B

[解析] 由于Aα₁=b，Aα₂=b，那么
   A(3α₁-2α₂)=3Aα₁-2Aα₂=3b-2b=b，
   
   
   可知3α₁-2α₂，均是Ax=b的解．
   而A(α₁-α₂)=Aα₁-Aα₂=b-b=0，所以α₁-α₂是Ax=0的解，不是Ax=b的解，故应选B．

A

[解析] 由Aα_i=b(i=1，2，3)有
   A(α₁-α₂)=Aα₁-Aα₂=b-b=0
   A(α₁+α₂-2α₃)=Aα₁+Aα₂-2Aα₃=b+b-2b=0
   
   A(α₁-3α₂+2α₃)=Aα₁-3Aα₂+2Aα₃=b-3b+2b=0
   所以，α₁-α₂，α₁+α₂-2α₃，，α₁-3α₂+2α₃均是齐次方程组Ax=0的解．

C

[解析] 齐次方程组Ax=0的基础解系有3层含义：(1)齐次方程组的解；(2)线性无关；(3)解向量个数为n-r(A)．
   本题B中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除．易见本题秩r(A)=2，那么n-r(A)=4-2-2，即解向量个数应为2，故要排除D．至于A和C必有一个正确，因此(-2，2，1，0)^T肯定是解．那么(0，2，0，1)^T与(2，2，-3，-4)^T中必有一个不是解，故要从解的角度来分析判断．将(1，2，0，1)^T代入方程，知不是方程组的解，所以要选C．

B

[解析] 记选项A，B，C，D中向量分别是ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄，因ξ₁，ξ₄成比例，如果A是Ax=0的解，则D必是Ax=0的解．因此A、D均不是Ax=0的解．
   由于α₁，α₂是Ax=0的基础解系，那么α₁，α₂可表示Ax=0的任何一个解ξ，亦即方程组x₁α₁+x₂α₂=ξ必有解．因为
   
   可见第2个方程组无解，即ξ₃=(2，2，-5)^T不能由α₁，α₂线性表出．故C不成立，应选B．

C

[解析] 因Aα_i=b，i=1，2，3，故
   A项A(α₁-α₂-α₃)=b-b-b=-b≠b．
   B项A(aα₁+(1-a)α₂-α₃)=ab+(1-a)b-b-0≠b．
   C项．
   D项A(aα₁-2α₂-3aα₃)=ab-2b-3ab=-2(1+a)b≠b．
   故应选C．

D

[解析] 由已知条件知Ax=0的基础解系由四个线性无关的解向量所构成．现在B中仅三个解向量，个数不合要求故B不是基础解系．
   A和C中，都有四个解向量，但因为
   (η₁-η₂)+(η₂+η₃)-(η₃-η₄)-(η₄+η₁)=0
   (η₁+η₂)-(η₂+η₃)+(η₃-η₄)-(η₄+η₁)=0说明A、C中的解向量组均线性相关，因而A、C也均不是基础解系．
   用排除法可知D入选．或者盲接地，由
   
   因为
   
   知η₁+η₂，η₂-η₃，η₃+η₄，η₄+η₁线性无关，又因η₁+η₂，η₂-η₃，η₃+η₄，η₄+η₁均是Ax=0的解．且解向量个数为4，所以D是基础解系．

C

[解析] 由于A是m×n矩阵，知A^T是n×m矩阵，那么A^Tx=0是n个方程m个未知数的齐次线性方程组，从而m-r(A^T)=t．又因r(A)=r(A^T)，所以r(A)=m-t，即应当选C．

B

[解析] 因为α₁、α₂线性无关，所以Ax=0至少有两个线性无关的解，故
   n-r(A)≥2  即r(A)≤3-2=1
   因此排除A、C
   对于B和D，因为α₂不是方程组D的解，因此排除D．故应选B．

