一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
3.
- A.f(x)有间断点.
- B.f(x)在(-∞,+∞)上连续,但在(-∞,+∞)内有不可导的点.
- C.f(x)在(-∞,+∞)内处处可导,但f'(x)在(-∞,+∞)上不连续.
- D.f'(x)在(-∞,+∞)上连续.
A B C D
C
[解析] 本题主要考查分段函数的连续性和可导性问题.
f(x)的定义域是(-∞,+∞),它被分成两个子区间(-∞,0]和(0,+∞).在(-∞,0]内f(x)=x
2,因而它在(-∞,0]上连续,在(-∞,0)内导函数连续,且f'_(0)=0;在(0,+∞)内
因而它在(0,+∞)内连续且导函数连续.
注意
确.又因
即f(x)在x=0右导数f'
+(0)存在且等于零,这表明f'(0)存在且等于零.于是,f'(x)在(-∞,+∞)上处处存在,可见(B)不正确.
6.
A B C D
B
[解析] D由直线x+y=1与圆周x
2+y
2=1所围成(它位于第一象限),如图
记 D
1={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0},
D
2={(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0},
显然 D=D
1\D
2,于是
故选(B).
[分析二] 直接用极坐标变换(x=rcosθ,y=rsinθ.D的极坐标表示是
因此选(B).
7. 已知η
1,η
2,η
3,η
4是齐次方程组Ax=0的基础解系,则下列向量组中也是Ax=0基础解系的是
- A.η1+η2,η2-η3,η3-η4,η4-η1.
- B.η1+η2,η2- η3,η3-η4,η4+η1.
- C.η1+η2,η2+η3,η3-η4,η4-η1.
- D.η1,η2,η3,η4的等价向量组.
A B C D
A
[解析] 等价向量组不能保证向量个数相同,因而不能保证线性无关,例如向量组η
1,η
2,η
3,η
4,η
1+η
2与向量组η
1,η
2,η
3,η
4等价,但前者线性相关,因而不能是基础解系,故(D)不正确.
(B)、(C)均线性相关,因此不能是基础解系,故(B)与(C)也不正确.
注意到:(η
1+η
2)-(η
2-η
3)-(η
3-η
4)-(η
4+η
1)=0,
(η
1+η
2)-(η
2+η
3)+(η
3-η
4)+(η
4-η
1)=0,
唯有(A),η
1+η
2,η
2-η
3,η
3-η
4,η
4-η
1是Ax=0的解,又由
二、填空题1. 设x→a时φ(x)是x-a的n阶无穷小,u→0时f(u)是u的m阶无穷小,则x→a时f[φ(x)]是x→a的______阶无穷小.
mn
[解析]
因此应填mn.
2.
2
[解析]
3.
[解析] 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性,
不难求得
4.
[解析] f(x)在[0,1]连续且可导,又
5. 设有摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π)的第一拱L,则L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=______.
.
[解析] 由旋转面面积公式得
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.
(Ⅰ)讨论f(x)在(-∞,+∞)是否存在最大值或最小值,若存在则求出;
(Ⅱ)求y= f(x)的渐近线方程.
先求出f(x)的表达式.
2. 设f(x),g(x)在(a,b)可微,g(x)≠0,且
求证:存在常数C,使得f(x)=Cg(x)
(Ⅱ)设f(x)在(-∞,+∞)二阶可导,且f(x)≤0,f''(x)≥0(x∈(-∞,+∞)).求证:f(x)为常数
即证f(x)/g(x)在(a,b)为常数.由
3. 设D是曲线y=2x-x
2与x轴围成的平面图形,直线y=kx把D分成为D
1和D
2两部分(如图),
若D
1的面积S
1与D
2的面积S
2之比S
1:S
2=1:7.求平面图形D
1的周长以及D
1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.
于是k=1,相应的交点是(1,1).
注意这时D
1的边界由y=x上0≤x≤1的线段与曲线y=2x-x
2上0≤x≤1的弧构成,从而D
1的周长
4.
这是二重积分
的一个累次积分,其中
D:0≤x≤1, 0≤y≤1-x,
如图所示.直接交换积分次序不能解决问题.直接对累次积分,用分部积分法时,遇到求导
的困难.有三条途径解决这些困难,
方法1° 对内层积分作变量替换后交换积分次序,
对内层积分,
内层积分并相应考察积分限得
方法2° 对内层积分作变量替换后,对外层积分作分部积分.
如同方法1°,作变量替换后已转化成
方法3° 改用极坐标变换. D的极坐标表示:
6.
7. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g'(x)≠0
,求证:若
不妨设g'(x)>0(x∈(a,b)),考察
8.
.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求齐次方程组(i)的解;
(Ⅲ)求齐次方程(ii)的解.
9. 已知三元二次型x
TAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,-1)
T且满足Aα=2α.
(Ⅰ)求该二次型表达式;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换,
得到属于λ3=
a+1的特征向量α
3=k
3(2-a,-4a,(a+2)
T,k
3≠0.
如果λ
1,λ
2,λ
3互不相同,即1-a≠a,1-a≠a+1,a≠a+1,即
则矩阵A有3个不同的特征值,A可以相似对角化,