一、填空题1. 设f(x)有一阶连续导数，且f(0)=0，f'(0)=1，则
______.
[解析] 当x→0时，
所以该极限为“1
∞”型，所以
所以原极限
2. 设函数y=y(x)由参数方程
所确定，其中f可导，且f'(0)≠0，则
3
[解析]
4. 设φ(u，v，w)有一阶连续偏导数，z=z(x，y)是由φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0确定的函数，则
c
[解析] φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0两边对x求偏导得
5. 设D为闭区域x
2+y
2≤1，则
6. 设n阶可逆矩阵A满足
|A|=|kA|，k＞0，则k=______．
1
[解析] |A|=|kA|
二、选择题1. 设f(x)与g(x)在x=0的某去心邻域内有定义，并且当x→0时，f(x)与g(x)都为x的同阶无穷小，则当x→0时，______
- A.f(x)-g(x)必是x的同阶无穷小．
- B.f(x)-g(x)必是x的高阶无穷小．
- C.f(g(x))必是x的同阶无穷小．
- D.f(g(x))必是x的高阶无穷小．
A B C D
C
[解析] 由题设可知，
则
当C
1=C
2时，选项B成立，当C
1≠C
2时，选项A成立．所以可排除A，B选项．
而
所以当x→0时，f(g(x))必是x的同阶无穷小，故选C．
2. 设f(x)在[a，b]上可导，且f'(a)f'(b)＜0，则下列命题
①至少存在一点x
0∈(a，b)，使得f(x
0)＜f(a)
②至少存在一点x
0∈(a，b)，使得f(x
0)＞f(b)
③至少存在一点x
0∈(a，b)，使得f'(x
0)=0
④至少存在一点x
0∈(a，b)，使得f(x
0)=
正确的个数为______
A B C D
A
[解析] 因为f'(a)f'(b)＜0，不妨设f'(a)＜0，f'(b)＞0，
则
由极限的保号性可得，存在x
1，x
2∈(a，b)，使得
f(x
1)-f(a)＜0，f(x
2)-f(b)＜0，
所以f(a)，f(b)不是f(x)在[a，b]上的最小值，所以f(x)在[a，b]上的最小值只可能在(a，b)内取得，由费尔马定理可知，至少存在一点x
0∈(a，b)，使得f'(x
0)=0．
其他命题可用举反例排除法来求解．
令f(x)=x-x
2，则f(x)在[0，1]可导，且
f'(0)=1，f'(1)=-1
f'(0)f'(1)=-1＜0．
但对于x∈(0，1)，f(x)=x(1-x)＞0=f(0)=f(1)，可排除①④；
令f(x)=x
2-x，则f(x)在[0，1]可导，且
f'(0)=-1，f'(1)=1
f'(0)f'(1)=-1＜0，
但对于x∈(0，1)，f(x)=x(x-1)＜0=f(0)=f(1)，可排除②．
综上，故选A．
4. 已知y=y(x)是(x
2+y
2)dy=dx-dy的任意解，则______
A B C D
C
[解析] 由(x
2+y
2)dy=dx-dy可得
所以y=y(x)在(-∞，+∞)单调增加．
对
在[x
0，x](x
0＜x)两边积分得
所以y=y(x)在(-∞，+∞)单调增加有上界，即
存在.
同理可得
存在，故选C.
5. 设f(t)为连续函数，a是常数，下述命题正确的是______
A．若f(t)是奇函数，则
是x的奇函数．
B．若f(t)是偶函数，则
是x的奇函数．
C．若f(t)是奇函数，则
是x的奇函数．
D．若f(t)是偶函数，则
是x的奇函数．
A B C D
C
[解析] 本题可用举反例法来做．
设f(t)=t，则f(t)是奇函数且连续，
此式是否为奇函数与a有关，排除A．
设f(t)=1，则f(t)是偶函数且连续，
不是奇函数，可排除B．
为偶函数，可排除D．
综上，故选C．
6. 设在全平面上有
则在下列条件中使f(x
1，y
1)＜f(x
2，y
2)成立的是______
- A.x1＜x2，y1＜y2．
- B.x1＜x2，y1＞y2．
- C.x1＞x2，y1＜y2．
- D.x1＞x2，y1＞y2．
A B C D
B
[解析] 由
可知，固定y，f(x，y)关于x单调增加；
由
可知，固定x，f(x，y)关于y单调减少．
所以，当x
1＜x
2时，有f(x
1，y
1)＜f(x
2，y
1)；
当y
1＞y
2时，有f(x
2，y
1)＜f(x
2，y
2)．
综上，当x
1＜x
2，y
1＞y
2时，有f(x
1，y
1)＜f(x
2，y
1)＜f(x
2，y
2)．故选B．