B

[解析] Ax=0是三个未知数三个方程的齐次线性方程组，Ax=0有非零解的充分必要条件是行列式|A|=0，由于
   
   可见a=1能保证|A|=0，但|A|=0并不必须a=1．即a=1是充分条件并不必要，故应选B．

D

[解析] 由n-r(A)=n-(n-1)=1，故Ax=0的通解形式为kη，η≠0．4个选项中向量均是Ax=0的解向量，因为η₁或η₂有可能是零解，所以不能保证A或B一定是通解．
   由η₁+η₂有可能为0，所以不能保证C一定是通解．
   因为η₁≠η₂肯定有η₁-η₂≠0，因此η₁-η₂必是Ax=0的非零解，所以D正确．

B

[解析] 因为齐次方程组Ax=0有非零解，且其任一解均可以由α线性表出，说明Ax=0的基础解系只有一个向量．因此r(A)=3-1-2．对矩阵A作初等变换有
   
   可见当a=-5时，均有秩r(A)=2，方程组Ax=0有基础解系α=[2，0，-1]^T，所以应选B．

D

[解析] 若α_i是Ax=b的解，α_i∈k₁ξ₁+k₂ξ₂+η，，即方程组ξ₁x₁+ξ₂x₂+η=α_i有解．
   即ξ₁x₁+ξ₂x₂+η=α_i-η有解．
   将ξ₁，ξ₂，α₁-η，α₂-η，α₃-η，α₄-η，合并成矩阵，并作初等行变换，得
   显然α₄-η不能由ξ₁，ξ₂线性表出，即α₄不包含于k₁ξ₁+k₂ξ₂+η之中，应选D．

C

[解析] 观察方程组增广矩阵中系数的规律性．C中第一个方程和第二个方程是矛盾方程．(若x₁-x₂+2x₃=1，则必有-2x₁+2x₂-4x₃=-2≠-3．)方程组无解．故应选C．
   A、B的系数行列式不为零，方程组唯一解．
   D中第一个方程+第二个方程一第三个方程．第三个方程是多余方程．显然有r(A)=r(A|b)=2，方程组有无穷多解．

C

[解析] 方程组有通解kξ+η知
   α₅=[α₁，α₂，α₃，α₄][kξ+η]
   
   即α₅-(k+2)α₁-(1-k)α₂-2kα₃-α₄=0，其中k是任意常数，即α₁，α₂，α₃，α₄，α₅线性相关，上式线性组合为零中不能没有α₄，选项C中没有α₄，故C不正确．故应选C
   当k=0时A成立．
   k=1时B成立．
   k=-2时D成立．
   故A、B、D均是正确的．

C

[解析] 线性方程组Ax=b有两个不同的解Ax=b有无穷多解．由于本题的系数矩阵比较复杂，故可以由|A|=0来排查．因为
   
   所以本题中方程组有无穷多解的必要条件是|A|=0，故可排除A与D．
   至于λ=1，还是λ=10?可以对增广矩阵代入特殊值后消元处理．例如，把λ=1代人原方程组，有
   
   因为，故知A一1时方程组有无穷多解，即选C．

A

[解析] 因为A是m×n矩阵，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也必线性无关．因此，，即方程组Ax=b必有解．但方程组有解时，并不要求秩必为优．所以A是充分条件．那么B、C、D错在何处?
   当m=n时，A是秩为r的n阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是r，因此推导不出方程组必有解；
  当r(A)=n时，增广矩阵的秩有可能是n+1，因此不能保证Ax=b必有解．(注意A是m×n矩阵，m有可能大于n)你能举个反例吗?
   当方程个数小于未知数个数时，Ax=b是否有解仍是不确定的．所以B、C、D均不是方程组有解的充分条件．

A

[解析] A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有r(A)=n．同理，若A中有m阶子式不为零，则必有r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间的关系．
   对于A，因为r(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解．即A正确．
   关于B，当r(A)=n时，增广矩阵A的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解．即B不正确．为此，请思考下例
   
   有r(A)=2，，方程组无解．
   至于C和D，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以．因此，方程组Ax=b必有解．但是否必有唯一解?Ax=0是否只有零解都是不确定的．例如，有非零解有无穷多解
   仅当m=n时，C、D才正确．

B

[解析] 由α₁+2α₂-α₃=β知
   
   即γ₁=(1，2，-1，0)^T是Ax=β的解．同理γ₂=(1，1，1，1)^T，γ₃=(2，3，1，2)^T也均是Ax=β的解．那么
   η₁=γ₁-γ₂=(0，1，-2，-1)^T ，η₂=γ₃-γ₂=(1，2，0，1)^T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α₁、α₂线性无关，有r(A)=r(α₁，α₂，α₃，α₄)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η₁，η₂就是Ax=0的基础解系，根据解的结构B人选．

