一、选择题2. 设X～P(λ)，P
1，P
2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______
- A.P1=P2．
- B.P1＜P2．
- C.P1＞P2．
- D.P1，P2大小关系不定．
A B C D
C
[解析] 若X～P(λ)，则
，其中X取偶数的概率为
X取奇数的概率为
于是
应选C．
3. 设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______
A．
B．
C．F(-a)=F(a)．
D．F(-a)=2F(a)-1．
A B C D
B
[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成立；利用区间可加性得
结合上面的等式，于是得
应选B．
4. 设二维随机变量(X，Y)在区域D:x
2+y
2≤9a
2(a＞0)上服从均匀分布，p=P{X
2+9Y
2≤9a
2}，则
A．p的值与a无关，且
B．p的值与a无关，且
C．p的值随a值的增大而增大．
D．p的值随a值的增大而减小．
A B C D
B
[解析] 因为(X，Y)在区域D：x
2+y
2≤9a
2上服从均匀分布，
所以(X，Y)的联合密度函数为
故选B．
6. 已知总体X的期望E(X)=0，方差D(X)=σ
2．X
1，…，X
n是来自总体X的简单随机样本，其均值为
，则下面可以作为σ
2无偏估计量的是______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X
2)=σ
2，则
所以选择C．对于A，B选项，由E(S
2)=σ
2，知
均不是σ
2的无偏估计量．
8. 设X
1，X
2，…，X
n是来自总体X的简单随机样本，
是样本均值，C为任意常数，则______
A．
B．
C．
D．
A B C D
C
[解析]
故选C．
9. 设总体X服从正态分布N(0，σ
2)，X
1，X
2，…，X
10是来自X的简单随机样本，统计量
服从F分布，则i等于______
A B C D
B
[解析] 因为X
1，X
2，…，X
10是来自X的简单随机样本，故独立同分布于N(0，σ
2)
因此
，则有
又
与
相互独立，故
与Y比较，得
故选B．
二、解答题1. 每次从1，2，3，4，5中任取一个数，且取后放回，用b
i表示第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b
1,b
2,b
3)
T，三阶方阵
，求线性方程组Ax=b有解的概率．
对增广矩阵
作初等行变换有
于是Ax=b有解的充要条件是
，即b
3-2b
2+b
1=0，其中b
1，b
2，b
3相互独立，且分布律相同：
，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．
所以Ax=b有解的概率为
求：2. 甲、乙投球次数X
1与X
2的分布；
每次投篮是相互独立的与其他几次无关．
事件X1=n表示“甲投了n次”，即“甲、乙各自在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或乙投进”，所以
P{X1-n}=(q1q2)n-1(p1+q1p2)，n=1，2，…其中：qi=1-pi，i=1，2．
事件“X2=m”表示“乙投了m次”，即“甲、乙前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，乙在第m次投进”，或“甲、乙前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．
特殊地，当m=0时，表示甲第一次就投中，所以
P{X2=m}=(q1q2)m-1(q1p2+q1q2p1)=q1(p2+q2p1)(q1q2)m-1，m=1，2，…
3. 若使甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则p
1，p
2满足什么条件?
设事件A表示“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X
1+X
2=2n-1时，意味着甲、乙前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X
1+X
2=2n-1}=p
1(q
1q
2)
n-1，则
若甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则
，可得
，即
4. 设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，又
求Y的概率密度f
Y(y)与分布函数F
Y(y)．
解法一：应用单调函数公式法先求Y的概率密度f
Y(y)．
由于X在(0，1)内取值
所以
的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．
因此其反函数
在(0，+∞)内单调可导，其导数h'(y)=2e
-2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．
又因为X的概率密度
所以Y的概率密度
因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为
解法二：用分布函数法先求出Y的分布函数F
Y(y)．
当y≤0时，F
Y(y)=0；
当y＞0时，0＜x=1-e
-2y＜1，
最后一步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．
故所求Y的分布函数为
将F
Y(y)对y求导，得
试求：5. (X，Y)的分布函数；
①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．
②当0＜x≤1，0＜y≤2时，
③当0＜x≤1，y＞2时，
④当x＞1，0＜Y≤2时，
⑤当x＞1，y＞2时，
综上所述，分布函数为
6. (X，Y)的边缘分布密度；
当0≤x≤1时，
当0≤y≤2时，
7. 概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X}及
8. 求(U，V)的联合分布律；
由题设可知
，故
(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．
则
(U．V)的联合分布律为
9. 求关于V的边缘分布律；
由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为
11. 设随机变量X的概率密度为
，求随机变量
的分布函数F
Y(y)．
记
如下图所示，φ(x)在[0，+∞)内最小值为-1，无最大值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．
当y∈(-∞，-1)时，F
Y(y)=0．
当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的水平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为
F
Y(y)=f
X(x)在
上的积分为
当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的水平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为
，此时
F
Y(y)=f
X(x)在
上的积分为
综上所述，y的分布函数为
12. 求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独立；
根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为
而变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为
再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度
又
所以
由于f
X(x)f
Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独立．
13. 求P{3Y≤2X}；
如下图所示，
14. 记Z=X-Y，求Z的概率密度f
Z(z)．
已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为
则
故
，Y的概率密度函数为
，设Z=X+Y．
求：15.
16. Z的概率密度函数．
F
Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独立，故
①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f
Y(y)=0，从而F
Z(z)=0；
②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，
③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，
④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，
⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，
综上
故
，令随机变量U=X+Y，V=X-Y．
求：17. U的分布函数F
1(u)；
当u＜0时，F
1(u)=0；
当u≥0时，
故U的分布函数F
1(u)为
18. V的分布函数F
2(v)；
当v＜0时，F
2(v)=0；
当v≥0时，
故V的分布函数F
2(v)为
19. P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独立．
当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F
1(u)·[1-F
2(v)]=e
-2v(1-e
-u)
2≠P{U≤u，V≥v}，从而可知，U与V不独立．
求：20. U和V的联合概率分布；
(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．
依题意知，X与Y的联合概率密度为
则有
同理
类似地可以计算出其他P
ij的值：
21. 讨论U和V的相关性和独立性．
从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出
所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；又因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独立．
，由此可知正确答案是B．
依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}满足______
，所以
所以所求V的分布律为
深色：已答题 浅色：未答题