一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1. 设曲线
水平渐近线的条数为a,铅直渐近线的条数为b,则______。
- A.a=0,b=1
- B.a=1,b=0
- C.a=1,b=1
- D.a=2,b=1
A B C D
D
[解析]
,由
,得x=0为铅直渐近线;
由
,得y=l,y=0为水平渐近线,故a=2,b=1。
2. 设连续函数f(x)满足
,则f(x)的一个原函数F(x)=______。
- A.(x+1)e-x
- B.-(x+1)e-x
- C.(x-1)e-x
- D.-(x-1)e-x
A B C D
B
[解析] 等式左边=
=f(2x)
2=4xe
-2x,令t=2x,得f(t)=te
-t,即f(x)=xe
-x,利用分步积分得F(x)=-(x+1)e
-x。
3. 设数列{S
n}单调增加,a
1=S
1,a
n=S
n-S
n-1(n=2,3,…),则数列{S
n}有界是数列{a
n}收敛的______。
- A.充分非必要条件
- B.必要非充分条件
- C.充分必要条件
- D.既非充分也非必要条件
A B C D
A
[解析] 若{S
n}有界,则
存在,则
,即数列{S
n}有界是数列{a
n}收敛的充分条件。
反之,若{a
n}收敛,则{S
n}不一定有界。例如,取a
n=1,则a
n收敛,且S
n=n无上界。
4. 设函数f(x,y)连续,交换二次积分次序
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 交换积分顺序得
。
5. 设
,其中c
1,c
2,c
3,c
4为任意常数,则下列向量组线性相关的为______。
- A.α1,α2,α3
- B.α1,α2,α4
- C.α1,α3,α4
- D.α2,α3,α4
A B C D
C
[解析]
,故α
1,α
3,α
4必定线性相关。
7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则P{X
2+Y
2≤1}=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 由于是均匀分布,所以面积比例就是所求概率。如图所示得P{X
2+Y
2≤1}=
。
8. 设X
1,X
2,X
3,X
4为来自总体N(0,σ
2),(σ>0)的简单随机样本,则统计量
的分布为______。
- A.N(0,2)
- B.t(2)
- C.χ2(2)
- D.F(2,2)
A B C D
B
[解析] 由题目可知X
1-X
2~N(0,2σ
2),从而
又
,得
从而
。
二、填空题1.
=______。
e6
[解析]
。
2. 函数y=x
2(2lnx-1)的极值点x=______。
1
[解析] 由题目得y'=4xlnx,y"=4lnx+4,令y'=0得x=1,此时y"(1)=4>0,所以x=1为极值点且为极小值点。
3. 曲线
与x=4及y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积V=______。
[解析] 图形如图所示,曲线写为
。
旋转体体积
。
4. 设函数z=xesin
(x-y),则
=______。
[解析]
。得
。
5. 设
,A
*是A的伴随矩阵。将A的第2列加到第一列得到矩阵B,则|A
*B|=______。
9
[解析] A*=|A|=3,|B|=3,得|A*B|=9。
6. 设A,B是两个互不相容的随机事件,
,则
=______。
[解析] 由于A,B是两个互不相容的时间,所以
。
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 求曲线cos(x
2y)+ln(y-x)=x+1在点(0,1)处的切线方程。
方程两边关于x同时求导,得-sin(x
2y)[2xy+x
2y']+
(y'-1)=1,将x=0,y=1代入上式得y'|
(0,1)=2,所以切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0。
2. 设函数f(x)=max{1,x
2,x
3},求不定积分∫f(x)dx。
因为f(x)=max{1,x
2,x
3},所以
所以,当x≥1时,F(x)=∫f(x)dx=∫x
3dx=
x
4+C
1;
当-1<x<1时,F(x)=∫f(x)dx=∫1dx=x+C
2;
当x≤-1时,F(x)=∫f(x)dx=∫x
2dx=
x
3+C
3。
由原函数的连续性可知
,即
+C
1=C2+1, (1)
,即C
2-1=C
3-
。 (2)
由(1)(2)得C
1=C
2+
,C
3=C
2-
。
所以,
。
3. 求函数
的极值。
令
得
又
因为
AC-B
2=2e
-1>0,又A<0
所以(1,0)为极大值点,f(1,0)=
为极大值。
因为
AC-B
2=2e
-1>0,又A>0
所以(-1,0)为极小值点,f(-1,0)=
为极小值。
4. 求微分方程
满足条件y|
x=e=e的解。
因为
,由通解公式可得
又因为x=e时,y=e,所以代入可得C=0,因此解为y=xlnx。
5. 计算二重积分
,其中D由直线x=-π,x=π,y=2及曲线y=sinx围成。
6. 设
。
(Ⅰ)计算行列式|A|;
(Ⅱ)当实数a为何值时,方程组Ax=β有无穷多解,并求其通解。
(Ⅰ)按第一列展开易得|A|=1-a
4 (Ⅱ)
当1-a
4=-a-a
2时,方程组Ax=β有无穷多解,易得a=-1。
将a=-1代入Ax=β易得同解方程为
因为R(A)=R(
)=3
所以对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系含一个解向量,即
。
Ax=β的一个特解为
,所以Ax=β的通解为
(k为任意常数)。
7. 设
为A的属于特征值-2的特征向量。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P和对角矩阵Q,使得P
-1AP=Q。
(Ⅰ)由题意可知Aα=-2α,即
整理得
解得a=0,b=1。
(Ⅱ)
得A的特征值为λ
1=λ
2=1,λ
3=-2。
(E-A)x=0的基础解系为
。
(-2E-A)x=0的基础解系为
。
取可逆矩阵
,对角矩阵
,可使p
-1AP=Q。
8. 设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,且P{X≤1}=
。
(Ⅰ)求参数λ;
(Ⅱ)求P{X>2|X>1}。
9. 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为
(Ⅰ)求P{X=2Y};
(Ⅱ)求Cov(X-Y,Y)。
(Ⅰ)P{X=2Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=1}=
。
(Ⅱ)X的概率分布为
故
XY的概率分布为
故
Y的概率分布为
故
从而,
故Cov(X-Y,Y)=Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)-D(Y)=
。