A

[解析] 如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得
   A^TAα=A^T(Aα)=A^T0=0
   即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．
   反之，若α是(Ⅱ)的解，有A^TAα=0，用α^T左乘可得
   (Aα)^T(Aα)=(α^TA^T)(Aα)=α^T(A^TAα)=α^T0=0
   若设Aα=(b₁，b₂，…，b_n)^T，那么
   
   即Aα=0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．

C

[解析] A经过若干次初等行变换得B．即存在可逆阵P，使PA=B，(P是若干个初等阵的积)故有r(A)=r(PA)=r(B)，故1°成立．又若存在x，使Ax=0，必有Bx=(PA)x=P(Ax)=0，反之(PA)x=P(Ax)=0，两边左乘P^-1，得Ax=0，故Ax=0和Bx=0同解，3°成立，故应选C．
   注意|A|≠|B|=|PA|=|P||A|，|P|不一定为1，故2°不成立．又若Ax=b两边左乘P，有PAx=Pb≠b，故4°不成立．即A，B，D不成立．

A

[解析] 若Aⁿα=0，则Aⁿ⁺¹α=A(Aⁿα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题(1)正确．
   下面的问题是选A还是选B?即(2)与(4)哪一个命题正确?
   如果Aⁿ⁺¹α=0，而Aⁿα≠0，那么对于向量组α，Aα，A²α，…，Aⁿα，一方面有：
   若kα+k₁Aα+k₂A²α+…+k_nAⁿα=0，用Aⁿ左乘上式的两边，并把Aⁿ⁺¹α=0，Aⁿ⁺²α=0，……代人，得kAⁿα=0，
   由于Aⁿα≠0而知必有k=0．类似地用A^n-1左乘可得k₁=0，……
   因此，α，Aα，A²α，…，Aⁿα线性无关．但另一方面，这是n+1个n维向量它们必然线性相关，两者矛盾．故Aⁿ⁺¹α=0时，必有Aⁿα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确．
   故命题(1)，(2)正确，即Aⁿx=0和Aⁿ⁺¹x=0也是同解方程，应选A．

D

[解析] 由特征值的性质：
   现在，故可排除C．
   显然，矩阵A中第2、第3两列成比例，易知行列式|A|=0，故λ=0必是A的特征值，因此可排除B．
   对于A和D的选择，若选项A正确，则A应有λ=1．但说明λ=1不是矩阵A的特征值．故可排除A，由排除法知应选D．

C

[解析] 根据，可知A可逆的充分必要条件是λ_i≠0(i=1，2，…，n)
   法一  由A*的特征值是1，-1，2，4知|A*|=-8，又因|A*|=|A|^n-1而知|A|³=-8，于是|A|=-2，故A的特征值λ≠0，则A*的特征值，从而，故，矩阵A的特征值是：．
   因此，A-E的特征值是-3，1，-2，，2A-E的特征值-5，3，-3，-2；A-4E的特征值-6，-2，-5，，因为特征值均非0，矩阵A-E，2A-E，A-4E均可逆．
   但矩阵A+2E的特征值为0，4，1，含有0，所以矩阵A+2E不可逆．故应选C．
   法二 由法一知|A|=-2，对各选项矩阵左乘A*，对C，有
   A*(A+2E)=A*A+2A*=|A|E+2A*=-2E+2A*有特征值0，-4，2，6．
   故A*(A+2E)不可逆，因A*可逆，知A+2E不可逆，故应选C．

A

[解析] 由Aα=λα，α≠0可得到：
   A²α=λ²α，  ，  (A-E)α=(λ-1)α
   说明A²，A^-1，A-E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)由排除法，知应选A．或
   由于|λE-AT|=|(λE-A)^T|=|λE-A|
   A与A^T有相同的特征多项式，所以A与A^T有相同的特征值．

