D

[解析] 由题设知，(x₀，y₀)同时满足
   与  ①
     ②
   由②得，代入①得y₀=lnx₀=2(x₀，y₀)=(e²，2)，．
   因此选D．

C

[解析]
   不存在．因此n=2．选C．

C

[解析] 由条件出发，按导数定义
   
   及极限的不等式性质可知，，当x∈(x₀-δ，x₀+δ)，x≠x₀时，
   
   当x∈(x₀，x₀+δ)时f(x)-f(x₀)＞0，当x∈(x₀-δ，x₀)时f(x)-f(x₀)＜0．
   因此选C．

A

[解析] 关于A，当x≠0时，
   而不存在f'(x)在x=0不连续．选A．
   B，C，D中的三个，f(x)在x=0均连续，
   直接求出
   
   类似可证B，C函数f'(x)在x=0连续．因此选A．

A

[解析]  由积分中值定理∈(x，x+Δx)使得
   
   (f'(x)＞0f(x)是单调增加的)．
   因此选A．
   由定积分的几何意义来分析，曲线y=f(x)在
   x轴上方且单调增加是曲边梯形ABCD的面积，f(x)Δx是矩形BCDE的面积，因
   此．选A．
   

A

[解析] 因f'(a)=0于是有(a-1)f"(a)=1-e^1-a。
   显然所以，x=a是极小值点．选A．

D

[解析] 考察，x≥1，求f(x)在[1，+∞)上的最大值点：
   ，令f'(x)=0，得x=2000，当1≤x＜2000时，f'(x)＞0，f(x)↗，当x＞2000时f'(x)＜0，f(x)↘，因此在x=2000是f(x)的最大值点．n=2000是该数列的最大项．选D．

A

[解析] f(x)为奇函数，f(x)＜0(x＜0)，f(x)>0(x＞0)．只须在区间[0，+∞)上分析f(x)的单调性．
   
   f(x)在[0，+∞)上的最大值为
   
   它也是f(x)在(-∞，+∞)上的最大值．选A．

D

[解析]  由题设y=f(x)有两种可能的图形，由图形可看出f(x)的值域．
   
   f(a)＞l时f(x)的值域是(l，f(x₀)]  f(a)≤l时f(x)的值域是[f(a)，f(x₀)]．
   因此选D．
   因f(x)在[a，x₀]单调上升f(a)≤f(x)≤f(x₀)(a≤x≤x₀)．
   因f(x)在[x₀，+∞)单调下降且(x₀≤x＜+∞)．
   现设f(a)≤l，则
   f(a)≤f(x)≤f(x₀)(x∈[a，+∞))
   反之，对μ∈f(a)，f(x₀)]，由连续函数介值定理，至少存在一点
   x*∈[a，x₀][a，+∞)，f(x*)=μ．
   因此f(x)相应的值域是[f(a)，f(x₀)]．
   当f(a)＞l时，则
   l＜f(x)≤f(x₀)(x∈[a，+∞))
   反之，对μ∈(l，f(x₀)]，由于，x₁＞x₀，f(x₁)＜μ0)．
   由连续函数介值定理x*∈(x₀，x₁)[a，+∞)，f(x*)=μ．
   因此f(x)相应的值域是(l，f(x₀)]．
   综上所述，当f(a)≤l时f(x)的值域是[f(a)，f(x₀)]，当f(a)＞l时，f(x)的值域是(l，f(x₀)]．因此选D．

D

[解析] 考察
   选D．    
               
   由f'+(a)的几何意义可知，应选D．

D

B

[解析] 将A，B分别改写成
   A：，B：
   于是，若能证明或xf(x)的单调性便可选得结论．
   
   令g(x)=xf'(x)-f(x)，g(0)=0，g'(x)=xf"(x)＜0(x＞0)
   g(x)＜0(x＞0)
   
   在(0，+∞)单调下降．
   当a＜x＜b时，．选B．

A

[解析] 为考察f(x)与x之间的关系，设F(x)=f(x)-x，则F'(x)=f'(x)-1，F'(x)在(1-δ，1+δ)单调减少，F'(1)=0，F(1)=0．
   当x∈(1-δ，1)时F'(x)＞F'(1)=0，因此F(x)在(1-δ，1]内单调递增，F(x)＜F(1)=0即在(1-δ，1)，F(x)＜0．
   当x∈(1，1+δ)时，F'(x)＜F'(1)=0，因此F(x)在[1，1+δ)内单调递减，F(x)＜F(1)=0，即在(1，1+δ)内F(x)＜0．因此，选A．
   f'(x)在(1-δ，1+δ)严格单调减少f(x)在(1-δ，1+δ)是凸的在此区间上，y=f(x)在点(1，f(1))即(1，1)处的切线y-1=f'(1)(x-1)即y=x在此曲线的上方(除切点外)．因此
   f(x)＜x(x∈(1-δ，1+δ)，x≠1)

C

[解析]
   显然f(x)处处连续．
   
   f(x)在(-∞，+∞)单调下降．
   
   (1，f(1))是y=f(x)的拐点．选C．

C

[解析] 显然f(x)在(-∞，+∞)连续．只须考祭f在x=0某空心邻域如，x≠0时f'(x)与f"(x)的变化．
   
   由此可得x=0是f(x)的极值点，且(0，1)是曲线y=f(x)的拐点．因此选C．
   由y=cosx，的图形可得y=f(x)的图形．
   
   因此选C．

B

[解析] 因，由极限的保号性质，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，又因(x-1)²＞0(x≠1)，所以当0＜|x-1|＜δ时，f"(x)＞0，因此f'(x)在(1-δ，1+δ)单调递增，从而当1-δ＜x＜1，f'(x)＜f'(1)=0，当1＜x＜1+δ，f'(x)＞f'(1)=0，由取得极值的充分条件，f(1)是f(x)的极小值．因此选B．
   特殊选取f(x)满足：．
   取，则f(x)满足题中条件，f(x)在x=1处取极小值，而其余均不正确．因此选B．

B

[解析] ](x₀，f(x₀))是y=f(x)的拐点，f"(x₀)不一定存在，所以不选A．拐点是函数的局部性质，(x₀，f(x₀))是y=f(x)的拐点，只能保证在x₀的一个邻域内，y=f(x)的凹凸性相反，所以不选D．曲线y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称，(x₀，f(x₀))是y=f(x)的拐点，不能保证(-x₀，-f(-x₀))是y=f(x)的拐点．例如y=f(x)=(x-1)³，只有拐点(1，0)，但(-1，-f(-1))不是y=-f(x)=-(x-1)³的拐点．所以不选C．因此选B．
   从几何上分析也很简单，y=f(x)与y=-f(-x)的图形关于原点对称．x₀≠0，(x₀，f(x₀))是y=f(x)的拐点是y=-f(-x)的拐点．因此选B．

D

[解析] 若在(-∞，+∞)上f'(x)＞0，则一定有f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，但可导函数f(x)在(-∞，+∞)单调增加，只能有f'(x)≥0(即可能在某些点上f'(x)=0)．例如f(x)=x³在(-∞，+∞)上单调增加，f'(0)=0．因此不选A．
   f(x)若在x₀处取得极值，且f'(x₀)存在，则有f'(x₀)=0，但当f(x)在x₀处取得极值，在x₀处不可导，就得不到f'(x₀)=0，例如f(x)=|x|在x₀=0处取得极小值，它在x₀=0处不可导，因此不选B．
   如果f(x)在x₀处二阶导数存在，且(x₀，f(x₀))是曲线的拐点坐标，则f"(x₀)=0，反之不一定，例如f(x)=x⁴在x₀=0处f"(0)=0，但f(x)在(-∞，+∞)没有拐点，因此不选C．由上分析，应选D．
   可以证明D是正确的．
   不妨设．由带皮亚诺余项的泰勒公式得
   
   当x→x₀时o(1)为无穷小量．由极限的保号性质，当0＜|x-x₀|＜δ时，
   时f(x)-f(x₀)＜0，x₀＜x＜x₀+δ时f(x)-f(x₀)＞0．
   因此f(x₀)不是f(x)的极值．

