在弹性范围内，应力与应变符合胡克定律σ=Eε，而，所以
   

①不发生塑性变形的最大载荷可根据应力近似等于屈服强度时来计算：
   F=σ_A=180×10⁶×10×2×10^-6=3600N
   ②

陶瓷材料的E与其孔隙体积分数φ之间的关系可用下式表示：
   E=E₀(1-1.9φ+0.9φ²)
   式中E₀为无孔隙材料的弹性模量。
   将已知条件代入上式，可求得
   
   故 φ₁=19.61%

冷变形度=
   总变形度=
   冷轧后黄铜板强度和硬度提高，而塑性、韧性降低，这就是加工硬化现象。

   σ_0.2可以从拉伸的应力-应变曲线上求得，为1000MPa，
   

①变形过程中，总的体积不变，设拉拔后的长度为L，则
   
   故
   L=24.3m
   ②冷加工率即为断面收缩率
   

①

   ②

   ③

   ④

   从上得知ε_T≠ε_e，变形量越大，ε_T和ε_e之间的差值就越大。比较③和④，将长度为L的均匀试样伸长1倍与压缩其长度的，二者真实应变量的绝对值相等，而工程应变量的绝对值却不相等，所以用真实应变更能反映真实的变形特性。

①对，所以
   
   当ε_T＜1时，若0＜n＜1，则n较大者，也较大，所以A比B的应变硬化能力高。
   ②当ε_T＜1时，若O＜n＜1，走值大致相等，在相同的ε_T下，n越大，则σ_T越小，又σ_T∝，所以n越大，ρ越小，由于A的n值比B的高，所以在同样的塑性应变时，B的位错密度高。
   ③，将代入，得
   

矢量数性积：
   
   (111)滑移系：
   (负号不影响切应力大小，故取正号)
   (111)滑移系：
   

矢量数性积：
   
   [001]方向：
   
   故在此方向上无论施加多大应力都不能产生滑移。
   [010]方向：
   

如图26所示，AC和A'C'分别为拉伸前后晶体中两相邻滑移面之间的距离。因为拉伸前后滑移面间距不变，即AC=A'C'，故
   
   

Al系fcc晶体结构，其滑移系为{111}＜110＞。
   当外力轴为[123]时，根据映像规则从立方晶系的标准投影图得知，首先开动的滑移系为[101]，故φ为[123]与晶面的法线之间的夹角，λ为[123]与[101]之间的夹角，
   
   故

由已知的拉伸轴方向，根据立方晶系(001)标准投影图可以确定主滑移系为[101]。设应力轴方向为[uvw]，从已知条件有
   
   令u²+v²+w²=1，可解得u=0.26，v=0.54，w=0.80
   所以

Mg的滑移面为(0001)面(基面)，由滑移面的滑移方向上的分切应力τ=σcosλcosφ可知，当φ为定值(60°)时，λ越小，τ越大，所以在拉应力作用下，晶体沿与拉伸轴交成38°的那个滑移方向滑移而产生塑性变形。因此Mg的临界分切应力
   τ_c=σ_scosλcosφ=2.05×cos60°×cos38°
   =2.05×0.5×0.788=0.8077MPa

根据氧化镁结构滑移系的特点，只有沿与所有＜110＞都垂直的方向拉伸(或压缩)才不会引起滑移。
   由立方晶系(001)标准投影图可知，不可能存在与所有＜110＞极点都相距90°的极点，因此，对氧化镁不存在任何不会引起滑移的拉伸(或压缩)方向。

由立方晶系(001)标准投影图可查得，bcc晶体其他3个同类型的交滑移系是：
   

   由立方晶系(001)标准投影图查得拉伸轴为[111]时，可开动的滑移系为[011]及另外5个与其等效的滑移系，可算得开动其中任一滑移系时取向因子都为
   
   故
   由 ，可算得：
   

bcc晶体的孪晶面为{112}，孪生方向为＜111＞，孪生时切过距离为＜111＞，故孪生时孪晶面沿孪生方向的切变
   
   fcc晶体的孪晶面为{111}，孪生方向为＜112＞，孪生时切过距离为＜112＞，故孪生时孪晶面沿孪生方向的切变
   

Cu系fcc结构，其易滑移面为{111}，易滑移方向为＜110＞。
   
   α-Fe系bcc结构，其滑移面为{110}，易滑移方向为(111)。
   

运动位错被钉扎以后，长度为l的位错线段可作为位错源，所产生的分切应力即为开动此位错源所需的分切应力，即
   
   故
   ρ=1.869×10¹²m^-2

不可变形粒子的强化作用：
   运动的位错与不可变形粒子相遇时，将受其阻挡，使位错线绕着它发生弯曲。由于位错具有线张力T，故要使位错线弯曲，必须克服其线张力的作用。位错线绕过间距为λ的粒子时，所需切应力
   
