银符考试题库-在线练习-MBA联考数学分类模拟题数列(三)

二、条件充分性判断．
A．条件(1)充分，但条件(2)不充分．
B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．
C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．
D．条件(1)充分，条件(2)也充分．
E．条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．

(C)．

[解析] 条件(1)仅有定性内容，条件(2)仅有定量内容(不知{a_n}是什么数列)，因而它们单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，由条件(1)有{a_n}是等比数列，再由条件(2)便得

由a₄=±8及条件(1)a₄＞0，所以a₄=8，代入前式
8(q²-1)=24，q²=4，q=2(负值舍)，a₁=1，

条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

2. 等比数列{a_n}中，有a₃a₄a₅a₆a₇a₈=729．
(1)a₅a₆=9； (2)a₄a₅a₆a₇=81．

(C)．

[解析] 条件(1)中仅含首项，条件(2)中仅含公比，而S_n的表达式含a，q两个量，因而条件(1)、条件(2)单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，

考虑到10³+1与10⁵相差十万分之一，因而先解不等式
5ⁿ＞10⁵．
两边取常用对数，

解得n≥8，因此，使S_n＞10⁵的最小的n为8，即条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

3. 设{a_n}为等差数列，使a₃能确定．
(1)a₁+a₅=20； (2)a₁+a₃+a₅=2(a₂+a₄)．

(C)．

[解析]

即“可唯一确定．条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

4. 设{a_n}为等差数列，且S₈=8，则a₁₀=-21．
(1)a₄=3； (2)a₂-a₇=20．

(D)．

[解析]

条件(2)也充分．故选(D)．

5. a，b，c成等比数列．
(1)a=b=c； (2)ax²+2bx+c=0有相等的实根．

(B)．

[解析] 条件(1)中，由S₄=20，S₈=50知

条件(1)不充分．条件(2)中，a₂+a₁₁=a₁+a₁₂=a₆+a₇，故2(a₁+a₂)-a₆-a₇+2(a₁₁+a₁₂)=40化为

条件(2)充分．故选(B)．

6. 设{a_n}为等差数列，使S₁₅=60．
(1)a₆+a₁₀===8； (2)a₁=-3，d=1．

(C)．

[解析]

即条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

7. 设{a_n}为等差数列，使S_n=-18．
(1)n=9，a₅=-2； (2)n=8，a₂+a₄+a₅+a₇=-9．

(A)．

8. 设{a_n}为等差数列，S₂₀=180，则a₁₀=12．
(1)d=6； (2){a_n}前20项中偶数项和为60．

(D)．

9. 设{a_n}为等差数列，a₁₀＜40．
(1)S₁₉=836； (2)S₂₀=840，a₁₁=48．

(D)．

[解析]

a₄+a₅=a₁+a₈=2，a₅=2-a₄=2-3=-1，
d=a₅-a₄=-1-3=-4，
a₁₀=a₅+5d=-1+5×(-4)=-21．
条件(1)充分．条件(2)中，S₈=4(a₂+a₇)=8，从而

条件(2)也充分．故选(D)．

10. 设{a_n}为等比数列，S₄=80，则S₈=6560．
(1)q⁴=81； (2)q⁴=82．

(C)．

11. 设{a_n}为等比数列，使

(1)q²=3q； (2)a₃，a₅是方程x²+82x+81=0的根．

(D)．

12. 等差数列{a_n}中，a_n≠0(n∈N₊)，则有S_2n-1=4n-2．
(1)

(2)a_n=n．

(D)．

13. 等差数列{a_n}中，a₂+a₄+a₁₅为常数，则S_n也为常数．
(1)n=14； (2)n=13．

(B)．

[解析] 条件(1)中，将d=6代入S₂₀中，有

条件(1)不充分．条件(2)中，由a₂+a₄+…+a₂₀=60知
a₁+a₃+…+a₁₉=60-10d，
180=S₂₀=60+60-10d，d=-6，
a₁₀=66+9×(-6)=12，
条件(2)充分．故选(B)．

14.

