一、选择题2. 下列函数不可积的是
(A) f(x)=x
a,x∈[0,1],a>0.
(B)
x∈[0,2].
(C)
x∈[-1,1].
(D)
x∈[0,1].
A B C D
B
[解析] 对于(A):因为x
a(a>0)在[0,1]上连续,所以可积.
对于(B):因为lnx在(0,2]上无界,所以不可积.
对于(C):因为|f(x)|≤1,在[-1,1]上有界,除x=0外连续,所以可积.
对于(D):因为f(x)在[0,1]单调上升,所以可积.
综上分析,应选(B).
评注 ①题中给出了一个有界而不可积的函数.该题表明,有下面的函数类的包含关系:[a,b]上的连续函数类
上的可积函数类
上的有界函数类.
②若函数在区间上有原函数,这函数不一定在该区间上可积.例如函数F(x)=
容易知道F(x)在(-∞,+∞)内可导,且f(x)=F'(x)=
即函数f(x)在(-∞,+∞)上有原函数F(x),但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界,故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积.
7. 下列关于反常积分的命题
①设f(x)是(-∞,+∞)上的连续奇函数,则
②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且存在,则必收敛,且
③若
都发散,则不能确定
是否收敛
④若
都发散,则不能确定
是否收敛
中是真命题的个数有
A B C D
A
[解析] 反常积分
收敛的充分必要条件是对常数a,两个反常积分
与
都收敛.
设f(x)=x,f(x)是(-∞,+∞)上的连续奇函数,且
.但是
发散.所以①、②、④不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=-x,由上面的讨论知
都发散,但
g(x)]dx收敛;设f(x)=x,g(x)=x,由上面的讨论知
都发散,且
也发散.这表明③是真命题.
所以应选(A).
8. 下列命题正确的是
(A) 设f(x)为(-∞,+∞)上的偶函数且在[0,+∞)内可导,则,f(x)在(-∞,+∞)内可导.
(B) 设f(x)为(-∞,+∞)上的奇函数且在[0,+∞)内可导,则f(x)在(-∞,+∞)内可导.
(C) 设
(D) 设x
0∈(a,b),f(x)在[a,b]除x
0外连续,x
0是f(x)的第一类间断点,则f(x)在[a,b]上存在原函数.
A B C D
B
[解析] 对于(A):令f(x)=|x|,则f(x)为(-∞,+∞)上的偶函数且在[0,+∞)内可导,但f(x)在x=0不可导.
对于(C):令
不存在.
对于(D):令
则f(x)在[-1,1]上不存在原函数.事实上在所给条件下,f(x)在[a,b]上一定不存在原函数.
对于(B):当X
0∈(-∞,0)时,由于
所以f(x)在(-∞,0)内可导;当x
0=0,由于
故(B)正确.
10. 设f(x)在(-∞,+∞)内连续,则下列叙述正确的是
(A) 若f(x)为偶函数,则
(B) 若f(x)为奇函数,则
(C) 若f(x)为非奇非偶函数,则
(D) 若f(x)为以T为周期的周期函数,且是奇函数,则
是以T为周期的周期隔数.
A B C D
D
[解析] 由于0既是偶函数又是奇函数,且
,所以不选(A),(B).
若f(x)为非奇非偶函数,也可能有
.例如
在(-∞,+∞)上为非奇非偶函数,但
,因此不选(C),由排除法应选(D).
事实上,利用“若f(x)为以T为周期的周期函数,则
的值与a无关”与奇函数的积分性质可得,
有
所以
是以T为周期的周期函数.
11. 设
(A) 为反常积分,且发散. (B) 为反常积分,且收敛.
(C) 不是反常积分,且其值为10. (D) 不是反常积分,且其值为
.
A B C D
A
[解析] 由于
,所以
于是
而
发散,故
为反常积分,且发散.选(A).
12. 下列结论不正确的是
(A) 若函数f(x)在[a,b]上可积,则定积分
表示一个常数值,且该值与区间[a,b]、函数f(x)及积分变量的记号均有关.
(B) 若函数f(x)在[a,b]上可积,将[a,b]n等分,在每个小区间△x
i上任取一点ξ
i,则
必定存在,且
(C) 设有常数I,如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得对于区间[a,b]的任何分法,不论ξ
i在[x
i-1,x
i]中怎样选取,只要λ>δ,总有
(D) 若函数f(x)在[a,b]上满足下列条件之一:(ⅰ)在[a,b]上连续;(ⅱ)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点;(ⅲ)在[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积.
