一、选择题2. 设f(x)在[0,+∞)可导,且f(0)=0,并有反函数g(x),若x
2e
x,则f(x)等于( ).
- A.(2+x)ex-3
- B.(2+x)ex+C
- C.(1+x)ex-1
- D.(3+x)ex+C
A B C D
C
[解析] 两边求导,有
f'(x)g(f(x))=(2x+x
2)e
x,即f'(x)=(2+x)e
x,则
又f(0)=0得C=-1,于是f(x)=(1+x)e
x-1.
3. 已知某产品产量的变化率是时间t的函数,f(t)=at+b(a,b为常数),设此产品t时的产量函数为Q(t),已知Q(0)=0,则Q(t)等于
.
(A)at
2+bt (B)
(C)
(D)at
2+bt+C
A B C D
B
[解析] 即已知Q'(t)=f(t)=at+b,由Q(0)=0,知积分以0为下限,所以
4. 广义积分
,下列结论正确的是( ).
(A)因为
为奇函数,奇函数在对称区间上积分为0,所以广义积分收敛,值为0
(B)
,所以广义积分收敛,值为0
(C)
,因为
不存在,所以
发散,则
发散
(D)因为
及
均发散,所以
可能收敛,也可能发散
A B C D
C
[解析] 此题主要是考查广义积分收敛的定义.
广义积分只有在收敛时,才具有奇偶函数在对称区间上的积分性质,所以(A)错误.
选项(B)中认为收敛,即看极限
是错误的,用定义应为
,其中A,B应为独立变量.
选项(C),(D)中均作变换
,这是正确的,且我们知道,右边两积分中,只要有一个发散,左边积分就发散,所以(C)正确,(D)错误.
6. 设广义积分
,则
.
(A)广义积分收敛且等于
(B)广义积分收敛且等于
(C)广义积分收敛且等于0
(D)广义积分收敛且等于1
A B C D
A
[解析]
12. 若f(x)在[a,b]上具有连续的导数,且f(a)=f(b)=0,又
1,则
等于
.
(A)
(B)1 (C)0 (D)
A B C D
D
[解析]
14. 设f(x)是[0,+∞)上的连续函数,且满足
,则f(x)等于
.
A B C D
C
[解析] 令
原方程两边在区间[0,1]上积分,得
因为
所以
A=-2e
-1+1+Ae-A,
f(x)=xe
-x-e
x-1.
15.
等于
.
A B C D
C
[解析]
为奇函数,在对称区间上积分为零,而
为偶函数,所以
原式=
18. 设f(x)的一个原函数是e
x2,则
等于
.
A B C D
C
[解析] 令
由已知,f(x)=(e
x2)'=2xe
x2,代入积分式中,
原式=
20. 曲线y=x
3在P(a,a
3)点的切线(其中a>0)与曲线所围图形的面积为
.
A B C D
B
[解析] 过点P(a,a
3)的切线方程为
y=3a
2(x-a)+a
3=3a
2x-2a
3,再求切线与曲线交点:
x
3-3a
2x+2a
3=(x-a)(x
2+ax-2a
2)
=(x-a)(x-a)(x+2a)
=0.
因此,另一交点为(-2a,-8a
3),切点为(a,a
3),所求面积如图1—5—5所示为
21. 在曲线y
2=2px(p>0)上点A
处作曲线的法线,则法线与该曲线围成的区域D的面积为
.
A B C D
C
[解析] 因为点A
在曲线y
2=2px上,
2yy'=2p,
法线方程为
,即
再求法线与抛物线的交点:
所以,交点为B
要求的区域D的面积S如图1—5—8所示.
或
22. 由曲线
与过原点的曲线的切线及z轴所围图形的面积为
.
(A)1 (B)
(C)
(D)2
A B C D
B
[解析] 设切点P(x
0,y
0),
切线方程为
由题意:
,解得x
0=2,y
0=2,切线方程为y=x.
所求图形面积(见图1—5—9)为
23.
等于
.
(A)
(B)
(C)0 (D)(A),(B),(C)都不正确
A B C D
D
[解析] 令1-2x=t
2,
由于(A),(B),(C)中没有一个是
,故选(D).
25. 曲线
和直线y=x及y=2所围图形的面积S等于
.
