一、选择题2. 若连续函数f(x)满足关系式
,则f(x)等于______
- A.exln2.
- B.e2xln2.
- C.ex+ln2.
- D.e2x+ln2.
A B C D
B
[解析] 在等式
两端对x求导得f′(x)=2f(x),则
,lnf=2x+C
1,即f(x)=Ce
2x.
由题设知f(0)=ln2,得C=ln2,因此f(x)=e
2xln2.故选B.
3. 使不等式
成立的x的范围是______
A.(0,1).
B.
C.
D.(π,+∞).
A B C D
A
[解析] 原问题可化为
求
成立时x的取值范围,由
>0,t∈(0,1)知,当x∈(0,1)时,f(x)>0。故应选A.
4. 数列极限
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
这是函数
在[0,1]上的一个积分和,即
其中将积分区间[0,1]n等分,n等分后每个小区间是
,ξ
i是区间的右端点.
因此,原式
,故选B.
5.
等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 结合积分的定义,则
故选B.
6. 设m,n均是正整数,财反常积分
的收敛性______
- A.仅与m的取值有关.
- B.仅与n的取值有关.
- C.与m,n的取值都有关.
- D.与m,n的取值都无关.
A B C D
D
[解析] 显然x=0,x=1是两个瑕点,有
对于
的瑕点x=0,当x→0
+时
上式等价于
,而
收敛(因m,n是正整数,则
),故
收敛;对于
的瑕点x=1,当
时
而
显然收敛,故
收敛.所以选D.
7. 若连续函数满足关系式
,则f(x)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由题意
,所以,f(1)=e.
又
,解此方程有
因f(1)=e,所以得C=1,于是
,故选C.
8. 设
,则______
- A.I1>I2>1.
- B.1>I1>I2.
- C.I2>I1>1.
- D.1>I2>I1.
A B C D
B
[解析] 因为当x>0时,有tanx>x,于是有
.从而,
可见有I
1>I
2,可排除C,D,又由
,可排除A,故应选B.
9. 积分
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 这是无界函数的反常积分,x=±1为瑕点,与求定积分一样,作变量替换x=sint,其中
,
故选B.
10. 设f(x)在[a,b]连续,则f(x)在[a,b]非负且在[a,b]的任意子区间上不恒为零是
在[a,b]单调增加的______.
- A.充分非必要条件.
- B.必要非充分条件.
- C.充要条件.
- D.既非充分又非必要条件.
A B C D
C
[解析] 已知g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则g(x)在[a,b]单调增加
(x∈(a,b)),在(a,b)内的任意子区间内g′(x)≠0.
因此,
(在[a,b]可导)在[a,b]单调增加
且在(a,b)内的任意子区间内F′(x)=f(x)≠0.故选C.
12. 方程
根的个数______
A B C D
B
[解析] 设
,则F(x)在(-∞,+∞)内连续,又
0,
,由零点定理得F(x)=0至少有一个根.
又易知
且当x∈(-∞,+∞)时,
(等号仅当x=0成立),又0<e
-cos2x≤1,-1≤sinx≤1,所以有-1≤e
-cos2xsinx≤1,又F′(0)=1>0,因此F′(x)>0,从而有F(x)在(-∞,+∞)严格单调递增,由此,F(x)=0最多有一实根.
综上,F(x)=0在(-∞,+∞)上有且仅有一个实根,故选B.
13. 由曲线
与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由曲线y=f(x)绕x轴旋转所得旋转体的体积计算公式,得
故选B.
14. 设一元函数f(x)有下列四条性质.
①f(x)在[a,b]连续
②f(x)在[a,b]可积
③f(x)在[a,b]存在原函数
④f(x)在[a,b]可导
若用
表示可由性质P推出性质Q,则有______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 这是讨论函数f(x)在区间[a,b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题.
由f(x)在[a,b]上可导
在[a,b]连续
在[a,b]可积且存在原函数.故选C.
16. 曲线y=e
-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 当0≤x≤π或2π≤x≤3π时,y≥0;当π≤x≤2π时,y≤0.所以y=e
-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成的面积为
故选C.
17. 由曲线y=1-(x-1)
2及直线y=0围成图形绕y轴旋转而成的立体的体积V是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 根据选项,需要把曲线表成x=x(y),于是要分成两部分:
则所求立体体积为两个旋转体的体积之差,其中
于是有
,故选D.
19. 设函数f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 取f(x)=x,则相应的
均为奇函数,故不选A、C、D.应选B.
二、填空题2. 已知
(C为任意常数),则f(x)=______.
,C为任意常数
[解析] 对等式
两边求导,得f′(x
3)=3x
2.
令
,则
,故
,C为任意常数.
3.
______.
[解析] 令
,那么x=t
2-1,dx=2tdt,则有
原式
4.
______.
[解析] 令x-1=sint,则
5.
______.
[解析] 令t=x-1得
6. 设
则
______.
[解析] 令x-1=t,得
7. 设
,则
______.
9. 设可导函数y=y(x)由方程
确定,则
______.
-1
[解析] 已知
,令x=0,则y(0)=0.
等式两端同时对x求导,得
将x=0,y(0)=0代入上式,得
因此可得
10.
______.
11. 设位于曲线
下方,x上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______.
[解析]
13. 设
,则F(x)=______.
[解析] 对F(x)求导,可得
,则F(x)为常数.
所以
14. 曲线
,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______.
[解析]
15.
则
______.
[解析] 设x-2=t,dx=dt,当x=1时,t=-1;当x=4时,t=2.
于是
16. 由曲线
和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______.
4ln2
[解析]
18.
______.
[解析] 令x=sint,则
19. 广义积分
______.
[解析] 利用凑微分法和牛顿——莱布尼茨公式求解.
20. 已知
,则k=______.
-2
[解析] 由已知条件,
已知要求极限存在,所以k<0.于是有
,因此,k=-2.
21.
______.
0
[解析] 令
=-e
-xsinnx-ne
-xcosnx-n
2I
n.
所以
因此
22. 设函数
且λ>0,则
______.
[解析] 已知x≤0时,函数值恒为0,因此可得
23. 设函数
,则y=f(x)的反函数x=f
-1(y)在y=0处的导数
______.
[解析] 由反函数的求导法则可知
24. 设a>0,则
______.
[解析] 由题干可知,原式可化为
因为
是奇函数,所以
根据定积分的几何意义可得
(半径为a的半圆的面积).
所以
25.
______.
1
[解析] 原式可化为
26.
______.
ln2
[解析] 方法一:原式整理得
而
所以
方法二:利用分部积分.
27. 设
,则a=______,b=______,c=______.
a≠1;b=0;c=0或a=1;b=0;c=-2
[解析] 由于
且
存在,则一定有
,那么b=0.
当a≠1时,
.此时c=0.
当a=1时,
.此时c=-2.
28. 曲线ρθ=1相应于
的一段弧长s=______.
[解析] 由已知可得
.则
29. 设f(x)=max{1,x
2},则
______.
[解析] 由题意可知
当x<-1时,
当-1≤x≤1时,
当x>1时,
所以,
30. 抛物线y
2=2px,则从原点到这曲线上的一点M(x,y)的弧长s=______.
[解析] 设p>0,y>0,则