，则a_m是数列{a_n}中的最大项。
(1)m=13； (2)m=12．

(B)．

[解析]

条件(2)充分．故选(B)．

15. {a_n}是等比数列，S₂=2．要使得S₁₂=112．
(1)S₆=12； (2)S₆=4．

(A)．

[解析]

条件(1)充分，条件(2)不充分．故选(A)．

16. S₆=126．
(1)数列{a_n}中，a₁=70，a_n+1=a_n+30(n∈N₊)；
(2)数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n(n∈N₊)．

(B)．

[解析] 条件(1)中，设摆成正三角形每边有n个小球，则

方程无正整数解，条件(1)不充分．条件(2)中，设摆成正方形每边有n个球，摆成三角形每边有n+2个小球，则有

解得n=6或n=-1(舍)，条件(2)充分，故选(B)．

17. 数列{a_n}中，S_n为前n项和，则S₁₁=32．
(1)S_n=S_n-1+a_n-2； (2)a₁=2，a₂=4．

(C)．

[解析] 条件(1)定性，条件(2)定量(不知是什么数列)，它们单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，由条件(1)知

由条件(2)知

即条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

18. A＜1．

(C)．

[解析] 条件(1)中，由S_n=S_n-1+a_n-2知，当n≥3时，有a_n=a_n-2，即数列{a_n}的奇数项是常数列，偶数项也是常数列，但不知a₁，a₂得不出S₁₁=32．如a₁=1，a₂=2，S₁₁=6×1+5×2=16．条件(1)不充分．条件(2)中，令

，条件(2)也不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，由条件(2)，a₁=2，a₂=4，再由条件(2)，a_2n-1=2，a_2n=4(n∈N₊)．
S₁₁=6×2+5×4=32．
条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

19.

(A)．

[解析]

条件(2)不充分．故选(A)．

20. 已知正三角形纸片的边长为2，每次挖出正三角形的阴影部分如图4-2(A) ，同样在剩下三个白三角形中挖出三个正角形，如图4-2(B) ，……按此方法挖下去，则第n次挖去后剩下的纸片面积为

(1)n=11； (2)n=10．

(A)．

[解析] 条件(1)中，由a₅a₆=9有
a₃a₄a₅a₆a₇a₈=(a₅a₆)³=9³=729，
条件(1)充分．条件(2)中，
a₄a₅a₆a₇=(a₅a₆)²=81，
a₅a₆=±9，
a₃a₄a₅a₆a₇a₈=(a₅a₆)³=±729，
条件(2)不充分．故选(A)．

21. 数列{a_n}的前n项和S_n=aⁿ-1，则数列{a_n}不是等比数列．
(1)a=0； (2)a=1．

(B)．

22.

(2)a_n+2S_nS_n-1=0．

(C)．

23. 设a，b，c，d为等比数列，a＞0，能使a唯一确定．

(D)．

[解析] 条件(1)中，

条件(1)充分．条件(2)中

条件(2)也充分．故选(D)．

24. a₈=8．
(1)等差数列{a_n}，a₁-3a₄+a₈-3a₁₂+a₁₅=-24；

(E)．

[解析]

条件(1)不充分．条件(2)中，

条件(2)也不充分．故选(E)．

25. 设{a_n}为等差数列，则S₁₂=80．
(1)S₄=20，S₈=50； (2)2(a₁+a₂)-a₆-a₇+2(a₁₁+a₁₂)=40．

(B)．

[解析] 设第n次挖后，剩下纸片面积为an(n∈N₊)．原纸片的三角形面积为

由此可知，条件(1)不充分，条件(2)充分．故选(B)．

26. 等差数列{a_n}，使公差d=2．

(D)．

[解析] 条件(1)中，S_n=0ⁿ-1=-1，a₁=-1，a_n=0(n≥2)，{a_n}不是等比数列，条件(1)是充分的．条件(2)中，S_n=1ⁿ-1=0，则a_n=0(n≥1)，{a_n}也不是等比数列，条件(2)充分．故选(D)．

27. {a_n}为等差数列．
(1)S_n=2n(n+1)； (2)S_n=2(n+1)n+1．

(C)．

[解析]

28.

(1)a²，1，b²成等差数列；

(E)．

[解析]

29.

