设晶带轴为[u，v，w]，则由晶带轴定理有：
   故方向指数为或。
   晶面及晶带轴如图所示。
   

见图39。
   
   ①在600℃时合金P由α+β相组成；合金Q由β+γ相组成；合金T由α相组成。
   ②设所求合金中铜、锡、锌的质量分数分别为ω(Cu)，ω(Sn)，ω(Zn)。根据已知条件，
   P，Q，T合金分别占新合金中的质量分数为25%，25%，50%，由重心定律可得：
   ω(Ca)=25%×63%+25%×54%+50%×66%=62.25%
   ω(Sn)=25%×5%+25%×6%+50%×1%=3.25%
   ω(Zn)=25%×62%+25%×40%+50%×33%=34.5%
   即新合金的成分Cu，Sn，Zn的质量分数分别为62.25%，3.25%，34.5%。

① 设立方晶系中的两个晶向为[u₁v₁w₁]和[u₂v₂w₂]，
   由矢量数性积得知：[u₁v₁w₁]·[u₂v₂w₂]=|[u₁v₁w₁]|·|[u₂v₂w₂]|·cosθ
   故此两晶向间夹角θ就可从其余弦值求得：
   
   ② 设立方晶系中有两个晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)，它们之间的夹角θ即为它们各自法线[h₁k₁l₁]和[h₂k₂l₂]之间的夹角，故可得
   
   两晶面的夹角
   θ=arccos(cosθ)
   ③ 设立方晶系中有两个不平行晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)，它们的交线为[uvw]，按几何关系得知，这个晶向应同时位于这两个晶面上，故可得
   
   解上述方程组可得
   
   或
   
   ④ 设晶体中有两个不平行的晶向[u₁v₁w₁]和[u₂v₂w₂]，它们所决定的晶面的晶面指数为(hkl)，按晶带定律有
   
   解上述方程可得
   
   或
   

Cu-Al合金在时效处理过程中硬度随时间的变化曲线示于下图。
   
   (1)由于原子偏聚或形成有序化区域，产生共格变形的晶格畸变。位错线切过析出物，会增加界面能、反相畴界能、再加上位错线与高密度析出物的长程相互作用，使材料强度增加。变化曲线中第一个峰形(GP区(GPI)和过渡相θ″(GPII))就是这个原因的结果。
   (2)析出物的形貌由片状最后到球状，且持续粗化。位错线与析出物的长程相互作用，位错线绕过析出物，从而使材料强化。随着析出物粗化，这种强化作用减弱。变化曲线中第二个峰形(过渡相(θ′))就是这个原因的结果。

①令逆时针方向为位错环线的正方向，则A点为正刃型位错，B点为负刃型位错，D点为右螺旋位错，C点为左螺旋位错，位错环上其他各点均为混合型位错。
   各段位错线所受的力均为f=τb，方向垂直于位错线并指向滑移面的未滑移区。
   ②在外力τ和位错线的线张力T作用下，位错环最后在晶体中稳定不动，此时，故。

①Cu只有一个价电子，因此，材料中价电子的数目与Cu原子的数目一样。Cu的点阵常数为3.6151×10^-8Cu是面心立方，每个晶胞有4个原子。
   Cu的电阻率
   ρ=1/σ=1/(5.98×10⁵)=1.67×10^-6Ω·cm
   故
   ②电场强度
   
   电子迁移率为44.2cm²/(V·s)，因此电子迁移速率
   

设聚丙烯晶胞内C原子有x个，则H原子有2x个，而单胞体积
   V=abcsinβ
   
   故  
   2x=2×35=70
   因此，C₃H₆晶胞中含有35个C原子，70个H原子。

从上题得知聚乙烯的结构单元中含有2个C原子和4个H原子。若8%H原子被Cl原子所取代，则须添加Cl的质量分数为：