解答题 1. 设
,向量
是矩阵A
-1 属于特征值λ
0 的特征向量,若|A|=-2,求a,b,c及λ
0 的值.
[解] 由A
-1 α=λ
0 α两边左乘A得λ
0 Aα=α,即
由此可得
又因
则有 a(b-6)=0.
若a=0,由①、②解出c=-2,λ
0 =1,代入③得b=-2.
若b=6,由①、③解出c=-4,λ
0 =-1,代入②得a=-2.
2. 已知α
1 ,α
2 ,α
3 是非齐次线性方程组3个不同的解,证明:
(Ⅰ) α
1 ,α
2 ,α
3 中任何两个解向量均线性无关;
(Ⅱ) 如果α
1 ,α
2 ,α
3 线性相关,则α
1 -α
2 ,α
1 -α
3 线性相关.
[证明] (Ⅰ) (反证法)如果α1 ,α2 线性相关,不妨设α2 =kα1 ,那么 Aα2 =A(kα1 )=kAα1 =kb. 又Aα2 =b,于是k=1,与α1 ,α2 不同相矛盾. (Ⅱ) 如果α1 ,α2 ,α3 线性相关,则有不全为0的k1 ,k2 ,k3 使k1 α1 +k2 α2 +k3 α3 =0,那么 (k1 +k2 +k3 )α1 =k2 (α1 -α2 )+k3 (α1 -α3) . 由于α1 是非齐次方程组Ax=b的解,而α1 -α2 ,α1 -α3 是齐次方程组Ax=0的解,α1 不能由α1 -α2 ,α1 -α3 线性表出,故必有 k1 +k2 +k3 =0,那么 k2 (α1 -α2 )+k3 (α1 -α3 )=0. 此时k2 ,k3 不全为0(否则亦有k1 =0,与k1 ,k2 ,k3 不全为0相矛盾),故α1 -α2 ,α1 -α3 线性相关.
3. 已知矩阵
和
,若矩阵X和Y满足:
X
2 +XY=E,A(X+y)B=E,则矩阵Y=______.
由X(X+Y)=E,知X+Y=X
-1 ,于是Y=X
-1 -X.由A(X+Y)B=E有AX
-1 B=E,于是X=BA.那么
从而
所以
4. 设A是m×n矩阵,对矩阵A作初等行变换得到矩阵B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.
[证明] 因经初等行变换由A可得到B,故存在初等矩阵P
1 ,P
2 ,…,P
s 使P
s …P
2 P
1 A=B.
对矩阵A,B按列分块,并记A=(α
1 ,α
2 ,…,α
n ),B=(β
1 ,β
2 ,…,β
n ),P=P
s …P
2 P
1 ,则有P(α
1 ,α
2 ,…,α
n )=(β
1 ,β
2 ,…,β
n ).
于是 Pα
i =β
i (i=1,2,…,n).
A的列向量α
j1 ,α
j2 ,…,α
js 线性相关,
5. 设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,-1,矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α
1 =(2,3,-1)
T 与α
2 =(1,a,2a)
T ,A
* 是A的伴随矩阵,求齐次方程组(A
* -2E)x=0的通解.
[解] 由A的特征值是1,2,-1,可知行列式|A|=-2,那么A
* 的特征值是-2,-1,2.于是
所以r(A
* -2E)=r(Λ)=2.那么,(A
* -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成.
又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A
* 属于λ=2的特征向量,亦即A
* -2E属于λ=0的恃征向量.
由于A是实对称矩阵,不同特征值的特征向量相互正交.设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α
3 =(x
1 ,x
2 ,x
3 )
T ,则有
所以齐次方程组(A
* -2E)x=0的通解是:k(2,-1,1)
T ,其中k为任意实数.
[解析] 若α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量,则Aα=0α=0,即α是齐次方程组Ax=0的非零解,反之亦然.在已知条件是特征值、特征向量这一情况下,求齐次方程组的解应考虑λ=0的特征向量.
6. 已知A是n阶非零矩阵,且A中各行元素对应成比例,又α
1 ,α
2 ,…,α
t 是Ax=0的基础解系,β不是Ax=0的解.证明任一n维向量均可由α
1 ,α
2 ,…,α
t ,β线性表出.