7. 设A为三阶矩阵，E为三阶单位阵，α，β是两个线性无关的三维列向量，且A的行列式|A|=0，Aα=β，Aβ=α，则行列式|A+3E|的值等于______
A B C D
D
[解析] 由|A|=0
λ=0是A的一个特征值，
又由Aα=β，Aβ=α可得A(α+β)=α+β，A(α-β)=-(α-β)，
而α，β线性无关，所以α+β≠0，α-β≠0，所以1，-1是A的另外两个特征值，
因此A的特征值为0，1，-1，于是A+3E的特征值为3，4，2，故|A+3E|=3×4×2=24，
即选D．
三、解答题1. 设f''(x)连续且f''(x)＞0，f'(0)=0，求极限
其中u(x)是曲线y=f(x)在x点处的切线在x轴上的截距．
由导数的几何意义，曲线y=f(x)在x点处的切线方程为
Y-f(x)=f'(x)(X-x)，
令Y=0，则
于是
2. 求所有(0，+∞)上的正连续函数g(x)，使得对任意x＞0有
题设等式两边对x求导，并整理得
解得
上式两边对x求导得
即
两边积分，
得
其中C为任意正数．
3. 设|a|≤1，求I(a)=
的最大值．
=-a(e+e
-1)+2e
a-2e
-1 令
比较后得最大值为I(-1)=e+e
-1．
4. 设f''(x)在[0，1]上连续，且f(0)=f(1)=0，求证：
5. 设x
0＞0，
证明
存在，并求之．
对一切n，恒有
因此数列{x
n}有界．又
于是可知x
n+1-x
n与x
1-x
0同号，故当x
1＞x
0时，x
n+1＞x
n，数列{x
n}单调递增；当x
1＜x
0时，x
n+1＜x
n，数列{x
n}单调递减，即数列{x
n}为单调有界数列，所以
6. 证明方程2
x=x
2+1有且仅有三个实根．
令f(x)=2x-x2-1，显然f(0)=f(1)=0．
又f(2)=-1＜0，f(5)=6＞0，且f(x)连续，由连续函数的零点定理知f(x)在(2，5)内至少存在一个零点，从而f(x)至少有三个零点．
若f(x)有四个或四个以上的零点，则由罗尔定理知f'''(x)=2xln32至少有一个零点，这是不可能的，故f(x)至多有三个零点．
综上可知f(x)有且仅有三个零点，即方程2x=x2+1有且仅有三个实根．
7. 设D：0≤x≤2，0≤y≤2．
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设f(x，y)在D上连续，且
，
证明：存在(ξ，η)∈D，使|f(ξ，η)|≥
(Ⅰ)令
有
(Ⅱ)因为f(x，y)在D上连续，得|f(x，y)|在D上连续，所以，|f(x，y)|在D上存在最大值，即存在点(ξ，η)∈D，使得|f(ξ，η)|为|f(x，y)|在D上的最大值．由已知得
即存在(ξ，η)∈D，使
8. 设齐次线性方程组
其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
所给方程组的系数矩阵为A，则
由此可知，
(Ⅰ)当a+(n-1)b≠0且a≠b时，即a≠b且a≠(1-n)b时，方程组仅有零解．
(Ⅱ)当a+(n-1)b=0或a=b时，|A|=0，所给方程组有无穷多解．
①当a=b时，所给方程组与方程
x
1+x
2+x
3+…+x
n=0
同解，所以方程组的基础解系为：
α
1=(-1，1，0，…，0)
T，α
2=(-1，0，1，…，0)
T，…，α
n-1=(-1，0，0，…，1)
T，
故方程组的全部解是
x=c
1α
1+c
2α
2+…+c
n-1α
n-1，其中c
1，c
2，…，c
n-1，为任意常数．
②当a=(1-n)b且a≠b时，基础解系为：
β=(1，1，1，…，1)
T，
故方程组的全部解是
x=cβ，其中c为任意常数．
9. 设二次型f(x
1，x
2，x
3)=
的矩阵合同于
(Ⅰ)求常数a；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x
1，x
2，x
3)为标准型．
(Ⅰ)该二次型的矩阵为
合同，所以r(A)=2，即有
所以
(Ⅱ)由｜λE-A｜
可得特征值λ
1=0，λ
2=4，λ
3=9．
由(0E-A)x=0可得属于0的特征向量
由(4E-A)x=0可得属于4的特征向量
由(9E-A)x=0可得属于9的特征向量
因为对实对称矩阵来讲，不同特征值对应的特征向量正交，所以只需单位化即可，
令Q=(η
1，η
2，η
3)，x=Qy，
于是f(x
1，x
2，x
3)=
.
，
，
的敛散情况，下面判断正确的是______
Bx=0，则方程组Ay=0只有零解，此时r(A)=n，故选A．
深色：已答题 浅色：未答题