C

[解析] 若α是A的特征向量，那么kα(k≠0)仍是A的特征向量．因此，如果B正确，必有D正确．所以B、D均不正确，故排除B和D．由Aα=λα，α≠0知α与Aα的对应分量应当成比例．
   
   因为(1，0，-1)^T与(7，0，5)^T坐标不成比例，所以(1，0，-1)^T不是A的特征向量，所以A不正确，用排除法可知应选C，或直接逐项验算，其中C
   
   知(4，-1，2)^T是A的特征向量．故应选C．

A

[解析] 设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有
   
   对应分量相等，即有
   
   可见λ=-4，α=-2，b=6，所以应选A．

B

[解析] 由Aα=λα，α≠0，有A²α=A(λα)=λAα=λ²a，α≠0
   即α必是A²属于特征值λ²的特征向量．
   又
   知α必是矩阵属于特征值的特征向量．
   关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为
   (P^-1AP)(P^-1α)=P^-1Aα=λP^-1α
   按定义，矩阵P^-1AP的特征向量是P^-1α．由于P^-1α与α不一定共线，因此α不一定还是P^-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．
   线性方程组(λE-A)x=0与(λE-A^T)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A^T的特征向量．因此α肯定是其特征向量的矩阵有两个，故应选B．

D

[解析] 若α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，α≠0．
   那么，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量．即D正确．由于(λE-A^T)x=0，(λE-A*)x=0，(λE-A²)x=0分别与(μE-A)x=0不一定有相同的解，所以α不一定是A的特征向量．如取
   
   但
   即α₁，α₂均不是A的特征向量．

C

[解析] 已知A³α+2A²α-3Aα=0．即有
   (A+3E)(A²α-Aα)=0=0(A²α-Aα)
   因为α，Aα，A²α线性无关，那么必有A²α-Aα≠0，所以，A²α-Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，亦即矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量．

A

[解析] 由Aα₂=3α₂，有A(-α₂)=3(-α₂)，即当α₂是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α₂仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．同理2α₃仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量．
   当P^-1AP=A时，P由A的特征向量所构成，A由A的特征值所构成，且P与A的位置是对应一致的．现在，矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵A应当由1，3，-2构成，因此排除B、C．由于2α₃是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵A中应当是第2列，故应选A．

D

[解析] 若
   则有AP=PA
   即
   即[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[a₁α₁，a₂α₂，a₃α₃]
   可见α_i是矩阵A属于特征值α_i，的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此α₁，α₂，α₃线性无关．
   若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故A正确．
   若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α₂，α₃是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α₂+α₃，α2-2α₃仍是λ=5的特征向量，并且α₂+α₃，α₂-2α₃线性无关，故B正确．
   关于C，因为α₂，α₃均是λ=5的特征向量，所以α₂与α₃谁在前谁在后均正确．即C正确．
   由于α₁，α₂是不同特征值的特征向量，因此α₁+α2，α₁-α₂不再是矩阵A的特征向量，故D错误．

C

[解析] 二阶矩阵A有两个不相等的特征值1和3，因此，那么只要和矩阵A有相同的特征值它就一定和∧相似，也就一定与A相似．
   (1)与(2)分别是上三角与下三角矩阵，特征值是1和3，所以它们均与A相似，又
   
   可见(4)亦与A相似．而(3)与A不相似，故与A相似的矩阵有三个，应选C．

D

[解析] A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．
   B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．
   C是秩为1的矩阵，Ax=0有二个线性无关解，是A的对应于λ=0特征向量．λ=0至少是A的二重特征值，又，故λ=0是二重特征值A相似于对角阵或由|λE-A|=λ³-4λ²，知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩
   r(0E-A)=r(A)=1
   知齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量．从而矩阵必可以相似对角化．由排除法，知应选D．或
   D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩
   
   知齐次方程组(E-A)x=0只有3-2=1个线性无关的解，亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化．所以应当选D．

C

[解析] 根据A和B相似的必要条件
   (1)r(A)=r(B)  (2)|A|=|B|  (3)λ_A=λ_B  (4)
   易见A秩不等、B主对角线之和不等、D行列式、或主对角线之和或特征值不等．均不相似所以应选C．实际上，对于C由
   