[证明] 因为矩阵A中各行元素对应成比例,故r(A)=1,因此t=n-1. 若 k1 α1 +k2 α2 +…+kn-1 αn-1 +lβ=0, ① 用A左乘,并把Aαi =0(i=1,2,…,n-1)代入,得 lAβ=0. 由于 Aβ≠0,故l=0.于是①式为 k1 α1 +k2 α2 +…+kn-1 αn-1 =0. ② 因为α1 ,α2 ,…,αn-1 是基础解系,知α1 ,α2 ,…,αn-1 线性无关. 从而由②知k1 =0,k2 =0,…,kn-1 =0. 因此α1 ,α2 ,…,αn-1 ,β线性无关. 对任一n维向量y,由于任意n+1个n维向量α1 ,α2 ,…,αn-1 ,β,y必线性相关,那么y必可由α1 ,…,αn-1 ,β线性表出.
7. 已知A是3阶实对称矩阵,若有正交矩阵P使得
.且α
1 =
是矩阵A属于特征值A=3的特征向量,则P=______.
因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交.设属于λ=-3的特征向量α
3 =x
1 ,x
2 ,x
3 )
T ,则
由于现在属于λ=3的特征向量α
1 ,α
2 不正交,故应schmidt正交化处理.
令
把β
1 ,β
2 ,β
3 单位化,得
那么P=
为所求.
8. 设A,B,AB-E均为n阶可逆矩阵,
(Ⅰ) 证明A-B
-1 可逆; (Ⅱ) 求(A-B
-1 )
-1 -A
-1 的逆矩阵.
[证明与求解] (η) 因为 |A-B-1 |=|ABB-1 -B-1 |=|(AB-E)B-1 |=|AB-E|·|b-1 |≠0,所以 A-B-1 可逆. (Ⅱ) 由于 (A-B-1 )-1 -A-1 =(A-B-1 )-1 -(A-B-1 )-1 (A-B-1 )A-1 =(A-B-1 )-1 [E-(A-B-1 )A-1 ] =(A-B-1 )-1 (B-1 A-1 )=[AB(A-B-1 )]-1 =(ABA-A)-1 , 所以 [(A-B-1 )-1 -A-1 ]-1 =ABA-A.
10. 已知A=-E+αβ
T ,其中
,且α
T β=3,证明A可逆并求A
-1 .
[证明] (用特征值、用定义) 记B=αβ
T ,则A=-E+B.而
由于r(B)=1,α
T β=a
1 b
1 +a
2 b
2 +a
3 b
3 =3,故
|λE-B|=λ
3 -(a
1 b
1 +a
2 b
2 +a
3 b
3 )λ
2 =λ
3 -3λ
2 .
所以矩阵B的特征值是3,0,0.
那么,矩阵A的特征值是2,-1,-1,故A可逆.
因为α
T β=β
T α=3,有 β
2 =(αβ
T )(αβ
T )=α(β
T α)β
T =3B.
于是 (A+E)
2 =3(A+E).
即 A
2 -A=2E,亦即
所以
11. 设三元二次型x
T Ax经正交变换化为标准形
,若Aα=5α,其中α=(1,1,1)
T ,求此二次型的表达式.
[解] 二次型经正交变换化为标准形
,知矩阵A的特征值是5,-1,-1.设λ=-1的特征向量是β=(x
1 ,x
2 ,x
3 )
T ,由于A是实对称矩阵,故α与β正交,则有
x
1 +x
2 +x
3 =0.
解出β
1 =(-1,1,0)
T ,β
2 =(-1,0,1)
T .
那么令
于是
所以
12. 设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,秩r(A)=n,证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解.
[证明] 设α是齐次方程组Bx=0的解,则Bα=0.那么ABα=A(Bα)=A0=0,即α是方程组ABx=0的解. 若α是齐次方程组ABx=0的解,则ABα=0,那么Bα是齐次方程组Ax=0的解.因为秩r(A)=n,所以Ax=0只有0解.故Bα=0.从而α是齐次方程组Bx=0的解. 因此ABx=0与Bx=0同解.
13. 若f(x
1 ,x
2 ,x
3 )=(ax
1 +2x
2 -3x
3 )
2 +(x
2 -2x
3 )
2 +(x
1 +ax
2 -x
3 )
2 是正定二次型,则a的取值范围是______.
