一、选择题(下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)1. 下列反常积分收敛的是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 反常积分收敛的判定。
[解析] ∵不定积分
,
∴反常积分
,且
,所以原式=3e
-2,所以
是收敛的。故选D项。
2. 函数
在(-∞,+∞)内______。
- A.连续
- B.有可去间断点
- C.有跳跃间断点
- D.有无穷间断点
A B C D
B
[考点] 间断点的类型和重要极限。
[解析] ∵
,
∴f(x)在x=0点左右极限都存在且f(0
+)=f(0
-)=1,又f(x)在x=0无定义,根据间断点定义及性质判断,f(x)有可去间断点x=0。故选B项。
3. 设函数
,若f'(x)在x=0处连续,则______。
- A.α-β>1
- B.0<α-β≤1
- C.α-β>2
- D.0<α-β≤2
A B C D
A
[考点] 导函数在一点的连续性。
[解析] 当x<0时,f'(x)=0,f'(0)=0;当x>0时,f'(x)=
;
,
∵f'(x)在x=0处连续,
∴
,得到α-1>0。
∴
得到α-β-1>0,故选A项。
5. 设函数f(u,v)满足
,则
依次是______。
A.
,0
B.0,
C.
,0
D.0,
A B C D
D
[考点] 二元复合函数求偏导问题。
[解析] 令u=x+y,
,则
。
将上式代入
,可以得到
关于u,v的表达式,
即
。
∵
,
∴
,故选D项。
6. 设D是第一象限中的曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=
围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续,则
=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 二重积分的计算(极坐标变换)。
[解析] 平面区域D的图形为下图中阴影部分。
作极坐标变换,令
,
则该二重积分区域变为
,
所以
,故选B项。
7. 设矩阵
,若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为______。
A.a
Ω,d
Ω
B.a
Ω,d∈Ω
C.a∈Ω,d
Ω
D.a∈Ω,d∈Ω
A B C D
D
[考点] 线性方程组Ax=b有无穷多个解的充要条件。
[解析] 对Ax=b的增广矩阵作初等变换得,
∵线性方程组Ax=b有无穷多个解的充要条件是r(A)=r(A,b)<3,
∴a=1或a=2同时d=1或d=2。故选D项。
8. 设二次型f(x
1,x
2,x
3)在正交变换x=Py下的标准形为
,其中P=(e
1,e
2,e
3),若Q=(e
1,-e
3,e
2),则f(x
1,x
2,x
3)在正交变换x=Qy下的标准型为______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 二次型在正交变换下的标准型。
[解析] ∵f(x
1,x
2,x
3)在正交变换x=Py下的标准型为
,得到
,
∴
,故选A项。
二、填空题1. 设
=______。
48
[考点] 复合函数求二阶微分。
[解析] ∵
,
∴
,
∴
。
2. 函数f(x)=x
2·2
x在x=0处的n阶导数f
(n)(0)=______。
n(n-1)(ln2)n-2
[考点] 函数的n阶导数。
[解析] 根据莱布尼茨公式得,
,
所以
。
3. 设函数f(x)连续,
,若φ'(1)=1,φ'(1)=5,则f(1)=______。
2
[考点] 变限积分求导。
[解析] 已知
,求导得
,从而有φ'(1)=
,则f(1)=2。
4. 设函数y=f(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解,且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______。
e-2x+2ex
[考点] 求解微分方程。
[解析] 根据题意得:y(0)=3,y'(0)=0。
由微分方程y"y'-2y=0得特征方程:λ2+λ-2=0,解得λ1=-2,λ2=1,所以微分方程的通解为y=C1ex+C2e-2x。
将y(0)=3,y'(0)=0代入,解得C1=2,C2=1,故y(x)=e-2x+2ex。
5. 若函数z=z(x,y)由方程e
x+2y+3z+xyz=1确定,则出dz|
(0,0)=______。
[考点] 多元微分的计算。
[解析] 方程e
x+2y+3z+xyz=1两边分别对x,y求导,得
①
②
∵当x=0,y=0时,z=0。
∴将(0,0,0)代入①②,得到
。
∴
。
6. 设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A
2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=______。
21
[考点] 特征值与行列式之间的关系。
[解析] ∵矩阵A的特征值为2,-2,1,且B=A2-A+E,
∴B的所有特征值为3,7,1,
∴|B|=3×7×1=21。
三、解答题(共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)1. (本题满分10分)