   知矩阵A的特征值为2，0，0．又因秩r(0E-A)=1，有n-r(0E-A)=2．即齐次方程组(QE-A)x=0有2个线性无关的解，亦即λ=0有两个线性无关的特征向量．从而
   
   类似地
   因此

C

[解析] 由知AB可由B作列变换得到．将B的1、2列互换再将第2列乘2，第3列乘-1，得AB，即
   
   B是可逆阵，两边左乘B^-1，得
   
   故，应选C．

B

[解析] A不可逆，|A|=0，λ₁=0
   又Aα=β，Aβ=α，故
   A(α+β)=β+α=(α+β)，λ₂=1
   A(α-β)=β-α=-(α-β)，λ₃=-1
   故A的三个特征值为0，1，-1．
   A与选项B的对角阵相似，应选B．

B

[解析] A～C，即存在可逆阵P，使P^-1AP=C．B～D，即存在可逆阵Q，使Q^-1BQ=D，故存在可逆阵，使得
   
   得，应选B．
   A、C、D显然不成立．

A

[解析] 由于矩阵A可逆，有
   A^-1(AB)A=BA
   按相似定义知AB～BA．即命题(1)正确．
   因为A～B，故存在可逆矩阵P使P^-1AP=B，那么
   B²=(P^-1AP)(P^-1AP)=P^-1A²P
   B^-1=(P^-1AP)^-1=P^-1A^-1(P^-1)^-1=P^-1A^-1P
   B^T=(P^-1AP)^T=P^TA^T(^P-1)^T=[(P^-1)^T]^-1A^T(P^-1)^T
   按相似定义知命题(2)(3)(4)也均正确．故应选A．

B

[解析] A的对应A的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A_3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E-A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能三重．例，r(A)=1，但λ=0是三重特征值．故应选B．

D

[解析] 请考察下列矩阵
   它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．可见仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．

B

[解析] 由A～B，即存在可逆矩阵P使P^-1AP=B知
   |λE-B|=|λE-P^-1AP|=|P^-1(λE-A)P|
   =|P^-1||λE-A||P|=|λE-A|
   即A与B有相同的特征值．
   侣当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如
   
   虽然A，B有相同的特征值λ₁=λ₂=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A．B有相同的特征值．故应选B

D

[解析] 由A～B，即存在可逆矩阵P使P^-1AP=B知；若Aα=λα，α≠0，有
   B(P^-1α)=(P^-1AP)(P^-1α)=P^-1Aα=λ(P^-1α)
   即α是A的特征向量，P^-1α是B的特征向量．所以，A与B的特征向量不同．
   反之，若A与B有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，即
   Aα=λα，Bα=μα λ≠μ
   由于A与B的特征值不同，A和B不可能相似．因此，A与B有相同的特征向量对于A～B来说既不充分又不必要，所以应当选D．

A

[解析] 若，则有可逆矩阵P使P^-1AP=A或AP=PA令P=[γ₁，γ₂，…，γ_n]，即有
   
   从而有
   Aγ_i=α_iγ_i    i=1，2，…，n
   由P可逆，有γ_i≠0，且γ₁，γ₂，…，γ_n线性无关．按定义知γ₁，γ₂，…γ_n是A的n个线性无关的特征向量．
   反之，若A有n个线性无关的特征向量α₁，α₂，…，α_n，满足
   Aα_i=λ_iα_i，i=1，2，…，n
   那么，用分块矩阵有
   
   由于矩阵P=[α₁，α₂，…，α_n]可逆．故P^-1AP=A．即A与对角矩阵A相似．

C

[解析] 因为矩阵A的特征值是0，1，-1，因此矩阵A—E的特征值是-1，0，-2．由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆．命题A正确．
   因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化．命题B正确．(或由A～∧A+E～∧+E而知A+E可相似对角化)
   因为矩阵A有三个不同的特征值，知
   
   因此，r(A)=r(A)=2，从而齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=3-2=1个解向量构成，即命题D正确．
   C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交，这两个定理的差异要搞清楚．

D

[解析] A～∧，故存在可逆阵P，使得P^-1AP=∧，即A=P∧P^-1代入B，得
   B=A³-2A²-A+5E=(PPP^-1)³-2(P∧P^-1)²-P∧P^-1-5PP^-1
   =P(∧³-2∧²-∧+5E)P^-1
   