由题设条件知,对任意的x
1 ,x
2 ,x
3 ,恒有f(x
1 ,x
2 ,x
3 )≥0,其中等号成立的充分必要条件是
而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
所以,当a≠1且
时,
(x
1 ,x
2 ,x
3 )
T ≠0,恒有,(x
1 ,x
2 ,x
3 )>0,即二次型正定.
14. 设A是n阶实对称矩阵,满足A
4 +2A
3 +A
2 +2A=0,若秩r(a)=r,则行列式|A+3E|=______.
由A是实对称矩阵知A必可相似对角化,而当A~Λ时,Λ由A的n个特征值所构成.只要能求出对角矩阵Λ,根据
就可以求出行列式|A+3E|的值.
设λ是矩阵A的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量,即Aα=λα(α≠0),则
A
2 α=λ
2 α.A
3 α=λ
3 α.A
4 α=λ
4 α.
于是 (λ
4 +2λ
3 +λ
2 +2λ)α=0,α≠0.
即有 λ
4 +2λ
3 +λ
2 +2λ=λ(λ+2)(λ
2 +1)=0.
因为实对称矩阵的特征值必是实数,故A的特征值取自-2与0.那么由r(a)=r,得到
即矩阵A的特征值是-2(r重),0(n-r重).因此A+3E的特征值是1(r重),3(n-r重).从而
|A+3E|=3
n-r .
15. 设
,求A
n .
[解] 设
,由
对λ=1,由(E-B)x=0,
,得特征向量α
1 =(1,1)
T ;
对λ=-1,由(-E-B)x=0,
,得特征向量α
2 =(2,1)
T .
那么令P=(α
1 ,α2
)有P
-1 BP=
,从而P
-1 B
n P=Λ
n .由于
又
故
[解析] 对于分块矩阵
,有
,故可分别求出
的n次方幂.
16. 若矩阵
,B是3阶非零矩阵,满足AB=0,则t=______.
由B≠0知齐次方程组Ax=0有非零解,从而r(A)<3(或者从r(A)+r(B)≤3,r(B)≥1,亦可知r(A)<3).那么对A作初等变换有
17. 已知矩阵
与对角矩阵Λ相似,求a的值,并求可逆矩阵P,使P
-1 AP=Λ.
[解] 由
得到矩阵A的特征值 λ
1 =λ
2 =3,λ
3 =-1.
由矩阵A的特征值有重根,而A与对角矩阵相似,可知λ=3必有2个线性无关的特征向量,因而秩r(3E-A)=1.于是由
对λ
1 =λ
2 =3,解齐次线性方程组(3E-A)x=0,
得基础解系:α
1 =(1,1,0)
T ,α
2 =(1,0,1)
T .
对λ
3 =-1,解齐次线性方程组(-E-A)x=0,
得基础解系:α
3 =(1,-3,0)
T .
令
18. 已知β=(0,2,-1,a)
T 可以由α
1 =(1,-2,3,-4)
T ,α
2 =(0,1,-1,1)
T ,α
3 =(1,3,a,1)
T 线性表出,则a=______.
设x
1 α
1 +x
2 α
2 +x
3 α
3 =β,对(α
1 ,α
2 ,α
3 ┆β)作初等行变换,有
当a≠2时,r(A)≠r(A)方程组无解,β不能由α
1 ,α
2 ,α
3 线性表出,故a=2.
19. 设A是3阶实对称矩阵,λ
1 ,λ
2 ,λ
3 是矩阵A的三个不同的特征值,α
1 ,α
2 ,α
3 是相应的单位特征向量,证明
.
[证明] 令P=(α
1 ,α
2 ,α
3 ),则P是正交矩阵,由于A是实对称矩阵,故必有
那么 A=PΛP
-1 =PΛP
T 由于
从而有
20. 设n维向量α
1 ,α
2 ,…,α
s 线性无关,而α
1 ,α
2 ,…,α
s ,β线性相关,证明β可以由α
1 ,α
2 ,…,α
s 线性表出,且表示方法唯一.
[证明] 因为α
1 ,α
2 ,…,α
s ,β线性相关,故存在不全为0的k
1 ,k
2 ,…,k
s ,k使得k
1 α
1 +k
2 α
2 +…+k
s α
s +kβ=0,
那么必有k≠0(否则k
1 ,k
2 ,…,k
s 不全为0,而k
1 α
1 +k
2 α
2 +…+k
s α
s =0,这与α
1 ,α2,
…,αs线
性无关相矛盾).从而
(k
1 α
1 +k
2 α
2 +…+k
s α
s ),即β可以由α
1 α
2 ,…,α
s 线性表出.
