一、单项选择题3. 曲线e
x+1-e
y=x
2在x=0处的切线方程为______
- A.y+x-1=0
- B.y-x-1=0
- C.y-x+1=0
- D.y+x+1=0
A B C D
B
[解析] 方程两边同时对x求导,得
当x=0时,y=1,y'=1.
所以切线方程为y-1=x,即y-x-1=0,故选B.
4. 设f(x)的一个原函数为e
x,则
______
- A.xex+C
- B.ex+xex+C
- C.xex-ex+C
- D.ex+C
A B C D
D
[解析] 由题意知f(x)=(e
x)'=e
x,则
故选D.
5. 定积分
______
A.0
B.
C.
D.4
A B C D
C
[解析]
8. 设a={1,-1,2},b={4,2,-1},则|a×b|=______
A.
B.
C.
D.0
A B C D
C
[解析]
,则
,故选C.
9. 二重积
其中D为y=x
2与x=1及x轴围成.
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
,故选B.
10. 下列级数绝对收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 对于选项A
,所以级数发散;
对手选项B,
,且级数
绝对收敛,所以原级数绝对收敛;
对于选项C,
所以级数发散;
对于选项D,
为调和级数,发散.故选B.
二、填空题1. 极限
2
[解析]
2. 设
,则常数c=______.
-3
[解析]
则
,所以c=-3.
3. 幂级数
的收敛半径R=______.
1
[解析]
,所以收敛半径
4. 过点A(2,-1,3)且与直线L:x=t+1,y=2t-3,z=3t-1垂直的平面方程为______.
x+2y+3z-9=0
[解析] 直线的方向向量s
1={1,2,3),设平面的法向量为n={A,B,C),
则有
又平面过点A(2,-1,3),
则平面方程为x-2+2(y+1)+3(z-3)=0,
即x+2y+3z-9=0.
5. 微分方程y"-9y'+14y=0的通解为______.
y=C1e2x+C2e7x
[解析] 方程的特征方程为λ2-9λ+14=0,特征根为λ1=2,λ2=7.所以通解为y=C1e2x+C2e7x.
三、证明题1. 设f(x)在[0,2]上连续,且当0≤x≤1时,有f(x)+f(2-x)>0.
试证明:
[证明]
令x=2-t,则x=1时,t=1;x=2时,t=0,
由于0≤x≤1时,f(x)+f(2-x)>0,
于是
四、解答题1. 求f(x)=2x
3-6x
2-18x+2的极值.
f'(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3),f"(x)=12x-12.
令f'(x)=0得驻点为x=-1,x=3.又f"(-1)=-24<0,f"(3)=24>0,
因此,极大值为f(-1)=12,极小值为f(3)=-52.
2. 计算定积分
3. 计算由y=x
2及y=2x+3围成的平面图形的面积.
由y=x
2,y=2x+3得x
2-2x-3=0,解得:x=-1或x=3,于是,围成图形的面积为:
4. 将
展开成关于x的幂级数,并指出收敛区间.
收敛区间为x∈(-5,5).
5. 设z=xy+xf(u),其中
为可导函数,求
由于
故
6. 计算曲线积分
其中L为(x-2)
2+y
2=4在第一象限的半圆弧从点A(4,0)到0(0,0)方向.
设
所以积分与路径无关,不妨取y=0为积分路线,得
7. 求曲面4x
2+y
2-xy+3z
2=16在点(1,1,2)处的切平面方程与法线方程.
设F(x,y,z)=4x
2+y
2-xy+3z
2-16,则
F
x=8x-y,F
y=2y-x,F
z=6z.
在点(1,1,2)处,法向量n={7,1,12),
则切平面方程为:7x+y+12z-32=0.
法线方程为: