一、单项选择题1. 复数
等于______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析]
12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是______．
A．1
B．
C．
D．9
A B C D
C
[解析] 设圆锥底面半径为r，根据题意得：
解得
14. 已知a=3，且
以a，b，c为边长组成的三角形面积等于______．
A B C D
A
[解析] 因为
所以4tan 45°-b=0，3+
b-c=0，所以b=4，c=5．又因为a
2+b
2=9+16=25=c
2，所以△ABC是直角三角形，且a，b为两条直角边，所以△ABC的面积
故选A．
二、填空题1. 已知平面π
1:x+2y-5z+7=0与平面π
2:4x+3y+mz+13=0垂直，则m=______．
2
[解析] 两平面的法向量分别为：n
1=(1，2，-5)；n
2=(4，3，m)，由两平面垂直
4+6-5m=0
m=2．
2. 如下图，已知直线a∥b，∠1=40°，则∠2=______．
40°
[解析] 因为直线a∥b，∠1和∠2为同位角，所以∠1=∠2=40°．
3. 已知函数
当x=-2时，y的值是______．
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A=______．
30°
[解析] 因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠A为锐角，且
所以∠A=30°．
5. 已知关于x的方程3x-2m=4的解是x=m，则m的值是______．
4
[解析] 因为x=m是该方程的解，所以将其代入方程，方程仍成立，即3m-2m=4，m=4．
三、解答题1. 如下图，直线y=kx将抛物线y=2x-x
2与x轴所围成的图形分为面积相等的两个部分，求k的值．
解：抛物线y=2x-x
2与x轴两交点的横坐标为x
1=0，x
2=2，所以抛物线与x轴所围图形的面积
抛物线y=2x-x
2与y=kx两交点的横坐标为x'=0，x'
2=2-k，
所以
又知
所以(2-k)
3=4，则
2. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
解：由题意，ξ可取0，1，2，3．
3. 已知椭圆
设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
|AB|的最大值．
解：设直线l为y=kx+b，联立方程组
(1)当AB⊥x轴时，
(2)当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，A(x
1，y
1)，B(x
2，y
2)，
原点O到直线l的距离为
所以
得到
将y=kx+m代入椭圆方程得到
则
所以当且仅当
时，|AB|
2取最大值4，则|AB|最大值为2．
(3)当k=0时，
所以，综合上述情况，|AB|最大值为2．
4. 求f(x)的导函数f'(x)的最小值；
解：f(x)=e
x-e
-x-ax，所以
因为e
x＞0恒成立，所以
即f'(x)最小值为2-a．
5. 若对所有x≥0都有f(x)≥0，求a的取值范围．
解：因为对于所有x≥0，都有f(x)≥0，而f(0)=0，所以f(x)≥0，
即e
x+e
-x-a≥0
e
x+e
-x≥a，又因为e
x+e
-x≥2，所以a≤2．
6. 已知数列{a
n}中，a
1=a，S
n是数列{a
n}的前n项和，且满足S
n+S
n-1=3n
2(n=2，3，4，…)，试确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a
n}是单调递增数列．
解：由题S
n+S
n-1=3n
2 ①
S
n+1+S
n=3(n+1)
2 ②
②-①得：
S
n+1-S
n-1=a
n+1+a
n=6n+3 ③
同理，S
n+2-S
n=a
a+2+a
n+1=6(n+1)+3=6n+9 ④
④-③得
a
n+2-a
n=6
再由S
2+S
1=3×2
2=12
得a
2=12-2a
1=12-2a
a
4=18-2a
a
6=24-2a
.
.
.
a
2k=6(k+1)-2a (k∈N
+)
同理得a
2k+1=6k-3+2a (k∈N
+)
由题意{a
n}是单调递增数列有:
解得：
所以
7. 直接写出抛物线与x轴另一个交点B的坐标；
解：抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，且对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．
8. 求抛物线的解析式；
解：设抛物线的方程为y=ax
2+bx+c，则根据题意得：
解得
所以抛物线的解析式为：y=-x
2+2x+3．
9. 设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在．由y=-x
2+2x+3得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)．
根据两点间距离公式得x
2+(3-y)
2=(x-1)
2+(y-4)
2，即y=4-x．又P点(x，y)在抛物线上，所以4-x=-x
2+2x+3，即x
2-3x+1=0．解得
又因为点P在对称轴右侧的抛物线上，所以
(舍去)所以
所以
即点P坐标为
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，所以只可能有CD=PD，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)．
所以由①②可知符合条件的点P坐标为
或(2，3)．
10. 若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
解：由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据两点间距离公式，得
所以CD
2+CB
2=BD
2，所以∠BCD=90°．
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，因为CF=DF=1，所∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，所以点M的坐标为(2，3)．所以DM//BC，所以四边形BCDM为直角梯形．
由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
的图象和函数g(x)=log2x的图象的交点个数是______．
所表示的平面区域的面积为______．
解得
不等组表示的平面区域面积为
中，自变量x的取值范围是______．
∠B+
可知方程______．
深色：已答题 浅色：未答题