一、选择题 (在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的)
1. 下列运算正确的是______．
A．
B．0.1
3=0.0001
C．
D．
A B C D
C
[解析] A项，
，故A项错误；B项，0.1
3=0.001，故B项错误；D项，
，故D项错误．C项运算正确．故答案选C．
6. 在“x
2□2xy□y
2”的空格□中，分别填上“+”或“-”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是______．
A．
B．
C．
D．1
A B C D
B
[解析] 在方框中填“+”或“-”共有4种填法，分别为“+-”“++”“-+”“--”．当填入“++”“-+”时，能构成完全平方式，故概率为
．
7. 若a∈R，则“a=1”是“复数z=a
2-1+(a+1)i是纯虚数”的______．
- A.充分非必要条件
- B.必要非充分条件
- C.充要条件
- D.既不充分也不必要条件
A B C D
C
[解析] 当a=1时，复数z=2i，为纯虚数，故a=1是复数z=a
2-1+(a+1)i是纯虚数的充分条件；当复数z=a
2-1+(a+1)i是纯虚数时，即
，求得a=1，故a=1是复数z=a
2-1+(a+1)i是纯虚数的必要条件．因此答案为C．
8. 如图，⊙O
1和⊙O
2内切于点A，其半径分别是4和2，将⊙O
2沿直线O
1O
2平移至两圆外切时，⊙O
2移动的距离是______．
A B C D
D
[解析] 当⊙O2向右平移时，若使⊙O2与⊙O1外切，则移动距离为4；当⊙O2向左平移时，若使⊙O2与⊙O1外切，则移动距离为8时，故答案为D．
11. 已知点(-5，y
1)，(1，y
2)，(10，y
3)在函数y=(x-2)
2+c的图象上，则y
1，y
2，y
3的大小关系是______．
- A.y1＞y2＞y3
- B.y3＞y1＞y2
- C.y3＞y2＞y1
- D.y2＞y1＞y3
A B C D
B
[解析] 将三个点分别带入函数可得，y1=49+c，y2=1+c，y3=64+c．故y3＞y1＞y2．本题也可根据二次函数图象的对称性进行判断．
12. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，
，则△ABC的面积等于______．
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 根据三角形的面积公式可得
．
14. 如图，在某公园高为60米的观测塔CD的顶端C处测得两景点A，B的俯角分别是30°和60°，且点A、D、B在同一条直线上，则景点A、B之间的距离为______米．
A．
B．
C．
D．
A B C D
B
[解析] 由图可知，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，所以
，
(米)，故
(米)．
15. 要得到
的图象，只需将y=sin2x的图象______．
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
A B C D
C
[解析] 因为
，所以只需将y=sin2x的图象向左平移
个单位即可得到
的图象，故答案选C．
二、综合知识判断题3. “丝绸之路”是古代横跨亚、美两洲，各国进行陆路贸易的商旅大道．
对 错
B
[解析] 丝绸之路是指起始于古代中国，连接亚洲、非洲和欧洲的古代路上商业贸易路线．故题干说法错误．
5. 《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》指出，我国教育的战略目标是：到2020年，基本普及义务教育，基本形成学习型社会，进入人力资源强国行列．
对 错
B
[解析] 《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》指出，我国教育的战略目标是：到2020年，基本实现教育现代化，基本形成学习型社会，进入人力资源强国行列．故题干说法错误．
三、填空题1. 若关于x的方程
有增根，则m的值是______．
2
[解析] 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原分式方程的增根，所以方程
的增根应为x=1．原方程化为整式方程得m=x+1，又原方程有增根x=1，所以m=2．
2. 若
，则c-b
a=______．
-5
[解析] 由题意可得
所以c-b
a=4-(-3)
2=-5．
3. 若函数
与y=x-1的图象的交点坐标为(a，b)，则
的值为______．
[解析] 因为函数
与y=x-1的图象交于(a，b)，即
所以
4. 若α是第四象限的角，
，则sinα=______．
[解析] 因为
，所以
．又因为α是第四象限的角，即sinα＜0，所以
．
5. 如下图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与BC边的中点D'重合，若BC=8，CD=6，则CF=______．
[解析] 由题于可知DF=D'F，设CF=x，则DF=6-x，即D'F=DF=6-x．又BC=8，D'为BC的中点，所以D'C=4．在Rt△D'CF中，D'F
2=D'C
2+CF
2，即(6-x)
2=4
2+x
2，解得
，所以
．
6. 如下图，函数y=ax-1的图象过点(1，2)，则不等式ax-1＞2的解集是______．
{x|x＞1}＞1
[解析] 因为函数y=ax-1过点(1，2)，所以将其代入即a-1=2，解得a=3．所以不等式ax-1＞2可化为3x-1＞2，解得x＞1，所以解集为{x|x＞1}．
7. 已知椭圆
的离心率
，则m的值等于______．
2或8
[解析] 当m＞4时，椭圆离心率
，解得m=8；当m＜4时，椭圆离心率
，解得m=2，所以m=2或m=8．
8. 如下图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA的度数是______．