如果β有两种表示方法,设为
β=x
1 α
1 +x
2 α
2 +…+x
s α
s 及β=y
1 α
1 +y
2 α
2 +…+y
s α
s ,
那么 (x
1 -y
1 )α
1 +(x
2 -y
2 )α
2 +…+(x
s -y
s )α
s =0.
因为x
1 -y
1 ,x
2 -y
2 ,…,x
s -y
s 不全为0,从而α
1 ,α
2 ,…,α
s 线性相关,与已知矛盾.故β的表示法唯一.
21. 已知4维向量α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 线性相关,而α
2 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性无关,
(Ⅰ) 证明α
1 可由α
2 ,α
3 ,α
4 线性表出;
(Ⅱ) 证明α
5 不能由α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 线性表出;
(Ⅲ) 举例说明α
2 能否由α
1 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性表出是不确定的.
[证明] (Ⅰ) 由α
2 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性无关,可知α
2 ,α
3 ,α
4 线性无关,又因α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 线性相关,所以α
1 可由α
2 ,α
3 ,α
4 线性表出.
或者,由α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 线性相关知有不全为0的k
1 ,k
2 ,k
3 ,k
4 ,使
k
1 α
1 +k
2 α
2 +k
3 α
3 +k
4 α
4 =0,
那么必有k
1 ≠0(否则有k
2 ,k
3 ,k
4 不全为0而k
2 α
2 +k
3 α
3 +k
4 α
4 =0,于是α
2 ,α
3 ,α
4 线性相关,这与α
2 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性无关相矛盾).从而
,即α
2 可由α
2 ,α
3 ,α
4 线性表出.
(Ⅱ) 如果α
5 =k
1 α
1 +k
2 α
2 +k
3 α
3 +k
4 α
4 ,由(Ⅰ)可设α
1 =l
2 α
2 +l
3 α
3 +l
4 α4,
那么
α
5 =(k
1 l
2 +k
2 )α
2 +(k
1 l
3 +k
3 )α
3 +(k
1 l
4 +k
4 )α4
,
这与α
2 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性无关相矛盾,从而α
5 不能由α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 线性表出.
(Ⅲ) 设α
2 =(1,0,0,0)
T ,α
3 =(0,1,0,0)
T ,α
4 =(0,0,1,0)
T ,α
5 =(0,0,0,1)
T ,那么当α
1 =(1,1,1,0)
T 时,α
2 可由α
1 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性表出;而当α
1 =α
3 时,α
2 不能由α
1 ,α
3 ,α
4 ,α
5 线性表出.
22. 已知n维向量α
1 ,α
2 ,α
3 线性无关,且向量β可由α
1 ,α
2 ,α
3 中的任何两个向量线性表出,证明β=0.
[证明] 因为β可由α1 ,α2 ,α3 中的任何两个向量线性表出,故可设 β=x1 α1 +x2 α2 , ① β=y2 α2 +y3 α3 , ② β=z1 α1 +z3 α3 , ③ ①-②:x1 α1 +(x2 -y2 )α2 -y3 α3 =0, ①-③:(x1 -z1 )α1 +x2 α2 -x3 α3 =0. 因为α1 ,α2 ,α3 线性无关,所以 x1 =0,x2 -y2 =0,y3 =0,x1 -z1 =0,x2 =0,z3 =0. 从而x1 =x2 =y2 =y3 =z1 =z3 =0. 故β=0.
23. 已知
,若矩阵A与αβ
T 相似,那么(2A+E)
* 的特征值是
记B=αβ
T ,由于
所以矩阵B的特征方程为
|λE-B|=λ
3 -2λ
2 =λ
2 (λ-2)=0,
即B的特征值是2,0,0.那么矩阵A的特征值是2,0,0,从而2A+E的特征值是5,1,1.
因此,|2A+E|=5·1·1=5.所以,(2A+E)
* 的特征值是1,5,5.
24. 已知矩阵
和
,试求可逆矩阵P,使P
-1 AP=B.