A B C D
17. 下列命题
①若函数F(x)、Φ(x)是同一个函数f(x)在区间I上的两个原函数,则其差F(x)-Φ(x)等于确定的常数
②设F'(x)、Φ'(x),f(x)在集合D上有定义,且满足F'(x)=Φ'(x)=f(x),则F(x)-Φ(x)≡C
③若取积分常数C=0,则可积函数f(x)的原函数唯一
④若f(x)在区间I上有原函数,则f(x)的任意两个原函数之和必为2f(x)的原函数
中正确的是
A B C D
C
[解析] 对于①:由题设,
有F'(x)=f(x),Φ'(x)=f(x),于是[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0.由“在一个区间上导数恒为零的函数必为常数”可知,Φ(x)-F(x)=C
0(C0为
某个常数).故①正确.
对于②:例如函数F(x)=arctanx,
,在集合D=(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)内满足:F'(x)=Φ'(x)=f(x),但是
这说明在D内F(x)-Φ(x)≠C.这与“函数的任意两个原函数之差为常数”的结论并无矛盾,因为原函数是建立在某一区间上的.故②不正确.
对于③:例如函数e
2x为连续函数,从而
若取C=0,得e
2x的一个原函数
,但容易证明e
xshx,e
xchx也是e
2x的原函数.又如,函数arcsin(2x-1),arocos(1-2x)和的
原函数.
对于④:由不定积分的性质可知④正确.
综上分析,应选(C).
19. 设f(x)及g(x)在[a,b]上连续,则下列命题
①若在[a,b]上,f(x)≥0,则f(x)≠0,
②若在[a,b]上,f(x)≥0,且
,则在[a,b]上f(x)=0
③若f(x)在[a,b]的任意子区间[α,β]上有
,则f(x)=0(
)
④若在[a,b]上,f(x)≤g(x),且
,则在[a,b]上f(x)≡g(x)
中正确的是
- A.①、②.
- B.①、②、③.
- C.①、②、④.
- D.①、②、③、④.
A B C D
D
[解析] ①正确.根据条件必定存在x
0∈[a,b],使得f(x
0)>0.由函数f(x)在x
0连续可知,存在a≤α<β≤b,使得当x∈[α,β]时
.因此有
由定积分性质得到
故得到结论
.
②正确.用反证法.如果f(x)≠0,由由①得到
,与假设条件矛盾,因此②成立.
③正确.用反证法.若f(x)≠0(x∈[a,b]),则
,f(x
0)≠0,不妨设f(x
0)>0,由连续性
,
,f(x)>0(x∈[x
0-δ,x
0+δ]).取[α,β]=[x
0-δ,x
0+δ],则
,与已知矛盾.因此,f(x)≡0(x∈[a,b]).
④正确.臣为h(x)=g(x)-f(x)≥0,且
,由②可得h(x)≡0,从而结论成立.
综上分析,应选(D).
21. 下列命题
①设∫f(x)dx=F(x)+C,则对任意函数g(x),有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C
②设函数f(x)在某区间上连续、可导,且f'(x)≠0.又f
-1(x)是其反函数,且∫f(x)dx=F(x)+C,则
∫f
-1(x)dx=xf
-1(x)-F[f
-1(x)]+C
③设∫f(x)dx=F(x)+C,x∈(-∞,+∞),常数a≠0,则∫f(ax)dx=F(ax)+C.
④设∫f(x)dx=F(x)+C,x∈(-∞,+∞),则
中正确的是
A B C D
D
[解析] 这是一些函数恒等式,且左端均为不定积分,所以右端必须含一项任意常数项C,否则就不成立.余下就看右端的非常数项函数与左端的被积函数是否有相同的定义域以及右端函数的导数是否是左端的被积函数.
对于①:例如函数g(x)=2x,有
故①不正确.但当g(x)=x+b时,等式还是成立的,即
∫f(x+b)dx=F(x+b)+C.
对于②:应用分部积分法可得
∫f
-1(x)dx=xf
-1(x)-∫fx[f
-1(x)]'dx.
记y=f
-1(x),则x=f(y),dy=[f
-1(x)]'dx,于是
∫x[f
-1(x)]'dx=∫f(y)dy=F(y)+C,
∫f
-1(x)dx=xf
-1(x)-F[f
-1(x)]+C.