67.5°
[解析] 因为PD与圆O相切，所以∠OCD=∠OCP=90°．又CO=CD，则∠COD=∠D=45°．因为OC=OA，∠COD=∠DAC+∠OCA，所以
，所以∠PCA=∠OCP-∠OCA=67.5°．
9. 圆x
2+y
2-2y-4=0的圆心到直线3x+4y-6=0的距离为______．
[解析] 圆x
2+y
2-2y-4=0可化为x
2+(y-1)
2=5，故其圆心坐标为(0，1)．圆心O(0，1)到直线3x+4y-6=0的距离
．
10. 设平面向量a=(3，5)，b=(-2，1)，则a-2b=______．
(7，3)
[解析] a-2b=(3，5)-(-2×2，1×2)=(3+4，5-2)=(7，3)．
四、解答题1. 先化简
，然后从
的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
解：
，
又因为
，且x≠0，x≠±2，
所以取x=1，则原式=
．(取x=-1亦可)
2. 填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了______法，体现了______的数学思想；
3. 在实数范围内求出原方程的解．
解：设x2-x=y，则原方程可化为y2-4y-12=0，
解得y1=6，y2=-2．
当y=6时，x2-x=6，解得x1=-2，x2=3；
当y=-2时，x2-x=-2，Δ＜0，此方程无实数根．
所以原方程的解为x1=-2，x2=3．
4. 求中三等奖的概率；
解：设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，“中一等奖”的事件为C，“中二等奖”的事件为D．
因为“中三等奖”的情况有4种，故其概率
．
5. 求中奖的概率．
解：“中一等奖”的情况有2种，其概率
，
“中二等奖”的情况有3种，其概率
，
则由互斥事件的加法公式得，
“中奖”的概率
．
6. 已知{a
n}是公差不为零的等差数列，a
1=7，且a
3，a
6，a
10成等比数列．求数列{a
n}前20项的和S
20．
解：设数列{a
n}的公差为d，则由a
1=7，且a
3，a
6，a
10成等比数列得，
解得d=1或d=0，
由题意可知，公差d≠0，所以d=1．
所以
．
7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．请判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：CD与⊙O相切．
理由：连接OD，如下图所示．
因为∠AED=45°，所以∠AOD=90°，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC∥AB．
所以∠CDO=∠AOD=90°，即OD⊥CD，
又因为OD是⊙O的半径，
所以CD是⊙O的切线．
8. 求证：△ABM∽△MCN；
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠B=∠C=90°，∠BAM+∠AMB=90°．
因为AM⊥MN，所以∠AMN=90°，∠AMB+∠CMN=90°．
所以∠BAM=∠CMN，∠AMB=∠MNC，所以△ABM∽△MCN．
9. 设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大?并求出最大值．
解：由上一小题的证明可知，△ABM∽△MCN，
所以
，即
，
所以
，
所以
所以当x=1时，y有最大值，最大值为
，此时M运动到BC的中点．
．
10. 证明：平面PBE⊥平面PAB；
证明：如图所示，连接BD．
因为四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，所以△BCD为等边三角形．
又因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又因为AB∥CD，所以BE⊥AB．
又PA⊥平面ABCD，BE
平面ABCD，所以PA⊥BE．
而PA∩AB=A，所以BE⊥平面PAB，
又BE
平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．
11. 求二面角A-BE-P的大小．
由上一小题知，BE⊥平面PAB，PB
平面PAB，所以PB⊥BE，
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PSB中，
，
因为∠PBA∈(0，π)所以∠PBA=60°，
所以二面角A-BE-P的大小是60°．
．13. 令
，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
证明：由上一小题可知，
所以
又
所以函数g(x)是偶函数．
14. 求椭圆C的方程；
解：由题意设椭圆C的方程为
，且可知左焦点为F'(-2，0)．
又|AF|=3，
，
从而有
解得
又c
2=a
2-b
2，所以b
2=12，
所以椭圆C的方程为
．
15. 是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：假设存在符合题意的直线l，其方程为
，
则由
得3x
2+3tx+t
2-12=0．
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ=(3t)
2-4×3(t
2-12)≥0，解得
又因为直线OA与l的距离d=4，所以
．
解得
．
由于
，所以符合题意的直线l不存在．
中，自变量x的取值范围是______．
解得x≤3且x≠2．
根的情况是______．
，故方程有两个相等的实数根．
ABCD的周长为22cm，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为______．
，C△ABE=AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD=11cm．
深色：已答题 浅色：未答题