C

[解析] 考察，则F(a)-F(b)=0，且所给条件用F(x)表示即
   F"(x)+(F'(x))²-F(x)=0．    (*)
   若F(x)在(a，b)恒正，则F(x)在(a，b)取正最大值即，x₀∈(a，b)．由极大值点的性质，F"(x₀)≤0．
   但由(*)式得F"(x₀)=F(x₀)＞0，这便矛盾．
   若F(x)在(a，b)恒负，则，于是同样得矛盾．
   因此，A，B不对，同样D也不对．选C．

C

[解析] 考察
   
   若g(x)在[a，b]无零点
   在[a，b]单调上升，与矛盾．
   因此g(x)在[a，b]至少有一个零点．应选C．

C

[解析] 只须考察f"(x)=0的点与f"(x)不存在的点．
   f"(x₁)=f"(x₄)=0，在x=x₁，x₄两侧f"(x)变号，故凹凸性相反，
   (x₁，f(x₁))，(x₄，f(x₄))是y=f(x)的拐点．
   x=0处f"(0)不存在，但f(x)在x=0连续，在x=0两侧f"(x)变号，因此(0，f(0))也是y=f(x)的拐点．
   虽然f"(x₃)=0，但在x=x₃。两侧f"(x)＞0，y=f(x)是凹的．(x₃，f(x₃))不是y=f(x)的拐点．
   因此总共有3个拐点．选C．

C

[解析] 只须考察f"(x)=0的点，这里就是f'(x)的驻点，即x=x₁，x₃，x₅，与f"(x)不的点，这就是f'(x)的尖点x₄．
   在x=x₁，x₆两侧f'(x)的单调性相反，故凹凸性相反，(x₁，f(x₁))，(x₆，f(x₆))是y=f(x)的拐点，在x=x₃处，虽f"(x₃)=0，但x=x₃两侧f'(x)均单调上升即x=x₃两侧y=f(x)均是凹的，(x₃，f(x₃))不是y=f(x)的拐点．虽然f"(x₄)不，但f(x)在x=x₄连续，在x=x₄两侧f'(x)的单调性相反，故凹凸性相反，(x₄，f(x₄))也是y=f(x)的拐点．因此共有三个拐点．选C．

D

[解析] 考察间断点x=0，，所以，x=0为曲线的垂直渐近线，
   
   所以，y=e(x+1)为曲线的斜渐近线，于是选D．

A

[解析] (1)考察f(x)的单调性区间．
   f'(x)=3x²-6x-9
   
   在(-∞，-1]，[3，+∞)单调上升，在[-1，3]单调下降．
   (2)极值点处函数值符号f(-1)=-3＜0，f(3)＜0
   (3)边界处极限值．．
   综上分析，y=f(x)的图形如下图所示．当x∈(-∞，3]时f(x)＜0，f(x)无零点．
   
   当x∈[3，+∞)时f(x)单调上升，f(3)与异号．
   f(x)在(3，+∞)存在唯一零点在(-∞，+∞)存在唯一零点．选A．

C

[解析] 设f(x)=x²-xsinx-cosx，f(x)在(-∞，+∞)为偶函数，因此只须讨论x≥0时的情形，f(0)=-1＜0，f(π)=π²+1＞0，且x∈(0，+∞)时f'(x)=x(2-cosx)＞0，从而f(x)在[0，+∞)只有一个唯一实根，于是f(x)在(-∞，+∞)内有且仅有两个实根．选C．

B

[解析] F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导且F(1)=F(2)，由罗尔定理，至少存在一点x₀∈(1，2]使F'(x₀)=0，又F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f'(x)F'(x₀)=F'(1)F'(x)在[1，x₀]上满足罗尔定理条件，所以，至少存在ξ(1，x₀)(1，2)上使
   F"(ξ)=0．因此选B．
   由题设，无法判断F'(x)的单调性，也无法判定除x₀，x=1以外F'(x)是否还有零点，因此不选C和D．

C

[解析] 令f'(x)=3ax²-12ax=3ax(x-4)=0得x₁=0，x₂=4(不合题意舍去)
   f(0)=b，f(-1)=-7a+b，f(2)=-16a+b，由于a＞0；所以，f(0)是最大值，f(2)是最小值．
   