故②正确.
对于③:因为F'(x)=f(x),所以
[F(ax)]'=F'(ax)·a=af(ax),
即 a∫f(ax)dx=F(ax)+C,
因此,a≠1时等式不成立.由此可知③不正确.
对于④:因为F'(x)=f(x),所以
因此
.故④正确.
综上分析,应选(D).
22. 设
则下列结论
①在[-1,1]上f
1(x)存在原函数 ②存在定积分
③存在f'
2(0) ④在[-1,1]上f
2(x)存在原函数
中正确的是
A B C D
C
[解析] ①不正确.若存在原函数F(x),则在区间[-1,0],
;在区间(0,1]上F(x)=e
x+C
2.在x=0处F(x)应连续,所以C
1=C
2+1,于是
但此F(x)在x=0处F'
-(0)=0,F'
+(0)=1,F'(0)不存在,所以此F(x)在[-1,1]上不是f
1(x)的原函数,矛盾,故①不正确.
②正确.f
1(x)在[-1,1]上有界且只有1个间断点,所以
存在,且
③不正确.由导数定义可知f'
2(0)不存在.
④正确.因为f
2(x)在[-1,1]上连续,所以存在原函数.
综上分析,应选(C).
23. 积分上限函数
(a≤x≤b)是一种由积分定义的新的函数,它的特征是自变量x为积分上限,F(x)与x的对应法则由定积分给出下列对F(x)的理解不正确的是
(A) 若函数f(x)在[a,b]上连续,则F(x)可导,且F'(x)=f(x).
(B) 若函数f(x)存[a,b]上连续,则F(x)就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
(C) 若函数f(x)存[a,b]上(有界,且只有有限个第一类间断点)可积,则F(x)在[a,b]上连续,且可微.
(D) 若积分上限是x的可微函数g(x),则
是F(u)与u=g(x)的复合函数,求导时必须使用复合函数求导法则,即
A B C D
[解析] 对于(A):由变上限积分的性质可知(A)正确.由此得到一个重要结论:连续函数一定存在原函数.有些积分如
等虽然“积”不出来,但因被积函数在其定义区间上连续,所以一定存在原函数.
对于(B):若f(x)为[a,b]上的连续函数,由变上限积分函数的性质可知,必有
由原函数的定义可知,若f(x)为[a,b]上的连续函数,则
必为f(x)在[a,b]上的一个原函数.故(B)正确.
评注 1°此命题表明任何连续函数都存在原函数.
2°若f(x)在[a,b]上存在原函数,则f(x)在[a,b]上的所有原函数可以表示为
3°若f(x)为[a,b]上的连续函数,则
为
4°若f(x)不是[a,b]上的连续函数,则
不一定为f(x)在该区间上的原函数.因为若f(x)不是连续函数,很可能
不可导.如,设
,则
(A)F(x)在x=0处不连续.
(B)F(x)在(-∞,+∞)上连续,但在点x=0处不可导.
(C)F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足F'(x)=f(x).
(D)F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足F'(x)=f(x).
首先要注意:当f(x)为连续函数,
的原函数,此时有
如果f(x)不为连续函数,则上述结论不成立.由于f(x)为分段函数,因此变上限积分F(x)
出为分段函数.当x<0时
;当x>0时
;当x=0时F(0)=0;因此F(x)=|x|,可知F(x)在(-∞,+∞)上连续,但是在x=0点处不可导.故应选(B).
对于(C):F(x)在[a,b]上连续的结论是明显的,但F(x)不一定可微.假设F(x)可微,即有
F'(x)=f(x),这表明在某区间上可微函数的导函数具有第一类间断点,这与“若导函数有不连续点,则只可能是第二类间断点”相矛盾,故(C)不正确.
对于(D):显然正确.
综上分析,应选(C).
24. 下列命题不正确的是
- A.若f(x)在区间(a,b)内的某个原函数是常数,则f(x)在(a,b)内恒为零.
- B.若f(x)的某个原函数为零,则f(x)的所有原函数为常数.
- C.若f(x)在区间(a,b)内不是连续函数,则在这个区间内f(x)必无原函数.
- D.若F(x)是f(x)的任意一个原函数,则F(x)必定为连续函数.
A B C D
C
[解析] 假设F(x)是f(x)的一个原函数,则必有F'(x)=f(x).
