二、选择题5. 设y=y(x)是二阶常系数微分方程y''+py'+qy=e
2x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解,则当x→0时,函数
的极限______
A B C D
C
[解析] 题设方程的特解形式有三种可能:y=ae
2x,y=axe
2x和y=ax
2e
2x.前两种都不满足初始条件,因此特解形式为y=ax
2e
2x,这说明λ=2是特征方程λ
2+Pλ+q=0的二重根,即P=-4,q=4.将y=ax
2e
2x代入方程得
7. 设α
1,α
2,…,α
s是R
n上一组线性相关的向量,但α
1,α
2,…,α
s中任意s-1个向量都线性无关,若存在常数k
1,k
2,…,k
s,使得
则k
i______
- A.全为0.
- B.全不为0.
- C.或者全为0,或者全不为0.
- D.不能确定.
A B C D
C
[解析] 显然,k
i全为零,可使
又因为α
1,α
2,…,α
s线性相关,则存在一组不全为零的数是k
i(i=1,2,…,s),使得
下证是k
i全不为零.若k
i中有为零的数,不妨设k
1=0,则
而k
i(i=2, …,s)不全为零,所以α
2,α
3,…,α
2线性相关,与题设矛盾.所以k
i全不为零.
故选C.
三、解答题1. 已知
求a,b的值.
2. 设函数f(u)在-∞<u<+∞内可导,且f(0)=0,又f'(lnx)=
求f(u)的表达式.
设F(x)=f(lnx),x>0,则F(1)=0,且
3. 设函数f(x)在(a,b)内可导,x
1与x
2是(a,b)内的两点,g(x)由下式定义:
证明:对f'(x
1)与g(x
2)之间的任何值μ,在x
1与x
2之间至少存在一点ξ,使f'(ξ)=μ.
不妨设x
1<x
2,因为
可见g(x)在[x
1,x
2]上连续,由介值定理知,存在η∈[x
1,x
2],g(η)=μ.
又根据拉格朗日中值定理,有
ξ∈(x
1,η)
(x
1,x
2),使f'(ξ)
4.
因为0<e
-2nπ≤x≤1,所以
令lnx=u,则
因为|sinu|以π为周期,根据周期函数的性质有
5. 证明:
当0<x<1时,
作辅助函数f(x)=e
-2x(1+x)+x-1,且f(0)=0.
f'(x)=-2e
-2x(1+x)+e
-2x+1=-2xe
-2x-e
-2x+1,且f'(0)=0.
f''(x)=4xe
-2x-2e
-2x+2e
-2x=4xe
-2x.
当0<x<1时,f''(x)=4xe
-2x>0,
所以f'(x)严格单调递增,即f'(x)>f'(0)=0,
故当0<x<1时,f(x)严格单调递增,即f(x)>f(0)=0,即
6. 设函数f(x)连续,f(0)=1,令F(t)=
(t≥0),求F''(0).
因为题中没给出F(t)二阶可导,所以F''(0)要用定义来做.
因为f(x)连续,所以
F'(t)=2πtf(t
2),且F'(0)=0.于是
7. 设
在第一象限内具有连续的二阶导数,
且
求f(x)在区间[1,2]上的平均值.
先求出f(x)的表达式,然后求其在[1,2]上的平均值.
令
则
f(r)=C
1lnr+C
2.
又由条件
知f(1)=0,f'(1)=2,代入f(r)=C
1lnr+C
2可得
C
1=2,C
2=0.
故f(r)=2lnr,即f(x)=21nx.故f(x)在区间[1,2]上的平均值为
8. (Ⅰ)设α
1,α
2,β
1,β
2均是三维列向量,且α
1,α
2线性无关,β
1,β
2线性无关,证明存在非零向量ξ,使得ξ既可由α
1,α
2线性表出,又可由β
1,β
2线性表出;
(Ⅱ)当α
1=
时,求所有既可由α
1,α
2线性表出,又可由β
1,β
2线性表出的向量.
(Ⅰ)4个三维向量α
1,α
2,β
1,β
2必线性相关,故知存在不全为零的常数k
1,k
2,λ
1,λ
2,使得
k
1α
1+k
2α
2+λ
1β
1+λ
2β
2=0,即k
1α
1+k
2α
2=-λ
1β
1-λ
2β
2.
其中k
1,k
2不全为零(否则,由-λ
1β
1-λ
2β
2=0
λ
1=λ
2=0,这和k
1,k
2,λ
1,λ
2相矛盾).
令ξ=k
1α
1+k
2α
2=-λ
1β
1-λ
2β
2≠0,则ξ即为所求.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,ξ=k
1α
1+k
2α
2=-λ
1β
1-λ
2β
2.
得k
1α
1+k
2α
2+λ
1β
1+λ
2β
2=0.
解方程组可得方程通解为(k
1,k
2,λ
1,λ
2)=k(1,0,-5,-3)
T,故所求向量为
ξ=k
1α
1+k
2α
2=-λ
1β
1-λ
2β
2=
其中k为任意常数.
9. 设二次型f(x
1,x
2,x
3)=
所对应的矩阵为A,且方程组Ax=0有非零解,
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)将二次型化为标准型,并写出正交变换矩阵.
(Ⅰ)二次型对应的矩阵
因为方程组Ax=0有非零解,所以|A|=24c-72=0
c=3.
(Ⅱ)|λE-A|=
=λ(λ-4)(λ-9)=0
则特征值为0,4,9.
将特征值分别代入(λE-A)x=0,可分别求得
λ=0对应的特征向量为:ξ
1=
λ=4对应的特征向量为:ξ
2=
λ=9对应的特征向量为:ξ
3=
故二次型的标准型为
所作正交变换矩阵为