B

[解析] 举反例说明①，②，③均错，例如．
   
   则均不，但
   
   故②，③不正确．
   若取f(x)=0，则，故①也不正确．
   按题设，易知．(否则，若，则，矛盾)．故④正确．选(B)

B

[解析] 易知，两个正无穷大量之和与之积均是正无穷大量，即(A)、(D)正确．又正无穷大量与有界量之和仍为正无穷大量，即(C)也正确．因此，(B)不正确．选(B)．
     我们知道，当A=0时，是未定式(无穷大量与无穷小量之积)．因此(B)不正确．

B

[解析] 因为，所以，对于任意M＞0，存在δ＞0，当0＜|x-x₀|＜δ时，|f(x)|＞M由此可得f(x)在x₀的某邻域内无界，因此选(B)．
   举反例说明(A)、(C)、(D)均不成立．设，则x_n→0，y_n→0(n→∞)
   
   
   f(x)在x=0邻域无界，但x→0时f(x)不是无穷大量．也说明．
   此例说明A，C不正确．
   若令f(x)=o(常数函数)，则，但无定义，故D不正确．
   因此选B．

C

[解析] 若极限，则x_n有界．这是我们应熟悉的基本定理，即①正确．关于②，③的正确性，从直观上理解即可．
   x_n：x₁，x₂，x₃，…，x_n，…
   x_n+l：x_1+l，x_2+l，x_3+l，…，x_n+1，…
   x_n中去掉前l项即x_n+l．
   x_2n-1：x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，…
   x_2n：x₂，x₄，x₆，…，x_2n，…
   它们一起涵盖了x_n的所有项．
   命题④是错的．例如，但
   因此选C．

C

[解析] 由．
   又因．但不保证存在．例如，
   取，
   ，此时有x_n≤z_n≤y_n
   且，但当n→∞时，z_n的极限不存在，因此选C．

D

[解析] D正确．D正是极限的不等式性质中所述的结论．A的错误在于由不能判断x₀附近f(x)与g(x)的大小关系．由(B)的条件只能得A₀≥B₀．在C中没假设极限存在．选D．

D

[解析]
   其中．
   所以选D．
   注意，因而不存在．

C

[解析]  因为
   
   又
   所以选C．
    对sin3x²用泰勒公式．由
   
   令t=3x²得
   
   于是
   

D

[解析] 先作如下变形
   

B

[解析] 将已知条件改写成
   
   即
   其中

D

[解析] A是错的．因为n是正整数，对数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则．
   B是错的．因为已不是未定式，不能用洛必达法则．
   C也是错的．用洛必达法则求型极限时，若不存在，也不为∞，则法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的．因此选D．
   D是正确的．
   用洛必达法则求型极限时，
   若(有限数)，则．
   若，D正是后一种情形．
   A，B，C的正确解法是：
   A．
   B．
   C．

C

[解析] 由题意得
   
   得c=1
   又因为
   所以  b=0，．因此选C．
     因，于是
   ．
   因此，，b=0，c=1．选C．

C

[解析] 逐一分析它们的阶．
   A．(考察等价无穷小)
   (1+x)^x2-1～ln[(1+x)^x2-1+1]=x²ln(1+x)～x³(x→0)，(1+x)^x2-1是x的3阶无穷小．
   B．(考察等价无穷小)．
   是x的1阶无穷小．
   C．(待定阶数法)．
   是x的6阶无穷小．
   D．(待定阶数法或泰勒公式法)
   是x的2阶无穷小．
   或用泰勒公式．已知
   
   是x的2阶无穷小．
   因此选C．

C

[解析] 此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义：
   是(x-a)的n+m阶无穷小；
   又，若n＞m，
   是(x-a)的n-m阶无穷小；
   因此①，②正确．再考察
   
   由此得，当n＜m时f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小．
   当n=m时f(x)+g(x)是x-a的n阶(A+B≠0)或高于n阶(A+B=0)的无穷小．
   例如，x→0时，sinx与-x均是x的一阶无穷小，但
   
   即sinx+(-x)是x的三阶无穷小；
   因此③不正确．
   最后考察
   是x-a的n+1阶无穷小．因此④正确．选C．

D

[解析] 要逐一分析．我们证明(1)，(2)，(3)成立．
   关于(1)
   
   其中
   这里ln(1+f_i(x))～f_i(x))(x→a，i=1，2)
   关于(2)
   
