C

[解析] 本题考查空间两平面的夹角．
   由题意知平面π₁、π₂的法线向量分别为n₁={1，-4，1}，n₂={2，-2，-1}．知|n₁|=，|n₂|=3，n₁·n₂=2+8-1=9，所以cosα=，所以．答案为C

D

[解析] 本题考查函数在某点处的性态．由二元函数连续可微的定义可知，f_x(x₀，y₀)=f_y(x₀，y₀)=0不能推出f(x，y)在点(x₀，y₀)处一定连续，可微．而f_x(x₀，y₀)=f_y(x₀，y₀)=0只是极值存在的必要条件，不能推出f(x，y)在点(x₀，y₀)处一定有极值．由偏导数的定义可知，D选项正确．答案为D．

B

[解析] 令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤θ≤2π，0≤r≤2∴=．答案为B．

A

[解析] 依题知特征方程r²+pr+q=0有一对共轭复根r=1±2i，代入特征方程得：p=-2，q=5．答案为A．

B

[解析] 该级数是公比q=-的等比级数，且|q|=＜1．故该级数收敛，且和为S=．答案为B．

[解析]

yzf'(xyz)dx+xzf'(xyz)dy+xyf'(xyz)dz

[解析] 由题得=f'(xyz)·yz，=f'(xyz)·xz，=f'(xyz)·xy

-cosx+siny+C

[解析] 根据全微分的定义，dz=，则u(x，y)=∫sinxdx+∫cosydy=-cosx+siny+C．

一阶可分离变量

[解析] 本题考查微分方程的定义．
   由可分离变量微分方程的定义可知，
   可化为
   所以该方程为一阶可分离变量方程．

[解析] 因为f(x)是周期为2π的周期函数，可得x=π为f(x)的间断点，根据狄里克雷收敛准则，可得f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于，即

本题考查空间中两点之间的距离轨迹．设满足题意的点为P(x，y，z)，则应有
   |AP|=|BP|=|CP|，
   即|AP|²=|BP|²=|CP|²．
   又|AP|²=(x-3)²+(y-7)²+(z+4)²，
   |BP|²=(x+5)²+(y-7)²+(z+4)²，
   |CP|²=(x+5)²+(y-1)²+(z+4)²，
   由|AP|²=|BP|²=|CP|²化简得
   -3x-7y+4z+37=5x-7y+4z+45
   =5x-y+4z+21，
   从而所求点的轨迹为
   
   即

   ∴
   又∴

   ∴

l的方向单位向量=(cosα，cosβ)=(cos60°，cos30°)==f_x(x₀，y₀)cosα+f_y(x₀，y₀)cosβ
   在点(1，2)处：f_x==2y-2x=2，f_y==2x-2y=-2．
   ∴所求方向导数．

本题是有关方向导数的问题
   u_x=yz，u_y=xz，u_z=xy，u_x(1，0，1)=0，u_y(1，0，1)=1，u_z(1，0，1)=0
   由空间解析几何知识知，由点(1，0，1)到点(3，-1，3)的直线l的方向余弦为：
   ，
   ，
   ，
   因此，=u_x(1，0，1)cosα+u_y(1，0，1)cosβ+u_x(1，0，1)cosγ=-．

I=中，面积分区域如图示阴影：
 
   

积分域关于三个坐标面都对称，且被积函数是x、y、z的偶函数．
   记Ω₁为Ω位于第一卦限的部分，则
   

   

原积分=
   由于曲面∑(如下图所示)与xOy面垂直，所以∑在xOy面上投影的面积为零，故zdxdy=0．
 
   下面计算曲面积分xdydz．将∑分成前后两片：∑=∑₁+∑₂，由∑的方程x²+y²=1(0≤z≤3)得，∑₁的方程为x=(-1≤y≤1)；∑₂的方程为x=-(-1≤y≤1)．∑₁和∑₂在yOz面上的投影均为矩形区域D_yz：-1≤y≤1，0≤z≤3．由于∑₁和∑₂的法向量分别指向其投影坐标面yOz面的上、下方，故化为二重积分时分别取正号和负号．于是
   (其中由定积分的几何意义得)．(注：此题也可用高斯公式求解．)

由f(x)=1+tf(t)dt，两边同时求导得：
   f'(x)=xf(x)，即=xf(x)
   ∴=xdx  ∴
   ∴lnf(x)=
   ∴
   ∴f(x)=．

令(x≥1)，则≤0，所以f(x)是[1，+∞]上的单调减函数，且=0，故由莱布尼兹定理，知原级数收敛．
   另一方面，因为
   
   且发散，故原级数非绝对收敛，
   所以，原级数条件收敛．

∵=
   ，
   ∴，发散

本题考查多元函数极值的求解．
   现令z=f(x，y)=e^2x(x+y²+2y)
   f'_x(x，y)=2e^2x(x+y²+2y)+e^2x
   f'_y(x，y)=e^2x(2y+2)
   令f'_x(x，y)=0，f'_y(x，y)=0
   得：
   f'_xx(x，y)=2[2e^2x(x+y²+2y)+e^2x]+e^2x
   =4e^2x(x+y²+2y)+3e^2x
   f"_xy(x，y)=2e^2x(2y+2)=4e^2x(y+1)
   f'_yy(x，y)=2e^2x
   A=f'_xx=(，-1)=e
   B=f'_xy(，-1)=0
   C=2e
   Δ=B²-AC=0-e×2e=-2e²＜0
   故(，-1)点为其极小值，
   z(，-1)=-e．

柱体如下图所示：
 
   
   

本题考查函数的幂级数展开．
   已知(1＜x＜1)将原函数化为
   则