对于命题(A):如果f(x)在区间(a,b)内的某个原函数F(x)=k(k是常数),则在(a,b)内任意点x处,f(x)=F'(x)=0,所以此命题正确.
对于命题(B):若F(x)=0是f(x)的一个原函数,则F(x)+c=c就是f(x)的所有原函数,从而此命题正确.
f(x)在区间(a,b)内连续是其原函数存在的充分条件,命题(C)是错误的,只需举反例说明,如函数
在(-1,1)内不连续,但它存在原函数
若F(x)是f(x)的一个原函数,则必有F'(x)=f(x),说明F(x)可导,而可导必连续,所以命题(D)正确.
综上分析,应选(C).
25. 下列命题不正确的是
(A) 初等函数在其定义区间(a,b)内必定存在原函数.
(B) 设a<c<b,f(x)定义在(a,b)上,若x=c是f(x)的第一类间断点,则f(x)在(a,b)不存在原函数.
(C) 若函数f(x)在区间,上含有第二类间断点,则该函数在区间,上不存在原函数.
(D) 设函数
x∈(-∞,+∞),则函数f(x)在(-∞,+∞)上不存在原函数.
A B C D
C
[解析] 对于(A):由于初等函数在其定义区间内必定为连续函数,而连续函数必定存在原函数,因此(A)正确.
对于(B):设f(x)在(a,b)存在原函数记为F(x),则它在(a,b)可导、连续.另一方面
若x=c是f(x)的跳跃间断点
,这与F(x)在x=c可导矛盾.
若x=c是f(x)的可去间断点,则
,也与F(x)是f(x)在(a,b)的原函数矛盾.
因此,f(x)在(a,b)不存在原函数.故(B)正确.
对于(C):例如函数
的导函数为
显然,x=0是f(x)的第二类间断点,但F(x)却是f(x)的原函数.故(C)不正确.
对于(D):设f(x)在(-∞,+∞)存在原函数F(x),则
由此可知,F(x)在点x=0处不可导,这与F'(0)存在矛盾.因此f(x)在(-∞,+∞)不存原函数.
故(D)正确.
综上分析,应选(C).
26. 下列等式或结论正确的是
(A) ∫0dx=0. (B)
.
(C)
(D) 设等式a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立,则a=0.
A B C D
B
[解析] 对于(A):由于0只是0的一个原函数,并不是0的全体原函数,由不定积分的定义可知(A)不正确.事实上,应该是∫0dx=C.
对于(B):由于等式右端的非常数项函数与左端的被积函数有相同的定义域,且右端函数的导数是左端的被积函数,由不定积分的定义可知(B)正确.
评注 注意
.因为等式右端仅当x>0时才有意义,而左端对x<0时出有意义,所以当x<0时该等式不成立.
对于(C):由于当a=-1时此等式不成立,因此(C)不正确.
对于(D):由不定积分的定义知,对任意的a∈(-∞,+∞),a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立,因此(D)不正确.
综上分析,应选(B).
27. 下列计算
A B C D
A
[解析] 这几道题都是想用牛顿一莱布尼兹公式来计算定积分,在应用这个公式时要注意验证条件.若条件不满足则不能用.
对于(1):被积函数在[0,3]是无界的,因此是不可积的(黎曼不可积),定积分不存在,第①步
就是错的.
对于(2):被积函数在[0,π]连续恒正,所以积分值是正的,从答案看,这是错的.
错在哪里?第①、②、③步的变形是为了求出原函数
没有定义,即不满足条件:
,从而不能在[0,π]上用牛顿-莱布尼兹公式,第④步是错的.
改正:注意,
连续,且
又
于是可分别在
利用推广的牛顿-莱布尼兹公式得
对于(3):注意,
此步骤①是错误的.
改正:
评注 1°实质上被积函数是分段函数,所以要用分段积分法.
2° 被积函数在
上恒正,积分值应是正的,若算出I≤0,自然就是错的,应检查错在哪里?这里的错误是
对于(4):可以验证:
在x=0不可导,在[-1,1]上不满足用牛顿-莱布尼兹公式的条件,因此解法是错误的.
改正:用分段积分法,并分别在[-1,0]与[0,1]上用推广的牛顿-莱布尼兹公式:
评注 这里
要验证它在[-1,1]可积,只须考察
因此f(x)在[-1,1]有界,只有间断点x=0,于是f(x)在[-1,1]可积.事实上,若补充定义f(0)=0,则f(x)在[-1,1]连续.