(A)1 (B)
(C)1-ln2 (D)
A B C D
D
[解析] 先作草图(见图1—5—10),并求出曲线、直线问的交点的坐标A(
,2),B(2,2),C(1,1).
方法一选取积分变量为y,则有
,ψ(y)=y,y∈[1,2],于是有
方法二选取积分变量为x,这时有
与y=g(x)=2,
于是有
26.
等于
.
A B C D
D
[解析] 因为
由于x|x|e
-|x|是奇函数且
收敛,所以
而
27. 过点(1,0)作曲线y=x
2的两条切线,它们与曲线y=x
2所围图形的面积是
.
A B C D
B
[解析] 先作草图(见图1—5—11),再求切点及切线方程:设切点为(x
0,x
20),则切线斜率为k=(x
2)'|x=x
0=2x
0切线方程为
因为切线通过点(1,0),即有
由此可得x
0=0或x
0=2,所以切点为O(0,0)与A(2,4),两切线方程为Y=0与Y-4=4(x-2).
这时,两切线与曲线y=x
2所围图形的面积为
正确答案为(B).
二、填空题1. 设
,则函数f(x)的极小值点为______.
-2.
[解析] 等式两边求导,有
f(x-1)=3x2+6x,即有f'(x-1)=6(x+1).令x-1=t,可得f'(t)=6(t+2).由此可知,函数f(x)有唯一极小值点x=-2.
3.
[解析] 因为
4. 从原点向曲线y=1-lnx作切线,由切线、曲线和z轴所围成的图形的面积为______.
[解析]
,设切点为P(x
0,y
0).
切线方程为
,与y=1-lnx联立求切点,得切点(e
2,-1).
于是切线方程为
设所求图形面积为A(如图1—5—2所示),
5. 在抛物线y=x
2-1上取一点P(a,a
2-1),过P引抛物线y=x
2的两条切线,则两切线与抛物线y=x
2所围成的图形的面积为______.
[解析] 设切点坐标为(x,y),它们满足切线方程和曲线y=x
2,即
由此解得切点的x坐标:x
A=a-1,x
B=a+1.
于是所求图形面积如图1—5—3所示:
6.
8. 已知
,f'(2)=0及
,则
______.
0.
[解析] 两次运用分部积分公式.设t=2x,则
9. 设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)<1,则方程
在(0,1)内实根的个数是______.
1.
[解析] 设
,则
F(0)=-1<0,
由闭区间上连续函数的性质——介值定理可知,F(x)在(0,1)内至少有一个零点.
又因
F'(x)=2-f(x)>0,故F(x)在(0,1)内为严格单调增函数,从而F(x)=0,即
在(0,1)内有且仅有一个实根.
10. 设
,则f(x)在______处取得最小值.
[解析] 上式两端关于x求导,得
f(x-1)=3x
2-2x+1,从而f(x)=3x
2+4x+2.
令f'(x)=6x+4=0,得唯一驻点:
而当
时,f'(x)<0;当
时,f'(x)>0.
所以f(x)在
处取得最小值.
11.
[解析] 原式
12. 已知
,则
13. 由直线x=0,x=2,y=0与抛物线y=-x
2+1所围成的平面图形的面积S=______.
2.
[解析]
16. 由曲线y=xe
x与直线y=ex所围成图形的面积S=______.
[解析] 由xe
x=ex可知,x(e
x-e)=0,则x=0或x=1.故
17. 已知xe
x为f(x)的一个原函数,则
e.
[解析] f(x)=(xe
x)'=e
x+xe
x,所以
19. 设f''(x)在[0,2]上连续,且f(0)=1,f(2)=3,f'(2)=5,则
2.
[解析]
三、计算题1. 讨论无穷积分
的敛散性.
[解] 因为
所以,当p=1时,
可知这时,无穷积分
发散.
当p<1时,
可知这时,无穷积分
也发散.
当p>1时,
可知这时,无穷积分
收敛.
总之,无穷积分
,当p≤1时,发散;当p>1时,收敛.
2. 已知
,试求正态分布N(μ,σ
2)的期望与方差.
[解] 正态分布N(μ,σ
2)的数学期望为
其中上式第二步等式右端的第二项是奇函数的无穷积分,为零.
又其方差为
结果是期望为μ,方差为σ
2.
3. 求函数
的导数.
4. 求函数
的导数F'(x).