(1)a=1； (2)a=0．

(B)．

[解析]

若x，y，z成等差数列，只需x+z=2y，即2=a+2，a=0．因此条件(1)不充分，条件(2)充分，故选(B)．

30. 整数数列a，b，c，d中，a，b，c成等比数列，则b，f，d成等差数列．
(1)b=10，d=6a； (2)b=-10，d=6a．

(E)．

[解析] 条件(1)中，令a=1，c=100，d=6，但b=10，c=100，d=6不成等差数列；条件(2)中，令a=1，c=100，但b=-10，C=100，d=6也不成等差数列，从而条件(1)、条件(2)单独都不充分．而条件(1)、条件(2)不能联合，即联合也不充分．故选(E)．

31. S₆=126．
(1)数列{a_n}的通项公式是a_n=10(3n+4)(n∈N)；
(2)数列{a_n}的通项公式是a_n=2ⁿ(n∈N)．

(B)．

[解析]

32. S₂+S₅=2S₈．
(1)等比数列前他项和为S_n，且公比为

；
(2)等比数列前n项和为S_n，且公比为

(A)．

[解析]

因此，条件(1)充分，条件(2)不充分．故选(A)．

33. 等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=2n．
(1)a₁=2； (2){a_n+1)也是等比数列．

(C)．

34. 两个等差数列{a_n}与{bn}中，

.
(1)等差数列{a_n}与{b_n}的前n项和S_n与S'_n有关系

；
(2)等差数列{a_n}与{b_n}的前n项和S_n与S'_n有关系

(C)．

35. 等比数列{a_n}中，满足S_n＞4095的最小的n值为7．
(1)等比数列{a_n}中，a₁=3；
(2)等比数列{a_n}中，q=4．

(B)．

[解析]

36. 在等差数列{a_n}中，a₃=4．
(1)等差数列{a_n}中，S₅=20；
(2)数列{a_n}中，S_n=14n-2n²．

(C)．

[解析] 要求S₂₈需要a₁和q两个参数．而条件(1)和条件(2)单独都只有一个条件，不能求出这两个值来．从而条件(1)和条件(2)单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，则满足

条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

37. 数列a，b，c是等差数列但不是等比数列．
(1)a，b，c满足关系式2^a=3，2^b=6，2^c=12；
(2)(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0．

(C)．

[解析] 条件(1)中，令a_n=2ⁿ，但

，条件(1)不充分．条件(2)中，令a_n=1，{a_n}与{a_n+1}均为等比数列．但S_n=n，条件(2)也不充分．将条件(1)和条件(2)联合起来考虑，由{a_n}成等比数列与条件(1)有a_n=2q^n-1，由条件(2)(a_n+1)也成等比数列，有a₁+1，a₂+1，a₃+1成等比数列，从而
(a₂+1)²=(a₁+1)(a₃+1)，
(2q+1)²=(2+1)(2q²+1)，
q²-2q+1=0，q=1，a_n=2，S_n=2n．
条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

38. 自然数n₀满足不等式2n²-31n+119＜0．
(1)等差数列{a_n)中，a₁=-20，

，S_n₀是前n项和S_n中的最小值；
(2)等差数列{a_n}中，a₁=20，d=-4，S_n₀是前n项和S_n中的最大值．

(B)．

[解析]

条件(2)充分．故选(B)．

39. {a_n}是等差数列且公差d=-4．
(1)等差数列{a_n}中，a₁=23，前6项为正数，从第7项起为负数；
(2)等差数列{a_n}的公差d为整数．

(C)．

[解析] S_n中含a₁，q两个参数，条件(1)无q，条件(2)无a₁，因而条件(1)、条件(2)单独都不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，

因此，满足S_n＞4095的最小n值为7．条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

40. 数列{a_n}的前n项和

(1){a_n}是等比数列，a₁=1，q=2；
(2){a_n}数列的前n项和S_n=2ⁿ-1．

(D)．

[解析] 条件(1)中，由S₅=20知

条件(1)充分．条件(2)中，
a₃=S₃-S₂=(14×3-2×3²)-(14×2-2×2²)=4，
条件(2)也充分．故选(D)．

41. 某厂能计算五年内产值的平均增长率．
(1)计划从今年起到第五年年末年产值比去年增加211万元；
(2)计划从今年起到第五年年末年产值增加到243万元．

(A)．

[解析] 条件(1)中，a=log₂3，b=log₂6，c=log₂12，由3，6，12成正项等比数列，知n，6，c成等差数列；又由

，(由log₂3≠log₂12知以上均值不等式中等号不成立)，知a，b，c不成等比数列，条件(1)充分．条件(2)中，a=b=c，常数列既是等差数列(d=0)又是等比数列(q=1)，条件(2)不充分．故选(A)．

42. 实数a，b，c成等比数列．
(1)关于x的一元二次方程ax²-2bx+c=0有两个相等实根；
(2)log₂a，log₂b，log₂c成等差数列．

(A)．

[解析]