[解] 由
,得到矩阵A的特征值:λ
1 =λ
2 =0,λ
3 =1.
对应于λ
1 =λ
2 =0,解齐次线性方程组(0E-A)x=0,得基础解系:
α
1 =(-2,1,0)
T ,α
2 =(-3,0,1)
T .
对应于λ
3 =1,解齐次线性方程组(E-A)x=0,得基础解系:α
3 =(1,0,0)
T .
令
由
,得到矩阵B的特征值:λ
1 =λ
2 =0,λ
3 =1.
对应于λ
1 =λ
2 =0,解齐次线性方程组(0E-B)x=0,得基础解系:
β
1 =(1,1,0)
T ,β
2 =(-2,0,1)
T .
对应于λ
3 =1,解齐次线性方程组(E-B)x=0,得基础解系:β
3 =(2,1,0)
T .
令
由
记
P即为所求可逆矩阵.
[解析] 因为A和B均与对角矩阵
相似,可有
从而
,可知P
-1 AP=B,其中
25. 设2,2,1是3阶矩阵A的特征值,对应的特征向量依次为
求矩阵A及A
n .
[解] 按特征值特征向量的定义有 Aα
1 =2α
1 ,Aα
2 =2α
2 ,Aα
3 =α
3 .
用分块矩阵表示,得到 A(α
1 ,α
2 ,α
3 )=(2α
1 ,2α
2 ,α
3 ).
因为α
1 ,α
2 ,α
3 线性无关,矩阵(α
1 ,α
2 ,α
3 )可逆,故
A=(2α
1 ,2α
2 ,α
3 )(α
1 ,α
2 ,α
3 )
-1 由于矩阵A有3个线性无关的特征向量,矩阵A可以相似对角化,有
得到 A=PΛP
-1 .
归纳地 A
n =PΛ
n P
-1
26. 已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.
[证明] 设α
1 ,α
2 ,α
3 是矩阵A的相互正交的特征向量,若k
1 α
1 +k
2 α
2 +k
3 α
3 =0,用
左乘得
.
因为α
1 ≠0,α
1 与α
2 ,α
3 均正交,故
.于是有
k
1 ‖α
1 ‖
2 =0.
所以k
1 =0.类似可知k
2 =0,k
3 =0.
即α
1 ,α
2 ,α
3 线性无关,那么矩阵A有3个线性无关的特征向量,所以矩阵A可以相似对角化.
令
,则Q是正交矩阵,并有Q
-1 AQ=Λ.
于是 A=QΛQ
-1 =QΛQ
T .而 A
T =(QΛQ
T )
T =QΛQ
T =A,即A是对称矩阵.
27. 已知齐次方程组
同解,求a,b,c.
[解法一] 设这两个方程组的系数矩阵分别为A和B,由Ax=0与Bx=0同解,知r(A)=r(B).显然r(B)<3,故|A|=0.于是由
又由
得到方程组(Ⅰ)的通解:k(-1,-1,1)
T ,其中k为任意常数.
把x
1 =-k,x
2 =-k,x
3 =k代入方程组(Ⅱ),得
当b=1,c=2时,
方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.
当b=0,c=1时,
由于秩r(A)≠r(B),故此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)不同解.
因此a=2,b=1,c=2为所求.
[解法二] 因为Ax=0与Bx=0同解
,而
因为r(B)<3,那么
,故
当b=0,c=1时,r(B)=1而r(A)=2,故应舍去.
28. 已知4维列向量α
1 ,α
2 ,α
3 线性无关,若β
i (i=1,2,3,4)非零且与α
1 ,α
2 ,α
3 均正交,则秩r(β
1 ,β
2 ,β
3 ,β
4 )=______.
记
,A是秩为3的3×4矩阵,由于β
i 与α
1 ,α
2 ,α
3 均正交,故β
i 是齐次方程组Ax=0的非零解.又因β
i 非零,故1≤r(β
1 ,β
2 ,β
3 ,β
4 )≤n-r(A)=1.
所以秩r(β
1 ,β
2 ,β
3 ,β
4 )=1.
29. 设A为m阶正定矩阵,B是m×n矩阵,证明矩阵B
T AB正定的充分必要条件是秩r(B)=n.
[证明] 首先证必要性.