   所以选C．

B

[解析] 由对称性只须考察x＞0，y＞0的情形．因为任意给定曲线上点M(x，y)，它到单位圆周x²+y²=1的最短距离点是OM连线Ngat_立圆周的交点(见下图)单位圆x²+y²=1上各点到原点距离为1，所以只需考察曲线上点M(x，y)到原点的距离的平方的最小值即可．
   
   令t=x²，
   
   L的最小值是
   于是
   

B

[解析] 我们已经知道，若f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，则A、C、D均正确．这里只有f(x)在(a，b)可导，没假设在[a，b]连续，不能保证A，C，D正确．
   例如，由可知A不正确．
   由知C，D均不正确．
   因此选B．
   对，f(x)在ξ点可导在ξ点连续选B．

B

[解析] 用极值的第一充分判别法
   f'(x)=xcosx+sinx-sinx=xcosx
   取δ＞0充分小．
   
   选B．
   用极值的第二充分判别法．
   f'(x)=xcosx，f"(x)=cosx-xsinx
   f'(0)=0，f"(0)=1＞0f(0)为极小值．
   为极大值．选B．

C

[解析] 归结为求f'(x)．
   
   考察f'(x)的分子：
   
   ，又f(x)(初等函数)在定义域连续．
   在为常数．
   选C．

B

[解析]
   x→+∞时的斜渐近线为y=x
   
   x→-∞时的斜渐近线为y=3x．选B．

C

[解析] 由罗尔定理，f'(ξ₀)=0．现对f'(x)在[a，ξ₀]上用拉格朗日中值定理，
   
   因此选C．
   特取f(x)=-x(1-x)=-x+x³(x∈[0，1])
   ，f(0)=-1＜0，f(0)=f(1)=0．f"(x)=2，f(x)＜0=f(0)(x∈(0，1))
   因此，A、B、D不对，选C．

B

[解析] 注意f(x)+f'(x)与e^x(f(x)+f'(x))=(e^xf(x))'有相同的零点．
   f(x)在[0，+∞)可导且有n个不同的零点在[0，+∞)可导且有n个不同的零点．
   由罗尔定理知，e^xf(x)的两个零点之间一定有(e^xf(x))'的一个零点．因此(e^xf(x))'至少有n-1个零点，即e^x(f(x)+f'(x))也就是f(x)+f'(x)至少有n-1个零点．
   选B．

C

[解析] 由罗尔定理知，，f'(ξ)=0．又f"(x)≠0(x∈(a，b))f"(x)在(a，b)恒正或恒负在(a，b)单调，在(a，b)的零点是唯一的．选C．

C

[解析] 举例否定错误的命题．
   ，它们在(0，1)均连续且无界．A，B不正确．
   在(0，1)有界，但在(0，1)无界．D不正确．应选C．
   联系f'(x)与f(x)的是拉格朗日中值定理．取定x₀∈(0，1)，则由拉格朗日中值定理知，对在x与x₀之间使得
   f(x)-f(x₀)=f'(ξ)(x-x₀)
   于是
   |f(x)|≤|f(x₀)|+|f'(ξ)||x-x₀|≤|f(x₀)|+M(x∈(0，1))
   其中|f"(x)|≤M(x∈(0，1))．因此f(x)在(0，1)有界．选C．

D

[解析] 设f(x)=x，则f'(x)=1在(a，∞)有界，但f(x)在(a，+∞)无界．
   设f(x)=sinx²，则f(x)在(a，+∞)有界，但f'(x)=2xcosx²在(a，+∞)无界时。
   因此选D．

C

[解析] 分别在[a，c]，[c，b]上用拉格朗日中值定理，，ξ₂∈(c，b)使得
   
   在[ξ₁，ξ₂]上再对f'(x)用拉格朗日中值定理使得
   
   即C成立．选C．
   取f(x)=x(1-x)，x∈[0，1]f(0)=f(1)=0，f(x)＞0(x∈(0，1))，f"(x)=-2．由此知A，B不正确．若取f(x)如图所示，则知D不对．因此，选C．
   