条件(1)中，{a_n}是首项负公差正的递增等差数列，令a_n=0，即

，

，{a_n}前8项为负，第9项以后皆正，所以，S₈最小，n₀=8，条件(1)充分．条件(2)中，{a_n}是首项正公差负的递减等差数列，令a_n=0，即20+(n-1)(-4)=0，n=6，{a_n}前5项为正，第6项为零，第7项以后皆负，n=5或n=6时S_n最大，n₀=5或n₀=6．条件(2)不充分，故选(A)．

43. 数列a，b，c是等比数列不是等差数列．
(1)log₂a，log₂b，log₂c成等差数列；
(2)a，b，c满足3^a=4，3^b=8，3^c=16。

(C)．

[解析] 条件(1)中，a₇＜0＜a₆，

有无穷多个d适合上面不等式，条件(1)不充分，条件(2)显然不充分．将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，

解得d=-4．条件(1)、条件(2)联合起来充分，故选(C)．

44. {a_n}是等比数列，a₁＜0，则{a_n}是递增数列．
(1)q＞0； (2)q＜1．

(D)．

[解析] 由条件(1)，a_n=2^n-1，a_n²=2^2n-2=4^n-1，{a_n²}是首项为1，公比为4的等比数列，

条件(1)充分．条件(2)中，

，数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^n-1，同条件(1)等价，条件(2)也充分．故选(D)．

45. 数列{a_n}是等差数列．
(1)点P_n(n，a_n)都在直线y=2x+1上；
(2)点Q_n(n，S_n)都在抛物线y=x²+1上．

(C)．

[解析] 条件(1)仅有增加的产值数，条件(2)仅含到第五年的产值，因此单独都不充分，将条件(1)、条件(2)联合起来考虑，设五年内产值的平均增长率为x，去年产值为a₁万元，第k年产值为a_k+1万元(k=1，2，3，4，5)．由条件(1)、条件(2)有

可从上式求出x，因而条件(1)、条件(2)联合起来充分．故选(C)．

46. 等差数列{a_n}中，S₁₃=52．
(1)a₄+a₁₀=8； (2)a₂+2a₈-a₄=8．

(B)．

[解析] 条件(1)中，关于x的二次方程ax²-2bx+c=0有两个相等实根，可得

令b=c=0，a≠0，则a，b，c不成等比数列，条件(1)不充分．条件(2)中，由log₂a，log₂b，log₂c成等差数列，知

因此，a，b，c成等比数列，条件(2)充分．故选(B)．

47. 等差数列{a_n}中，S_n的最小值是S₂₁．
(1)a₁＜0； (2)3a₄=5a₁₁．

(E)．

[解析] 条件(1)中，由19题可知，a，b，c成等比数列，令a=b=c=2，此时a，b，c又成等差数列，条件(1)不充分．条件(2)中，a=log₃4，b=log₃8，c=log₃16，
a+c=log₃4+log₃16=log₃64=2log₃8=2b，
即a，b，c成等差数列，条件(2)也不充分，条件(1)、条件(2)联合起来同样也不充分．故选(E)．

48. a₁b₂=15．
(1)-9，a₁，-1成等差数列；
(2) -9，b₁，b₂，b₃，-1成等比数列．

(C)．

[解析] 条件(1)中，令q=1，{a_n}是常数列，非递增数列，条件(1)不充分．条件(2)中，令q=-1，{a_n)是摆动数列，非递增数列，条件(2)也不充分．将条件(1)和条件(2)联合起来考虑，即0＜q＜1，由q＞0知{a_n}是负项数列，a_n＜0(n∈N₊)．由

(n∈N₊)，因此，{a_n}是递增数列．故选(C)．

49. q＞1．
(1)等比数列{a_n}的公比为q，{|a_n|}是递增数列；
(2)等比数列{a_n}的公比为q，{a_n)是递增数列．

(A)．

[解析] 条件(1)中a_n=2n+1，即a_n是n的一次函数，数列{a_n}是等差数列，条件(1)充分．条件(2)中，S_n=n²+1，a₁=S₁=1²+1=2，
a₁+a₂=S₂=2²+1=5，a₂=5-2=3，
a₁+a₂+a₃=S₃=3²+1=10，a₃=5，
a₃-a₂=2，a₂-a₁=1．
从而{a_n}不是等差数列，条件(2)不充分．故选(A)．

50.