方法1° (齐次方程组只有0解)
x≠0,由于B
T AB正定,知
x
T (B
T AB)x=(Bx)
T A(Bx)>0.
所以必有Bx≠0,即齐次方程组Bx=0只有零解,故r(b)=n.
方法2° (用秩的概念、性质) 由B
T AB正定,知|B
T AB|≠0,那么
n=r(B
T AB)≤r(B)≤min(m,n)≤n.
所以,r(B)=n.
或者,由A正定,知A=D
T D,D是可逆矩阵,那么
n=r(B
T AB)=r(B
T D
T DB)=r[(DB)
T (DB)]=r(DB)=r(B).
方法3° (用反证法) 如果r(B)≠n,则B=(β
1 ,β
2 ,…,β
n )的列向量线性相关,于是存在不全为0的数k
1 ,k
2 ,…,k
n ,使
即存在x
0 =(k
1 ,k
2 ,…,k
n )
T ≠0,使得
x
0 T (B
T AB)x
0 =x
0 T B
T A(Bx
0 )=0.
这与B
T AB正定相矛盾.
再证充分性.
方法1° (用特征值) 因为(B
T AB)
T =B
T A
T (B
T )
T =B
T AB,故矩阵B
T AB对称.
设λ是矩阵B
T AB的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量,即
B
T ABα=λα,λ≠0.
用α
T 左乘上式的两端,有 (Bα)
T A(Bα)=λα
T α.
由于秩r(B)=n,α≠0,知Bα≠0及α
T α=‖α‖
2 >0,又因A正定,从而
λα
T α=(Bα)
T A(Bα)>0.
因此,特征值λ>0,即B
T AB正定.
方法2° (用定义).B
T AB对称性,略.
由于秩r(B)=n,知齐次线性方程组Bx=0只有零解,那么
x
0 ≠0,恒有Bx
0 ≠0,又因A是正定矩阵,所以对Bx
0 ≠0,必有 (Bx
0 )
T A(Bx
0 )>0,即
x
0 ≠0,恒有x
0 T (B
T AB)x
0 >0,故B
T AB是正定矩阵.
30. 设α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 是4元非齐次线性方程组Ax=b的4个解向量,且α
1 +α
2 =(2,4,6,8)
T ,α
2 +α
3 +α
4 =(3,5,7,9)
T ,α
1 +2α
2 -α
3 =(2,0,0,2)
T ,若秩r(A)=2,则方程组Ax=b的通解是
A B C D
A
[解析] 因为方程组Ax=b有解,且秩r(A)=2,那么n-r(A)=4-2=2,故通解形式为α+k
1 η
1 +k
2 η
2 .显然(D)不符合解的结构,应排除.(C)中(3,5,7,9)
T 不是Ax=b的解也应排除.下面应当用解的性质分析出特解α及导出组的基础解系.
由于A(α
1 +α
2 )=2b,有
,因此(1,2,3,4)
T 是方程组Ax=b的一个解.又
(α
2 +α
3 +α
4 )-(α
1 +α
2 )=α
3 +(α
4 -α
1 )=(1,1,1,1)
T 也是方程组Ax=b的解.而
(α
1 +α
2 )-(α
1 +2α
2 -α
3 )=α
3 -α
2 =(0,4,6,6)
T ,
3(α
1 +α
2 )-2(α
2 +α
3 +α
4 )=2(α
1 -α
3 )+(α
1 -α
4 )+(α
2 -α
4 )=(0,2,4,6)
T 是导出组Ax=0的解.
故应选(A).
31. 设
,则|2A
-1 +E|=______.
[分析一] 由于|2A
-1 +E|=|A
-1 (2E+A)|=|A
-1 ||2E+A|,因为|A|=24,故
.又
从而 |2A
-1 +E|=6.
[分析二] 由A是上三角矩阵易知矩阵A的特征值是1,4,6,那么A
-1 的特征值是
;2A
-1 的特征值是
;2A
-1 +E的特征值是
.从而
32. 已知α
1 =(-3,2,0)
T ,α
2 =(-1,0,-2)
T 是方程组
的两个解,则方程组的通解是______.
要搞清解的结构就应当知道秩r(A).因为方程组有解且不唯一,故r(A)<3.又因矩阵A中有2阶子式
,因此r(A)=2.那么,导出组的基础解系由n-r(A)=1个解向量所构成.