D

[解析] 判断f'(x)的间断点x₀的类型就要考察若均存在
   
   由于
   连续，与已知矛盾．A，B不正确．
   若，与矛盾．同理，若，与矛盾．因此C不正确．选D．

C

[解析] 由题设，即
   
   即
   
   即
   
   与f(x)在x=0的四阶麦克劳林公式
   
   相比较得
   f(0)=f'(0)=f⁽²⁾(0)=f⁽³⁾(0)=0
   f⁽⁴⁾(0)=2·4!=48．选C．

C

[解析] 由题目的设置可知，这四个命题中有两个是正确的，两个是错误的．
   由“，则”可得“若，则”，因此，若f(x)在x=x₀连续，则|f(x)|在x=x₀连续，即②正确．
   由f(x)在[a，b]有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在[a，b]也有界，也只有有限个间断点(因f(x)的连续点必是|f(x)|的连续点)，因而|f(x)|在[a，b]可积即④正确．选C．
   ①是不正确的，例如，在x=0间断，但f²(x)=1在x=0。连续．③也是错的，例如，则不存在(易构造两个积分和有不同的极限)，但|f(x)|=1在[a，b]可积．因此，只能是②，④正确，选C．

C

[解析] f(x)在[a，b]定积分的必要条件是f(x)在[a，b]有界．因此，若f(x)在[a，b]无界，则f(x)在[a，b]不定积分．
   函数C在无界在不定积分．选C．
   f(x)在[a，b]可积的充分条件是：f(x)在[a，b]有界，至多有有限个间断点．
   A，B，D函数在指定区间可积．因此选C．

C

[解析] 考察g(x)的奇偶性．
   
   因此g(x)是偶函数．选C．

B

[解析] 分母先配方后再作平移变换
   
   选B．
   先改写成
   
   选B．
   [分析3]令x=sin²t，则
   
   选B．

C

[解析] A项x⁷sin⁹x是偶函数
   
   B项为奇函数
   
   为偶函数
   
   选C．
   分析C
   
   选C．

D

[解析] 必须逐一分析
   (1)仅在上是被积函数的原函数，在上的原函数是．因此这里的作法是错误的．
   (2)在x=0无定义，在[-1，1]上无界，不存在定积分，这里错误地应用了牛顿—莱布尼兹公式．
   (3)不是整个区间[0，π]上的原函数，它在无定义，只是与上的原函数，不能在[0，π]上用牛顿—莱布尼兹公式．
   (4)在x=0无定义，可任意补充定义f(0)后,仍不是f(x)在整个区间[-1，1]上的原函数，因为它在x=0无定义，因此不能在[-1，1]上用牛顿—莱布尼兹公式．
   因此选D．

A

[解析]
   因此，B、C、D不正确．选A．
   

A

[解析] ，被积函数以π为周期，由周期函数的积分性质
   
   因此选A．

C

[解析] 因F(x)是f(x)在(a，b)上的一个原函数，所以F'(x)=f(x)，因此F(x)在(a，b)上连续，于是F(x)在(a，b)上存在原函数，从而f(x)+F(x)在(a，b)上存在原函数．因此选C．
   函数f(x)在(a，b)上存在原函数，f(x)在(a，b)上不连续，例如
   
   显然f(x)在x=0处不连续．函数f(x)在(a，b)上存在原函数，又因F(x)在(a，b)上连续，因此F(x)+f(x)在(a，b)不连续，所以不选B从而也不选A．
   f(x)+F(x)不一定是初等函数，例如f(x)=e^x2在(-∞，+∞)上存在一个原函数F(x)，它不是初等函数F(z)+f(x)不是初等函数，因此不选D．

D

[解析] 这是讨论原函数的存在性问题．我们知道，若F(x)在(a，b)连续，则F(x)在(a，b)一定存在原函数，这里g(x)在(-1，1)连续，所以g(x)在(-1，1)存在原函数．
   余下的是f(x)在(-1，1)是否存在原函数(x=0是f(x)的间断点)．
   方法1 f(x)在[0，1)的原函数为，在(-1，0)的原函数为sinx+C₂，在x=0处该原函数必连续：
   
   C₁=C₂．若f(x)在(-1，1)存在原函数则应是
   
   但此F(x)在x=0不可导，因为
   
   因此f(x)在(-1，1)不存在原函数．选D．
   方法2 因x=0是f(x)的第一类间断点，所以f(x)在(-1，1)有第一类间断点，f(x)在(-1，1)不存在原函数．选D．