设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx
3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值。
解:方法一:
利用泰勒公式展开,
,则有
所以
。
方法二:∵
且
=0,所以分子极限为0,所以a=-1。
将a=-1代入
原式=
,
因为
,所以分子极限为0,解得b=-
。
将a=-1,b=-
代入
原式
∴a=-1,b=-
,k=-
。
[考点] 函数等价无穷小的定义。
2. (本题满分10分)
设A>0,D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤
)及直线y=0,x=
所围成的平面区域,V
1,V
2分别是D绕x轴与y轴旋转所成旋转体的体积,若V
1=V
2,求A的值。
解:由旋转体的体积公式,得
由V
1=V
2求得
。
[考点] 旋转体的体积计算。
3. (本题满分10分)
已知函数f(x,y)满足
=2(y+1)e
x,
(x,0)=(x+1)e
x,f(0,y)=y
2+2y,求f(x,y)的极值。
解:
=2(y+1)e
x两边对y积分,得到
,
∴f'x(x,0)=φ(x)=(x+1)e
x,即f'x(x,y)=(x+1)e
x+(y
2+2y)e
x。
两边再对x积分,得到
f(x,y)=(y
2+2y)e
x+∫e
x(1+x)dx=(y
2+2y)e
x+∫(1+x)de
x =(y
2+2y)e
x+e
x(1+x)-∫e
xdx=(y
2+2y)e
x+e
x(1+x)-e
x+C
=(y
2+2y)e
x+xe
x+C,
又∵f(0,y)=y
2+2y+C=y
2+2y,
∴解得C=0,所以f(x,y)=(y
2+2y)e
x+xe
x。
令
解得
∵
∴当
∵AC-B
2>0
∴f(x,y)有极小值为-1,极值点(0,-1)。
[考点] 二元函数求极值问题。
4. (本题满分10分)
计算二重积分
,其中D={(x,y)|x
2+y
2≤2,y≥x
2}。
解:根据对称性可知
,所以有
[考点] 二重积分的计算。
5. (本题满分10分)
已知函数
,求f(x)零点的个数。
解:由条件得
,
令f'(x)=0,得驻点为x=
。
∵在(-∞,
),f(x)单调递减,在(
,+∞),f(x)单调递增,
∴f(
))为惟一的极小值,也是最小值。
∵
∵
考察
,所以
。
故函数f(x)在(-∞,
)及(
,+∞)上各有一个零点,所以零点的个数为2。
[考点] 考察函数的性质(单调性及零点)。
6. (本题满分11分)
已知高温物体置于低温介质中,任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却,30min后,该物体温度降至30℃,若要物体的温度继续降至21℃,还需要冷却多长时间?
解:设t时刻物体的温度为x(t)(t单位:小时),
比例常数为k(>0),介质温度为m,则
=-k(x-m),
从而x(t)=Ce
-kt+m,x(0)=120,m=20,所以C=100,
则t时刻物体温度方程为x(t)=100e
-kt+20。
∵x(
)=30,
∴k=2ln10
∴x(t)=
+20,当x=21时,t=1。故还需要冷却30min。
[考点] 函数的应用。
7. (本题满分11分)
已知函数f(x)在区间[a,+∞)上具有2阶导数,f(a)=0,f'(x)>0,f"(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(x
0,0),证明:a<x
0<b。
证明:根据题意,切线方程为y=f'(b)(x-b)+f(b),
∴切线方程与x轴的交点为
。
∵f'(x)>0,
∴f(b)>f(a)=0,故
。
下面证明
,由于f'(b)>0,故不等式可化为bf'(b)-f(b)>af'(b)。
令F(x)=xf'(x)-f(x)-af'(x),F(a)=0,F'(x)=(x-a)f"(x)>0,可知x>a时,F(x)>0,即xf'(x)-f(x)-af'(x)>0,令x=b即得
,证毕。
[考点] 函数切线方程及应用。
8. (本题满分11分)
设矩阵
,且A
3=0。
(1)求a的值;
(2)若矩阵X满足X-XA
2-AX+AXA
2=E,其中E为3阶单位矩阵,求X。
解:(1)由A
3=0,得|A
3|=0
=a
3=0,得a=0。
(2)由题意知
X-XA
2-AX+AXA
2=E
(E-A
2)-AX(E-A
2)=E
(E-A)X(E-A
2)=E
X=(E-A)
-1(E-A
2)
-1=[(E-A
2)(E-A)]
-1=(E-A
2-A)
-1。
∵
,
∴
(行初等变换得到)
所以X=(E-A
2-A)
-1=
[考点] 幂零矩阵与矩阵求解。
9. (本题满分11分)
设矩阵
。
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵P,使P
-1AP为对角矩阵。
解:(1)矩阵A相似于矩阵B,则tr(A)=tr(B),得3+a=1+b+1。
又
所以
(2)∵
∴
∴C的特征值为λ
1=λ
2=0,λ
3=4。
当λ=0时,(0E-C)x=0的基础解系为ζ
1=(2,1,0)
T,ζ
2=(-3,0,1)
T,
当λ=4时,(4E-C)x=0的基础解系为ζ
3=(-1,-1,1)
T,
∴A的特征值λ
A=1+λ
C,分别为1,1,5,
∴P=(ζ
1,ζ
2,ζ
2)=
,且P
-1AP=
[考点] 矩阵的相似及矩阵的对角化。