从而α
1 -α
2 =(-2,2,2)
T 是Ax=0的解,也即Ax=0的基础解系.
所以,方程组的通解是
,k为任意常数.
33. 设A,B分别是m阶与n阶正定矩阵,证明
是正定矩阵.
[证法一] 由于A,B均是正定矩阵,知A
T =A,B
T =B,那么
所以,矩阵C是对称矩阵.由于
可知矩阵A的特征值λ
1 ,λ
2 ,…,λ
m 与矩阵曰的特征值μ
1 ,μ
2 ,…,μ
n 就是矩阵C的特征值.
因为矩阵A,B均正定,所以λ
i (i=1,2,…,m),μ
j (j=1,2,…,n)均为正数,即矩阵C的特征值全大于零,故矩阵C正定.
[证法二] 矩阵C对称同前,略.
[证法三] C对称同前,略.
因为A,B分别是m阶,n阶正定矩阵,故存在m阶与n阶可逆矩阵D
1 与D
2 ,使得
那么,令
,则|D|=|D
1 ||D
2 |≠0,D是可逆矩阵,且
所以,C是正定矩阵.
34. 已知向量组α
1 =(1,1,1,3)
T ,α
2 =(-a,-1,2,3)
T ,α
3 =(1,2a-1,3,7)
T ,α
4 =(-1,-1,a-1,-1)
T 的秩为3,则a=______.
对A=(α
1 ,α
2 ,α
3 ,α4)
作初等行变换,有
如果a=1,则矩阵A转化为
,其秩为2,不合题意,故a≠1,于是
那么r(α
1 ,α
2 ,α
3 ,α
4 )=3
3a
2 +a=2a+2,a≠1
.
35. 已知
,矩阵X满足XA-AB=AXA-ABA,则X
3 =______.
化简矩阵方程 XA-AXA=AB-ABA,得(E-A)XA=AB(E-A).
因为A,E-A均可逆,故
X=(E-A)
-1 AB(E-A)A
-1 =(A
-1 -E)
-1 B(A
-1 -E).
那么 X
3 =(A
-1 -E)
-1 B
3 (A
-1 -E).
因为秩r(B)=1,有B
2 =2B.从而得B
3 =2
2 B=4B.于是
36. (Ⅰ) 设A,B均为n阶非零矩阵,且A
2 +A=0,B
2 +B=0,证明λ=-1必是矩阵A与B的特征值;
(Ⅱ) 若AB=BA=0,α与β分别是A与B属于特征值λ=-1的特征向量,证明向量组α,β线性无关.
[证明] (Ⅰ) 因为(E+A)A=0,A≠0,知齐次方程组(E+A)x=0有非零解,即行列式|E+A|=0,所以λ=-1必是矩阵A的特征值.同理λ=-1也必是矩阵B的特征值. 类似地,由AB=0,B≠0,知行列式|A|=0,所以λ=0必是矩阵A的特征值,同理λ=0也必是矩阵B的特征值. (Ⅱ) 对于Aα=-α,用矩阵B左乘等式的两端有BAα=-Bα,又因BA=0,故 Bα=0=0α. 即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量. 那么,α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量,因而α,β线性无关.
37. 解方程组
[解] 对增广矩阵作初等行变换,有
若a≠7,
b,恒有
,方程组有无穷多解,此时x
5 是自由变量.
Ax=0的基础解系是:
.
Ax=b的特解是:
故方程组的通解是
若a=7,b≠1,则r(A)=2,
,方程组无解.
若a=7,b=1,则r(A)=
=2<5,方程组有无穷多解,此时x
3 ,x
4 ,x
5 是自由变量。方程组的通解是:
.
38. 已知方程组
有无穷多解,则其通解是______.
对增广矩阵作初等行变换,有
若a=3,则r(A)=2,
,方程组有无穷多解.
按解的结构,通解为(3,-1,0)
T +k(-5,2,1)
T ,K为任意实数.
39. 设二次型f(x
1 ,x
2 ,x
3 ,x
4 )=x
T Ax的正惯性指数为p=1,又矩阵A满足A
2 -2A=3E,求此二次型的规范形并说明理由.
[解] 设λ是矩阵A的任一特征值,α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,即Aα=Aα,α≠0.那么(A
2 -2A)α=3α,即有(λ
2 -2λ-3)α=0,即有λ
2 -2λ-3=0,故λ=3或-1.又因正惯性指数p=1,故f的特征值必为3,-1,-1,-1.