   位错的线张力相似于液体的表面张力，可用单位长度位错的能量来表示，而单位长度位错的能量，代入上式，则
   
   其中

为了方便起见，计算时忽略基体相α-Fe中的ω_C，并忽略Fe与Fe₃C密度上的差异。对40钢，碳的质量分数ω_C=0.004，则Fe₃C相所占体积分数
   
   若单位体积内Fe₃C的颗粒数为N_V，则
   
   故
   第二相硬质点的弥散强化效果决定于第二相的分散度，故
   

   
   解得
   故

设晶粒的平均直径为d，每mm²内的晶粒数为N_A，可以证明：
   
   故
   代入Hall-Petch公式，即
   
   解得
   故

总的来说，相对于金属材料和高分子材料而言，陶瓷材料显得硬而脆，这是由其原子之间键合的类型所决定的。陶瓷材料原子之间通常是由离子键、共价键所构成的。在共价键合的陶瓷中，原子之间是通过共用电子对形式进行键合的，具有方向性和饱和性，并且其键能相当高。在塑性变形时，位错的运动势必会破坏原子间的共价键合，其点阵阻力(P-N力)很大。因此，共价键合的陶瓷表现为硬而脆的特性。而对离子键合的陶瓷材料则分为两种情况：单晶体(如NaCl，FeO等)在室温压应力作用下，可承受较大的塑性变形，然而，对于离子键的多晶陶瓷，往往很脆，且易在晶界形成裂纹，这是因为离子晶体要求正负离子相间排列。在外力作用下，当位错运动一个原子间距时，由于存在巨大的同号离子的库仑静电斥力，致使位错沿垂直或平行于离子键方向很难运动。但若位错沿45°方向而不是沿水平方向运动，则在滑移过程中，相邻晶面始终由库仑力保持相吸，因此具有相当好的塑性。然而，多晶体陶瓷变形时，要求相邻晶粒变形相互协调、相互制约，由于陶瓷的滑移系较少而难以实现，以至在晶界产生开裂现象，最终导致脆断。
   另一方面，烧结合成的陶瓷材料在加热冷却过程中，由于热应力的存在，往往导致显微裂纹的产生；由于腐蚀等因素也会在其表面形成裂纹，因此在陶瓷材料中先天性裂纹或多或少地总是存在。在外力作用下，在裂纹尖端会产生严重的应力集中。按照弹性力学估算，裂纹尖端的最大应力可达到理论断裂强度；何况陶瓷晶体中可动位错少，位错运动又困难，故一旦达到屈服强度往往就脆断了。当然，在拉伸或压缩的情况下，陶瓷材料的力学特性也有明显的不同，通常陶瓷的压缩强度总是高于抗拉强度。

当拉应力σ_m达到材料的断裂强度时，Al₂O₃断裂，因此
   
   故

当采用三点弯曲法检测时，对矩形断面样品，其断裂强度
   
   式中F_f为断裂时负荷；L为支点间距离；b为截面宽度；h为截面高度。对于圆形截面样品，则其断裂强度
   
   式中r为试样截面半径。
   将已知条件代入相关公式，得
   
   故

   解得
   故

很多高聚物在塑性变形时往往会出现均匀变形的不稳定性。如将某一高聚物样品进行单向拉伸试验，开始时应力随应变线性增加，试样被均匀地拉长，过了屈服点后，在试样某个部位的应变突然比整体应变增加得更快，使原来均匀的截面变得不均匀，出现一个或几个细颈。继续变形时，颈缩区不断扩展，沿着试样长度方向不断延伸，直到整个试样的截面都均匀变细为止，在这一变形过程中应力几乎不变。如《材料科学基础》第221页中图5.83所示。这是因为超过屈服强度后，试样产生塑性变形，并在颈缩处出现了加工硬化。XRD分析证明，高聚物中的大分子无论是非晶态还是结晶态，随着变形程度的增加，都逐渐发生沿外力方向的定向排列。由于键(主要是共价键)的方向性，在产生定向排列后发生了应变硬化。

   故
   
   因此，可先将φ6mm的铝丝冷拔至φ2.324mm，接着进行再结晶退火，以消除加工硬化，然后冷拔至φ0.9mm，再进行再结晶退火，最终冷拔至φ0.5mm即可。

Ag再结晶晶核自大角度晶界向变形基体移动的驱动力F为冷加工存储能，F=Gb²(ρ₁-ρ₀)，由于ρ₁＞＞ρ₀，故F≈Gb²ρ₁。
   弓出后的晶界会受到指向其曲率中心的力厂作用，当弓出的曲率半径为R时，f=，f与F反向，晶界弓出的最小曲率半径R_min应为f与F平衡时的半径，
   F=f
   

