一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 设f(x)=ln(1+x
2)-x
2，
，则当x→0时f(x)是g(x)的______
- A.低阶无穷小量．
- B.高阶无穷小量．
- C.同阶但不等价的无穷小量．
- D.等价无穷小量．
A B C D
D
[解析]
则
所以，当x→0时，f(x)是g(x)的等价无穷小量．
8. 已知r(A)=r
1，且方程组AX=α有解，r(B)=r
2，且BY=β无解，设A=(α
1，α
2，…，α
n)，B=(β
1，β
2，…，β
n)，且r(α
1，α
2，…，α
n，α，β
1，β
2，…，β
n，β)=r，则______
- A.r=r1+r2．
- B.r＞r1+r2．
- C.r=r1+r2+1．
- D.r≤r1+r2+1．
A B C D
D
[解析] 由题设
r(α1，α2，…，αn，α)=r1，
r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，
故r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r(α1，α2，…，αn，α)+r(β1，β2，…，βn，β)
=r1+r2+1．
二、填空题1.
=______．
2. 设y"-2y'+ay=3e
-x的特解形式为Axe
-x，则其通解为______．
[解析] 因为方程有特解Axe
-x，所以-1为特征方程r
2-2r+a=0的一个特征根，即
(-1)
2-2×(-1)+a=0
a=-3，
所以特征方程为
λ
2-2λ-3=0，得λ
1=-1，λ
2=3．
齐次方程y"-2y'+ay=0的通解为
y=C
1e
-x+C
2e
3x(C
1，C
2为任意常数)．
再把Axe
-x代入原方程，得
所以原方程的通解为
3.
=______．
4. 设有一半椭球形水池，池口是半径为a的圆，若以每秒v单位的速度向池内注水，则水深增加的速度
与水深h的关系是______．
[解析] 如图，建立坐标系，设水深为h的水面圆的半径为x，则椭圆方程为
此时，池中水量增量微元为
从而
由于
，故有
5. 设区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则
=______．
6. 已知二次型
的秩为2，(2，1，2)
T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是______．
[解析] 求二次型X
TAX在正交变换下的标准形，也就是求二次型矩阵A的特征值．
设α
1=(2，1，2)
T，根据特征值定义Aα=λα得
即
解出a=b=2，λ
1=3．
又r(X
TAX)=2，知|A|=0，于是λ
2=0是A的特征值．
再由∑a
ii=∑λ
i，有1+(-5)+1=3+0+λ
3，于是λ
3=-6是A的特征值．
因此，正交变换下二次型的标准形为
．
三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1. 已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，
，且满足
求f(x)．
[解析]
由导数定义，有
由已知得
即
积分得
又
则
2. 设f(x)在(a，+∞)内可导，且
，求证：
若A＞0，则
；若A＜0，则
；
[解析] 联系f(x)与f'(x)的是拉格朗日中值定理，取x
0∈(a，+∞)，
x＞x
0有
f(x)=f(x
0)+f'(ξ)(x-x
0)(x
0＜ξ＜x)． ①
因
，若A＞0，由极限的不等式性质可得，
X＞a，当x＞X时，
．现取定x
0＞X，当x＞x
0时，由于ξ＞x
0>x，有
，于是由式①得
又因为
，所以
若A＜0，考察h(x)=-f(x)，则h'(x)=-f'(x)，从而
由已证结论知
于是
3. 设g(x)在[a，+∞)上连续，且
收敛，又
，求证l=0．
[解析] 记
，则f(x)在[a，+∞)内可导且
f'(x)=g(x)，
若l≠0，则l＞0或l＜0，由(Ⅰ)中结论得
，与
收敛矛盾．因此l=0．
4. 设函数z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且
φ(x)=f[x，xf(x，x)]，求
[解析] φ(1)=f(1，1)=1，
归结为求φ'(1)．
根据复合函数求导法得
φ'(x)=f'
1[x，xf(x，x)]+f'
2[x，xf(x，x)]·
[xf(x，x)]
=f'
1[x，xf(x，x)]+f'
2[x，xf(x，x)]·{f(x，x)+x[f'
1(x，x)+f'
2(x，x)])，
φ'(1)=f'
1(1，1)+f'
2(1，1)[1+f'
1(1，1)+f'
2(1，1)]，
又
所以
φ'(1)=1+3×(1+1+3)=16，
5. 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点(1，1)，求L的方程．
[解析] 设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y'(X-x)，令X=0，则Y=y-y'x，故点A的坐标为(0，y-y'x)．
由|MA|=|OA|得
即
这是一阶线性非齐次方程，解得
因为曲线经过点(1，1)，所以C=2．
再由曲线在第一象限内，得曲线方程为
6. 设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明：至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
[解析] 所给问题为f(x)的定积分与f'(ξ)之间的关系，可以考虑成其原函数
与F"(ξ)之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明．
如果认定为考查f(x)与f'(ξ)之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．
也可以利用积分中值定理
来证明．
思路一：
因为f'(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a])，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
于是
思路二：令
，则F(x)可用麦克劳林公式表示为
即
令x=a，得
7. 求水池中原来水的体积；
[解析] 如图，建立直角坐标系，以球心为坐标原点，向上作为y轴正向．取区间[y，y+dy]，在此区间上，体积微元
dV=πx
2dy，
其中
x
2=4
2-y
2，
所以
dV=π(16-y
2)dy，
水的体积为
8. 求抽水至少需要做多少功．
[解析] 提升体积微元的水所需的功为
dW=(6-y)ρgπ(16-y
2)dy，
所以，将水全部提升至地面上方6m处，需做功
9. 计算
，其中D是由直线x=-2，y=2，x轴及曲线
所围成．
[解析] 积分区域如图所示．
选择先x后y的积分次序，得
令t=y-1，得
利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义，可得
所以
令t=sinθ，得
10. 证明：至少存在一个非零向量可同时由α
1，α
2和β
1，β
2线性表示；
[解析] 因为α
1，α
2，β
1，β
2线性相关，所以存在不全为零的常数k
1，k
2，l
1，l
2，使得
k
1α
1+k
2α
2+l
1β
1+l
2β
2=0
k
1α
1+k
2α
2=-l
1β
1-l
2β
2．
令
γ=k
1α
1+k
2α
2=-l
1β
1-l
2β
2，
因为α
1，α
2与β
1，β
2都线性无关，k
1，k
2及l
1，l
2不全为零，所以γ≠0．
11. 设
，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
[解析] 令k
1α
1+k
2α
2+l
1β
1+l
2β
2=0，用初等变换法解此齐次方程组
则
所以
的秩为2．12. 求a的值；
[解析] 二次型对应矩阵为
由二次型的秩为2，知
，得a=0．
13. 求正交变换x=Qy，把f(x
1，x
2，x
3)化成标准形；
[解析] 当a=0时，
，可求出特征值为λ
1=λ
2=2，λ
3=0．
解(2E-A)x=0，得特征向量为
解(0E-A)x=0，得特征向量为
由于α
1，α
2，α
3已经正交，直接将α
1，α
2，α
3单位化，得
令Q=[η
1，η
2，η
3]，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形
14. 求方程f(x
1，x
2，x
3)=0的解．
[解析] 由
，得y
1=0，y
2=0，y
3=k(k为任意常数)，从而所求解为
，其中c为任意常数．
=______．
则有______
，其中A可逆，那么B-1=______
深色：已答题 浅色：未答题