转化为隐函数y²=f²(x)+g²(x)，两边求导得
   2yy'=2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)
   y'=[f(x)f'(x)+g(x)g'(x)=

y'=f'(sin²x)2sinxcosx-f'(cos²x)2cosxsinx=f'(sin²x)sin2x-f'(cos²x)sin2x=(f'(sin²x)-f'(cos²x))sin2x

(x^μ)⁽ⁿ⁾=μ(μ-1)(μ-2)…(μ-n+1)x^μ-n

   
   由数学归纳法可知
   

取对数得
   
   两边对x求导得
   

两边对x求导得
   
   注意：(xy²)'≠y²，要用求导乘法法则和复合函数求导法则，正确的是
   (xy²)'=x'y²+x(y²)'=y²+2xyy'

证明  因为f(1·x)=f(1)+f(x)，所以f(1)=0．
   又因为  
   而    f(x·(1+Δx))=f(x+x·Δx)=f(x)+f(1+Δx)
   则    f(x+x·Δx)-f(x)=f(1+Δx)
   所以
   即
   另一种证明形式如下．
   证明

先证连续：因为，，且f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续．
   再证明f(x)在x=0处不可导．因为，，所以不可导．

因为，所以．
   因为，所以f"(1)=0．

y'=3x²lnx+x²，y"=6xlnx+5x，y"'=6lnx+11
   y⁽⁴⁾==6x^-1，y⁽⁵⁾=-6x^-2，y⁽⁶⁾=-6·(-2)x^-3
   y⁽⁷⁾=-6·(-2)(-3)x^-4
   y⁽ⁿ⁾=-6·(-2)(-3)…(-n+4)x^-n+3=(-1)^n-46×(n-4)!x^3-n

两边对x求导得e^yy'+cosx=0，所以．

当x≠-n，n∈N时，取对数得
   lnf(x)=lnx+[ln(x+1)+ln(x+2)+…+ln(x+100)]
   求导得
   
   从而
   当x=0时，不能用上面公式求导．由导数定义式，得
   

由于f(x)=ln(1+x)，y=f[f(x)]=f(ln(1+x))=ln(1+ln(1+x))，故
   

由于g'(x)=cosx，y=f[g'(x)]=f(cosx)=e^cosx，故
   

因为f'(x)=2^xln2，g'(x)=2x，所以f'(g'(x))=2^g'(x)ln2=2^2xln2=4^xln2．

，，令x²=t，得，即．

先换元，令，，即，而，所以
   

y'=(f(e^x))'e^f(x)+f(e^x)(e^f(x))'=f'(e^x)e^xe^f(x)+f(e^x)e^f(x)f'(x)
   dy=[f'(e^x)e^xe^f(x)+f(e^x)e^f(x)f'(x)]dx

   当x＜0，
   当x＞0时，
   当x=0时，
   所以f'(0)=0．
   综上所述．

因为f(x)＞0，由积分的保号性知
   
   又因为
   
   说明函数F(x)在[a，b]上单调递增，又F(a)F(b)＜0．由零点定理知，F(x)=0有且仅有一个根．