所以,二次型的规范形是
.
[解析] 如果已知二次型的正负惯性指数就可得到二次型的规范形.若已知二次型矩阵A的特征值也就可分析其正负惯性指数.
40. 设α
1 ,α
2 ,…,α
s 和β
1 ,β
2 ,…,β
t 是两个线性无关的n维向量组,证明:向量组α
1 ,α
2 ,…,α
s ,β
1 ,β
2 ,…,β
t 线性相关的充分必要条件是存在非0向量γ,γ既可由α
1 ,α
2 ,…,α
s 线性表出,也可由β
1 ,β
2 ,…,β
t 线性表出.
[证明] 必要性.因为α1 ,α2 ,…,αs ,β1 ,β2 ,…,βt 线性相关,故存在不全为0的k1 ,k2 ,…,ks ,l1 ,l2 ,…,lt 使得 k1 α2 +k2 α2 +…+ks αs +l1 β1 +l2 β2 +…+lt βt =0,令 γ=k1 α1 +k2 α2 +…+ks αs =-l1 β1 -l2 β2 -…-lt βt ,则必有γ≠0.否则 k1 α1 +k2 α2 +…+ks αs =0 且-l1 β1 -l2 β2 -…-lt βt =0. 由于α1 ,α2 ,…,αs 与β1 ,β2 ,…,βt 均线性无关,故k1 =k2 =…=ks =0,l1 =l2 =…=lt =0,这与k1 ,k2 ,…,ks ,l1 ,l2 ,…,lt 不全为0相矛盾.从而有非0的γ,它既可由α1 ,α2 ,…,αs 线性表出,也可由β1 ,β2 ,…,βt 线性表出. 充分性.由于有非0的γ使 γ=x1 α1 +x2 α2 +…+xs αs 且γ=y1 β1 +y2 β2 +…+yt βt , 那么x1 ,x2 ,…,xs 与y1 ,y2 ,…,yt 必不全为0.从而 x1 α1 +x2 α2 +…+xs αs -y1 β1 -y2 β2 -…-yt βt =0, 即 α1 ,α2 ,…,αs ,β1 ,β2 ,…,βt 线性相关.
41. 设向量组
(Ⅰ) α
1 ,α
2 ,…,α
s 和(Ⅱ) β
1 ,β
2 ,…,β
s ,如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,且秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ),证明(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出.
[证明] 设秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r,(Ⅰ)的极大线性无关组为:αi1 ,αi2 …,αir 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,那么 r(α1 ,α2 ,…,αs ,β1 ,β2 ,…,βt )=r(β1 ,β2 ,…,βt )=r. 所以αi1 ,αi2 ,…,αir 是向量组α1 ,α2 ,…,αs ,β1 ,β2 ,…,βt 的一个极大线性无关组. 从而β1 ,β2 ,…,βt 可由理αi1 ,αi2 ,…,αir 线性表出,即β1 ,β2 ,…,βt 可由α1 ,α2 ,…,αs 线性表出.
42. 已知
,α
1 是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量,α
2 和α3是
矩阵A属于特征值λ=2的线性无关的特征向量,如果
①P=(α
3 ,-α
2 ,2α
1 ) ②P=(3α
1 ,α
3 ,α
2 )
③P=(α
2 ,α
2 -α
3 ,α
1 ) ④P=(α
3 ,α
1 +α
2 ,α
1 )
那么正确的矩阵P是
A B C D
B
[解析]
,其中P=(α
1 ,α
2 ,α
3 )
a
1 ,a
2 ,a
3 是矩阵A的特征值,而α
1 ,α
2 ,α
3 依次分别是a
1 ,a
2 ,a
3 的特征向量.
根据特征值,特征向量的性质:
1° 若α,β是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则kα+lβ(kl≠0)仍是矩阵A属于特征值λ的特征向量.
2° 若α,β是矩阵A不同特征值的特征向量,则kα+lβ(其中kl≠0)就不是矩阵A的特征向量.
因为④中的α
1 +α
2 不是矩阵A的特征向量,而②中矩阵P的特征向量的排序与对角矩阵Λ中特征值的排序不协调,故②、④不正确,所以应选(B).