   关于(3)可直接证明：
   
   因此
   选D．

C

[解析] 按定义考察f(x)在x₀的连续性，即考察．由条件得
   f(x₀+Δx)=f(x₀)+f(Δx)
   又由f(x)在x=0连续
   
   f(x)在x₀是否连续，取决于f(0)是否为零。由
   f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)
   若令x₂=0
   f(x₁)=f(x₁)+f(0)f(0)=0
   因此
   
   f(x)在x₀连续．选C．

C

[解析]
   是f(x)的第一类间断点．
   又
   
   x=1是f(x)的第二类间断点．
   因此选C．

B

[解析] |x|＜1时，
   
   x=1时
   
   x＞1时
   
   x≤-1时
   
   x=1时
   无定义．
   因此，f(x)在x≤-1无定义．
   
   f(x)的连续区间是
   J=(-1，1)∪(1，+∞)．

B

[解析] 若f(x)+sinx在x=x₀连续f(x)=(f(x)+sinx)-sinx
   在x=x₀连续，与已知矛盾．因此f(x)+sinx在x₀必间断．选B．
   举反例说明A，C，D不对．
   设则f(x)在x=0间断，
   在x=0连续．
   若设在x=0间断，但
   在x=0均连续，因此不选A，C，D．

A

[解析] 由“若，则”可得“如果，则”因此，f(x)在x₀连续，则|f(x)|在x₀连续，但|f(x)|在x₀处连续，f(x)在x₀处不一定连续．
   如在x=0不连续，但|f(x)|=1在x=0处连续．于是应选A．

A

[解析] 若g(x₀)=0，由假设条件：
   ，φ(x)在x₀邻域∪有界f(x)在x=x₀连续．
   若f(x)在x=x₀连续，可证g(x₀)=0，若g(x₀)≠0，
   在x=x₀连续，与已知矛盾．因此g(x₀)=0．选A．

B

[解析] 直接从条件出发，由f'+(x₀)，f'-(x₀)均在x=x₀既左又右连续，(x)在x=x₀连续，因此选B．

B

[解析] 在复合函数连续性问题的结论中，只有一个结论是确定的，即结论①是正确的，其余情形则结论不确定，因而②，③是错误的，而④是正确的．因此选B．

B

[解析] 显然f(x)在(-∞，+∞)可导，为考察f(x)在[0，+∞)或(-∞，0]的有界性问题，我们需要求极限．
   在[0，+∞)有界
   注意无界．
   因此选B．

C

[解析] 若x_n∈[a，+∞)使得，，则f(x)在[a，+∞)无界．若f(x)在[a，+∞)有界，即|f(x)|≤M(x∈[a，+∞))|f(x_n)|≤M与矛盾．
   若f(x)在[a，+∞)无界对自然数n，f(x)在[n，+∞)无界x_n∈[n，+∞)，
   ．因此选C．

C

[解析] 直接指出某函数在[1，+∞)无界．取x_n=n²π²，，对于C．
   ，C中f(x)在[1，+∞)无界．
 指出三个函数在[1，+∞)有界．对于A，B，D中f(x)均在[1，+∞)连续，又
   
   A有界．
   
   有界有界，即B在[1，+∞)有界．
   
   D在[1，+∞)有界．因此选C．

A

[解析] 显然，f'-(1)=0．由右导数定义
   (当α+1≥0时该极限不存在)．
   因此，仅当α+1＜0，即α＜-1时，f'(1)存在(f'(1)=0)．因此选A．
   不存在，但是有界量，又
   
   要使存在，必须，此处利用了无穷小量与有界量的乘积是无穷小量．

C

[解析] 先分别考察左、右可导性．
   显然，f(0)=0．
   
   因此f(x)在x=0连续，但不可导．选C．

B

[解析] 任取x₀≠0，则曲线y=f(x)在x₀处的切线方程为y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)，令y=0得它在x轴上截距为：．因此，曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线在z轴上的截距为，下求
   
   
   由于
   于是
   方法2  直接用洛必达法则求这个型极限
   
   因此选B．
   方法3 用泰勒公式
   
   代入得
   
   因此选B．

D

[解析] 对x，x₀∈(a，b)有
   
   令选D．

B

[解析] 当f(0)=0时，
   因此选B．

B

[解析] 考虑例1：f(x)=e^-x，g(x)=-e^-x。，显然f(x)>g(x)，但f'(x)=-e^-x，g'(x)=e^-x，此时f'(x)    考虑例2：f(x)=-e^-x，g(x)=e^-x，f'(x)=e^-x，g'(x)=-e^-x，f'(x)＞g'(x)，但f(x)＜g(x)．所以(2)不正确．因此选B．

C

[解析] f'(x)也以3为周期f'(1)=f'(4)，我们可由f'(1)可得极限值I．
   
   应该选C．

B

[解析] 要逐一分析．
   因为
   
   与Δx是同阶无穷小，①正确．
   df(x)=f'(x)Δx，df(x)与x∈(a，b)及Δx有关，故②不正确．
   当y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，
   dy=aΔx-Δy．故③不正确．
   由可微概念，
   f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(Δx)(Δx→0)
   即Δy-dy=0(Δx)(Δx→0)故④正确．因此，选B．

