一、论述题设体系的哈密顿量依赖于某一参量λ,又设体系处于某一束缚定态,其能量和本征函数分别记为En和ψn(r) 。1. 证明费尔曼-海尔曼定理:
;
由
2. 利用费曼-海尔曼定理,求氢原子各束缚态的平均动能(提示:氢原子能级公式为
) 。
3. 自旋为
的粒子置于势场V(x) 中,
。设粒子所处状态为
,其中
为系统空间部分的第n个能量本征函数(已归一) 。求能量的可测值及相应的取值概率。
可验证ψ(x,s
z) 已经归一化。能量的可测值为E
3和E
5,相应的取值概率W(E
n) 为:
。
4. 粒子以能量E入射方势垒,
。设能量E<V
0,求透射系数。
定态薛定谔方程为
,
设粒子从势垒左方向右入射,其解为
其中
。由波函数ψ(x) 及其一阶导数在x=0,x=a处连续条件,可得
。
由此得到透射系数
。
5. 设粒子所处的外场均匀但与时间有关,即V=V(t) ,与坐标
无关。试将该体系的含时薛定谔方程分离变量,求方程解
的一般形式,并取V(t) =V
0cos(wt) ,以一维情况为例说明V(t) 的影响是什么。
外场V(t) 的作用仅是给平面波提供了一个受时间调制的相角:
。