
D
C
[解析]
=
，选(C)．
19. f(x)在(-∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则
的单调性为
。
A.在(-∞，+∞)上单调增加
B.在(-∞，+∞)上单调减少
C.在(-∞，0)上单调增加，在(0，+∞)上单调减少
D.在(-∞，0)上单调减少，在(0，+∞)上单调增加
A
B
C
D
A
[解析]
，又f(x)＞0，则x与
在(-∞，0)∪(0，+∞)同正同负，所以F'(x)≥0，选(A)．
20. f(x)满足方程
则f(x)=
．
A
B
C
D
A
[解析] 令
，则
，即
所以
，选(A)．
21. A、B均为n阶矩阵，则( )．
(A) |A+B|=|A|+|B| (B) |3AB|=3|A||B|
(C) |AB|=|BA| (D)
A
B
C
D
C
[解析] 根据矩阵求行列式的性质可得，选(C)．
22. α=(3，2，-1)
T
，
令A=αβ
T
则A
4
=
．
A.A
B.2A
C.11A
D.27A
A
B
C
D
D
[解析] A
4
=α(β
T
α)(β
T
α)(β
T
α)β
T
=27αβ
T
=27A，选(D)．
23. 三阶矩阵A、B满足A
-1
BA=6A+BA，且
，则B=
．
A
B
C
D
A
[解析] 显然A可逆，而A
-1
BA=6A+BA
(A
-1
-E)B=6E，所以B=6(A
-1
-E)
-1
E，即
，选(A)．
24. 设
，且A可逆，则线性方程组
·
A.有唯一解
B.有无穷多解
C.无解
D.当a
13
=a
23
=a
33
=1时，有解
A
B
C
D
C
[解析] A可逆，则r(A)=3，则对增广矩阵做初等变换，有
，即增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，所以无解，选(C)．
25. A是三阶矩阵，它的三个特征值是1、2、-1，则|A
*
+3I|=
．
A.8
B.10
C.-10
D.-8
A
B
C
D
B
[解析] 根据特征值的性质，A
*
的特征值为
，所以A
*
+3I的特征值为
，即1，2，5，所以|A
*
+3I|=10，选(B)．
单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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，几何平均值是4，且b，c之积恰为a，则a，b，c的值依次为( )．
，甲分得900元，则奖金总数为 ．
，所以奖金总数为
，选(C)．
是一个既约的真分数，而b的倒数等于
，则
是( )．
，选(A)．
，所以
，选(D)．
，所以
，解得
或x=2，选(A)．
都不是单调函数，不存在反函数，选(C)．
，即
，高为
=
，所以体积为
，选(D)．
的解集是(0，4)，则a的取值范围是 ．
成立，有0＜x＜4，所以只要
恒大于ax即可，选(A)．
等于 ．
，选(D)．
，那么另外一个一次因式是 ．
，则
，选(C)。
(D) 2
，而-1≤cosx≤1，所以当cosx=1时，f(x)取得最小值，为-4，选(B)．
的直线有 ．
短轴上的顶点作椭圆的弦，其最长弦的长度是 ．
=
，当
时取最大值，故最长弦为
，选(D)．
，选(D)．
，选(A)．
；B选项
=
；C选项，
；D选项，
=
，选(A)．
，即k=1，所以
，解得a=-1，b=-1，选(D)．
则
=( )．
=
，选(C)．
的单调性为 。
，又f(x)＞0，则x与
在(-∞，0)∪(0，+∞)同正同负，所以F'(x)≥0，选(A)．
则f(x)= ．
，则
，即
所以
，选(A)．
令A=αβT则A4= ．
，则B= ．
(A-1-E)B=6E，所以B=6(A-1-E)-1E，即
，选(A)．
，且A可逆，则线性方程组
·
，即增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，所以无解，选(C)．
，所以A*+3I的特征值为
，即1，2，5，所以|A*+3I|=10，选(B)．
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