   故选D．

A

[解析] 用配方法，有
   
   可见二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0．与选项A相同，因此，A是二次型的标准形．故应选A．所用坐标变换是：
   
   与
   即经坐标变换
   有
   或直接令
   即有

B

[解析] 二次型的规范形中，平方项的系数只能是1，-1，0．故应当排除A
   只要求出二次型的正、负惯性指数就可以确定二次型的规范形．通常可以求二次型矩阵的特征值或用配方法化二次型为标准形来实现．
   二次型f经整理为
   
   由于
   
   故矩阵A的特征值是12，-6，0．因此二次型正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，故应选B．
   本题中，若令
   而认为规范形是就不正确了．因为行列式
   
   所以上述变换(1)不是坐标变换，(即不是可逆线性变换．)当然也就不是规范形了．

C

[解析] 二次型正定的必要条件是：a_ii＞0．
   在D中，由于a₃₃=0，易知f(0，0，1)=0，与X≠0，X^TAX＞0相矛盾．
   二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零．在A中，二阶主子式
   
   在B中，三阶主子式Δ₃=|A|=-1．
   因此A、B、D均不是正定矩阵．故应选C．

D

[解析] 化二次型为标准形既可用交变换法也可用配方法，化成标准形和所用坐标变换都是不唯一的．A、C均不正确．
   化规范形的坐标变换不唯一，故B不正确，规范形由二次型的正、负惯性指数所确定，而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的(在不计1，-1，0的排列次序时)．故D正确．

C

[解析] 实对矩阵A，B合同的充要条件是x^TAx，x^TBx有相同的正、负惯性指数；
   由合同定义：C^TAC=B，(C可逆)．故合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式|A|与|B|同号．
   本题A中的矩阵秩不相等．B中行列式正、负号不同，而排除．
   易见C中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型x^TAx与x^TBx有相同的正、负惯性指数，所以A和B合同．
   而D中，A的特征值为1，±2，B的特征值为-1，-2，-2，从而x^TAx与x^TBx正、负惯性指数不同而不合同．

B

[解析] A，B均是实对称阵，
   
   A有特征值λ₁=λ₂=λ₃=0，λ₄=4
   B有特征值μ₁=μ₂=μ₃=0，μ₄=3．
   故A，B不相似，但A，B的正惯性指数均为p=1，负惯性指数为0，故A，B合同，应选B．

B

[解析] 二次型x^TAx经正交变换x=Qy化为新的二次型y^TBy，由于x^TAx=(Qy)^TA(Qy)=y^T(Q^TAQ)y，则有Q^TAQ=B即原二次型矩阵A和新二次型矩阵B合同，又因Q是正交矩阵Q^T=Q^-1，故
   QTAQ=Q^-1AQ=B
   故A和B又相似
   因此在正交变换下，二次型矩阵A与B不仅合同而且相似．
   因为两个实对称矩阵相似的充分必要条件是有相同的特征值，现在
   
   知矩阵A的特征值是2，4，-2．和对角阵B的特征值相同，所以应当选B．

B

[解析] 按定义，若存在可逆矩阵C使C^TAC=B，则称A与B合同．
   因为矩阵C可逆，故有r(A)=r(C^TAC)=r(B)即B正确．
   注意，若，则有C^TAC=B，即A与B合同．
   此时A的特征值是1，1，B的特征值是1，4；(3，2)^T是A的特征向量，但不是B的特征向量；
   |A|=1，|B|=4亦不相同．说明A、C、D均不正确．

D

[解析] 由定义f=x^TAx正定，均有x^TAx＞0，反之，若存在X≠0，使得f=x^TAx≤0 则f或A不正定．
   A项因f₁(1，1，1)=0，故A不正定．
   B项因f₂(-1，1，1)=0，故B不正定．
   C项因f₃(1，-1，1，1)=0，故C不正定．
   由排除法，应选D．

D

[解析] 将初等行、列变换，用左、右乘初等阵表出，由题设
   AE_ij=B，E_ijB=C．
   C=E_ijB=E_ijAE_ij
   因，故，故即，C～A，且，故应洗D．