在两个不同的恒定温度产生同样程度的再结晶时，
   
   或
   故

①

   将T=T_R，t_0.95=1代入，得
   
   故
   ②一次再结晶的驱动力是晶体经变形后的畸变能。晶体从畸变后的高能态向退火状态的低能态转变是一自发趋势。但这一能态的变化要求原子越过一势垒△E，势垒的高度取决于变形后的晶格畸变能，当畸变能高时，△E减小，则形核和长大激活能Q_n，Q_g均降低，再结晶速度便加快。因此，一切影响变形后畸变能的因素均会影响Q_n，Q_g及T_R。
   由上述分析，在一定形变度范围内，预先变形程度越高，原始晶粒越细，则形变后畸变能越大，Q_n，Q_g越低。  金属的纯度对Q_n，Q_g的影响可以从两方面考虑，一方面杂质会增加畸变能，使Q_n，Q_g降低；另一方面，杂质也会阻碍界面迁移，使Q_n，Q_g增高；两个相反的作用同时存在，看何者占主导地位。N₀G₀只与金属的本性有关，预变形度、原始晶粒尺寸和金属纯度对其无多大影响。
   ③由②的分析可知，增大预变形度，细化原始晶粒，将使T_R下降。
   杂质对T_R的影响具有双重性，若杂质的存在使畸变能增大这一因素占主导地位，则纯度较低的金属，其T_R较低；反之，若杂质的存在使界面迁移减慢这一因素占主导地位，则纯度越高的金属，其T_R越低。不同的杂质原子对T_R的影响不同，一般来说，少量杂质原子的存在会阻碍金属的再结晶，从而使T_R上升，其提高的程度因杂质种类不同而异。

根据经验公式，再结晶温度T_再≈0.4T_m
   故Fe的最低再结晶温度T_再=0.4×(1538+273)=724.4K=451.4℃
   Cu的最低再结晶温度T_再=0.4×(1083+273)=542.4K=269.4℃
   生产中为了提高生产效率，工厂中实际再结晶退火温度通常选定为T_再+(1.0～200)℃。

查表所得工业纯铝的再结晶温度T_再=150℃是指在1h退火完成再结晶的温度。实际上，除了退火温度外，保温时间也对再结晶过程产生影响。对经大冷变形后的金属材料，即使在T＜T_再时进行退火，只要保温时间足够，同样可发生再结晶过程。可用两种方法加以判断：①金相检验；②将已知的T₁，t₁，t₂，Q代入公式，求得T₂，将其与100℃比较，即可得知是否发生再结晶。

冷拉钢丝绳系经大变形量的冷拔钢丝绞合而成。加工过程的冷加工硬化使钢丝的强度、硬度大大提高，从而能承载很重的工件。但是当将其加热至860℃时，其温度已远远超过钢丝绳的再结晶温度，以致产生回复再结晶现象，加工硬化效果完全消失，强度、硬度大大降低。再把它用来起重时，一旦负载超过其承载能力，必然导致钢丝绳断裂事故。

再结晶是一热激活过程，再结晶速率，它与产生某一体积分数所需的时间t成反比，即，故
   
   在两个不同的恒定温度产生同样程度的再结晶时，
   
   两边取对数得；同样
   故得  
   代入相应的数据，得到
   t₃=0.26h

设保温2h放出的热量是由于晶粒长大、晶界总面积减小而释放的能量，而从定量金相得知，单位体积界面面积S_V和截面上晶粒直径d之间有的关系，因此，
   
   代入相应的数据，得
   d₂=8.9×10^-3cm

再结晶驱动力
   F=Gb²(ρ-ρ₀)≈Gb²ρ=10¹¹×(3×10^-10)²×10¹⁶=9×10⁷N/m²
   再结晶阻力
   
   F＞＞f，故这种第二相微粒的存在不能完全阻止再结晶。

影响再结晶晶粒正常长大的因素，除了温度外，弥散分布的第二相粒子的存在，对晶界迁移也起着重要作用。例如，可在钨丝中形成弥散分布的ThO₂第二相质点，以阻碍灯丝在高温工作过程中晶粒长大。若ThO₂质点的体积分数为φ，质点半径为r时，则晶粒的极限尺寸为：
   
   式中α为接触角。因此，选择合适的φ和r，可使D_lim尽可能小，而且晶粒细化可提高其强度，同时保持较高水平的韧性，从而有效地延长灯丝的使用寿命。

对含有半径为0.05μm，体积分数为0.01的MnS粒子的矽钢片再结晶时，其极限晶粒的平均直径
   
   正因为有这种分散相粒子的存在，从而使矽钢片在850℃以下退火时，当基体晶粒平均直径为6μm时，其正常长大即行停止。

760℃时：
   D=0.0516mm
   故此晶粒基本上未长大；
   870℃时：D⁵=(0.05)⁵+2×10^-8×60=1.513×10^-6
   D=0.0686mm
   相对的原始晶粒直径已明显长大(约37%)。

一次再结晶的驱动力是基体的弹性畸变能，而二次再结晶的驱动力是来自界面能的降低。再结晶温度是区分冷、热加工的分界线。动态再结晶后的组织结构虽然也是等轴晶粒，但晶界呈锯齿状，晶粒内还包含着被位错缠结所分割的亚晶粒，这与静态再结晶后所产生的位错密度很低的晶粒不同，故同样晶粒大小的动态再结晶组织的强度和硬度要比静态再结晶的高。动态再结晶后的晶粒大小与流变应力成正比。此外，应变速率越低，形变温度越高，则动态再结晶后的晶粒越大，而且越完整。