[解] 令
,则
按复合函数的求导公式有
还可有更一般的结果:
设函数f(t)在[a,b]上连续,φ(x),φ(x)在[α,β]上可导,且满足
α≤φ(x)≤b且α≤φ(x)≤b,x∈[α,β],则函数
在[α,β]上可导,且有
F'(x)=ψ'(x)f[ψ(x)]-φ'(x)f[φ(x)]. ①
5. 求函数
的导数F'(x).
[解] 按单元一计算题第4题中公式①的结果,有
6. 求
[解]
7. 证明:设函数f(x)在[-a,a]上连续,那么:
(1)当f(x)为奇函数时,则
(2)当f(x)为偶函数时,则
[证] 因为
,所以:
(1)当f(x)为奇函数时,有
(2)当f(x)为偶函数时,有
证毕.
8. 证明:设函数f(x)是以T为周期的连续函数,则对任一实数a,有
9. 设函数f(x)在[0,1]上有连续的导数,f(x)无零点,且f(0)=1,f(1)=2,0求
[解] 按定积分的换元积分法,作换元u=f(x),则有
10. 设
,求F'(x),其中函数f(x)连续.
[解] 因为变限定积分中的被积函数中还含有变量x,必须通过换元,来去掉被积函数中的变量x,即作换元u=x+t
2,则
可得
11. 设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且满足
,试求f(x).
[解] 由
可得
对上式两边求导,有
即
两边积分,可得
12. 设函数f(x)满足:f(0)=2,f(-2)=0,f(x)在x=-1,x=5有极值,f'(x)是二次多项式,求f(x).
[解] 由f'(x)是二次多项式及f(x)有极值点x=-1,x=5,可知有
f'(x)=K(x+1)(x-5),其中K为非零常数.对上式两边积分,可得
即
由f(-2)=0,可得K=3,结果有
f(x)=x
3-6x
2-15x+2.
13. 求由方程
所确定的隐函数y=y(x)的极值.
[解] 由等式
取x=1,有
,由此可知y(1)=0.又在等式两边求导,可得
可知隐函数y有唯一极小值点x=1,且知极小值为y(1)=0.
14. 求由抛物线y
2=x与直线y=x-2所围图形的面积S.
[解] 先作草图(见图1—5—6),再求抛物线与直线的交点A与B的坐标:A(1,-1),B(4,2).
方法一 选取y为积分变量,则有
x=φ(y)=y
2,x=ψ(y)=y+2,
方法二 选取x为积分变量,则有
所以
15. 当a(0≤a≤4)为何值时,两曲线
与y=(4-a)x(x-a)所围的图形的面积最大.
[解] 先作草图(图1—5—7),选取x为积分变量.则所围图形的面积为
由
可知,在(0,4)内有唯一的极值点
,易知它是极大值点,因此即为最大值点.
所以当
时,所围图形的面积最大.
16. 讨论无穷积分
的敛散性.
17. 设常数α>-1,β>0,试求无穷积分
其中Γ(α+1)是Γ函数在a+1处的值.
[解]
其中利用了Γ函数的递推公式Γ(α+2)=(α+1)Γ(α+1).
18. 讨论函数f(x)的单调性,其中f(x)在[1,+∞)上可积,且满足
[解] 先求f(x)的表达式,即要求
之值.
对等式
f(x)dx两边积分,可得
由此可知A=2,从而
.于是有
由此可得:
当
时,f'(x)>0,所以f(x)单调上升;
当
时,f'(x)<0,所以f(x)单调下降.
19. 设
求
[解] 令x-1=t,则
由于在[-1,1]上f(x)表达式不同,根据定积分的区间性质应分[-1,0]和[0,1]上的两个积分计算,所以
20. 计算下列定积分:
(2)
(3)
(4)
,其中f(x)是x到离x最近的整数的距离.
[解] (1)
(2)
这是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分,第二个为奇函数在对称区间上积分为零,第三个积分利用定积分的几何意义,
是圆心在原点,半径为2的上半圆,它在[-2,2]上积分应是上半圆面积
,故第一个积分为
因此原积分=
(3)当a<0时,
当a>1时,
当0≤a≤1时,
所以
(4)由题意知,
于是
可得
21. 讨论广义积分
的敛散性.
[解] 依题意,得
故
发散.