C

[解析] 由f(x)=f(-x)可知f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即f'(x)为奇函数，f"(x)为偶函数，因此当x＜0时有f'(x)＜0，f"(x)＞0，则当x＞0时有f'(x)＞0，f"(x)＞0．选C．

B

[解析]  由条件．再由f(x)的连续性f(0)=0．
   现用等价无穷小因子替换
   
   选B．

A

[解析] 按题设．于是，题设可写成
   f(x)-f(x₀)=2(x-x₀)+o((x-x₀))(x→x₀)
   按微分的定义
   
   因此选A．

C

[解析] 用反函数求导法先求出
   
   再由复合函数求导法得
   
   选C．

D

[解析] 首先将f(x)在x=x₀处的左右导数与f'(x)在x=x₀处的左右极限区分开来．
   ，只能得出，但不能保证f(x)在x₀处可导，以及在x=x₀处连续和极限存在．
   例如显然，x≠0时，f'(x)=1因此
   
   但
   
   因而不存在，因此f(x)在x=0处不连续，不可导．
   因此选D．

C

[解析] 首先考察f(x)在x=x⁰的连续性．
   f(x)在x=x₀连续
   ，则g(x)在x=x₀左连续)．
   
   补充定义h(x₀)=a，则
   当g(x₀)=a时
   
   因此在题设条件下，f(x)在x=x₀可导．选C．

C

[解析] C是正确的．
   设f(x)在[-a，a]是奇函数f(0)=0．因存在
   
   ．选C．
   A，B，D不正确．
   如下图所示，f(x)在[-a，a]是偶函数，，故f'(0)不存在．
   
   如，在[-a，a]是偶函数，但x=0不是极值点．
   在x=0有垂直于x轴的切线，在x=0不可导．
   因此，A，B，D不正确，选C．

B

[解析] 设φ(x)=(x-1)(x-2)²(x-3)³，f(x)=|φ(x)|，使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是，f(x)的不可导点，还需考虑φ'(x)在这些点的值，φ'(x)=(x-2)²(x-3)³+2(x-1)(x-2)(x-3)³+3(x-1)(x-2)²(x-3)³，显然，φ'(1)≠0，φ'(2)=0，φ'(3)=0，所以只有一个不可导点x=1．

A

[解析] 因φ(x)在x=a不可导，所以不能对F(x)用乘积的求导法则，用定义求F'(a)．题设φ(x)以x=a为跳跃间断点，则存在．
   当g(a)=0时
   
   这表明，g(a)=0时，F'(a)存在
   下面证明若F'(a)存在则g(a)=0．
   反证法，若g(a)≠0，，由商的求导法则，φ(x)在x=a处可导，这与题设矛盾，所以选A．

B

[解析] 设g(x)=x²+x-2，φ(x)=|sin2πx|，显然g(x)处处可导，φ(x)处处连续，有不可导点．
   由类似可证：若g(x)在x=a处可导，φ(x)在x=a处连续但不可导，则当g(a)≠0时g(x)φ(x)在x=a处不可导，当g(a)=0时，g(x)φ(x)在x=a处可导，且，只须考察φ(x)不可导点处g(x)是否为零．
   φ(x)=|sin2πx|的图形如下图所示，在内只有不可导点x=0，，1，其余均可导．
   
   因为g(0)=-2≠0，，g(1)=0．
   所以f(x)=g(x)φ(x)在处不可导，在x=1可导，其余点均可导．因此选B．

C

[解析] 已知|x|，在x=0不可导．又x→0时，e^|x|-1～|x|，arctan|x|～|x|，．
   对A、B
   
   对D
   
   即A，B，D在x=0不可导．选C．
   按导数定义，对C直接计算
   
   选C．

C

[解析] 由条件．
   由
   
   因此选C．

B

[解析] 显然，x＜0与x＞0时对a，b之值f(x)均可导．关键是x=0处．
   注意
   首先要使f(x)在x=0连续．
   由
   得
   此时
   再定b使f(x)在x=0可导．
   
   由得．因此选B．

A

[解析] |x|≠1时显然可导．由于f(x)是偶函数，故只须考察x=1．
   首先要求f(x)在x=1连续，即
   即
   又
   
   
   即4-2b=0
   因此，b=2，c=1．选A．

A

[解析] 设y=ax+b与y=x²的切点为与的切点为．
   曲线y=x²在处的切线方程是
   
   曲线在切点处的切线方程是
   
   于是常数a，b同时满足
   
   因此a=-4，b=-4．选A．

B

[解析] 任意点处的切线方程是
   
   即其中(X，Y)为切线上点的坐标，分别令Y=0，X=0得A与B的坐标为(2x，0)，，于是
   
   即
   应选B．