30. 设
,则F(x)
- A.是零.
- B.是一个正数.
- C.是一个负数.
- D.不是常数.
A B C D
B
[解析] 因被积函数f(t)=e
costcost是以2π为周期的偶函数,当x∈[0,π]时e
cosxcosx≥0且不恒等于零,于是
F'(x)=f(x+2π)-f(x)=0.
所以F(x)必是一个常数.
又因为
,故应选(B).
31. 下列结果不正确的是
A B C D
D
[解析] 对于(A):以x为变量,
为常数,故
.(A)正确.
对于(B):以b为变量,这是变上限积分的求导,则
.故(B)正确.
对于(C):以a为变量,这是变下限积分的求导,则
.故(C)正确.
对于(D):
故(D)不正确.
评注 ①在变限积分求导中常犯的错误是漏项,如
分别漏掉了 (2x
2)'=4x,(cos
2x)'=-sin2x.
②对积分上限的函数求导时应注意以下两点:
第一,首先要弄清是对哪个变量求导,把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来.积分上限的函数的自变量是上限变量,因此对积分上限的函数求导,就是对上限变量求导,与积分变量没有关系.但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况,这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来,并提到积分号外,然后再进行求导.例如对
求导时,应先把它写作
,然后应用乘积的求导公式求导.
第二,当积分上限,甚至积分下限,都是x的函数时,就要应用复合函数的求导法则进行求导.一般说来,有下述结果:当函数α(x),β(x)均在(a,b)内可导,函数f(x)在[a,b]上连续时,则有
综上分析,应选(D).
二、填空题1.
[解析]
2. 已知f(x)为非负连续函数,且当x≥0时
,则f(x)=______.
[解析] 由于
令
,由于F(0)=0,所以C=0.
因此
,又因为当x≥0时f(x)为非负连续函数,所以F(x)≥0.
从而
,因此
.
3. 摆线
的一拱(0≤t≤2π)的弧长为______.
8
[解析]
因此,摆线的一拱(O≤t≤2π)的弧长为
4.
8
[解析]
5. 曲线y=xsinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积=______.
2π3-8π
[解析] 所求旋转体的体积为
6. 设F(x)是f(x)的一个原函数,f(x)具有连续导数,且F(0)=0,F(2)=F'(2)=1,则
=______.
1
[解析]
7. 曲线y=ln(1-x
2)相应于
的一段的弧长为______.
[解析] 先求
.因此该段曲线的弧长为
8.
π
[解析]
(有端第一项因其被积函数为奇函数,故积分为0;第二项则是半径为2的圆面积的
.)
9.
0
[解析] 令cosx=t,则
,从而
记
,可见f(t)为奇函数,故原式=0.
10. 已知f(x)的一个原函数为
,则∫xf'(2x)dx=______.
[解析] 令2x=u,则
11. 若
的原函数F(x)的表达式中,(Ⅰ)不包含对数函数;(Ⅱ)不含反正切函数,则其中的常数a和b分别满足条件______.
(Ⅰ)a任意且b=1(Ⅱ)a=0时且b任意
[解析] 按真分式的分解公式,有
(Ⅰ)F(x)的表达式中不包含对数函数的充分必要条件是A=0,C=0,即
,即
且b=1,即a任意且b=1.
(Ⅱ)F(x)的表达式中不含反正切函数的充要条件是D=0,即
x
2+ax+b≡A(x+1)(x
2+1)+B(x
2+1)+Cx(x+1)
2,
且b=1+2A,即a=0时且b任意.
12.
[解析]
13.
[解析] 令t=e
x,
.再令t=sinu,则
14. 若
15. 设
,则f(x)=______.
x+2
[解析] 等式两边都乘以cosx得:
,则
f(x)cosx=xcosx-Acosx,因此
所以A=-2,故f(x)=x+2.
16. 在y轴上的0≤y≤2一段上,有一根细棒,其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积,则其质心
1
[解析]
17. 设连续非负函数满足f(x)f(-x)=1(-∞<x<+∞),则
1
[解析] 因为
所以
18.
-12π
[解析] 利用对称区间上的奇、偶函数的简化计算公式知
由于
所以
19.
[解析]
20. 设f(x)有一个原函数为
[解析] 由题设
21. 设x≠0,
,则∫f(x)dx______.
[解析]
22.
xln(lnx)+C
[解析]