24

[解析] 在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形．以期减少计算量．将a₁₂=-1，a₂₃=-2，a₃₄=-3消为零，行列式变形成上三角行列式，计算得
   

(a₁c₂-a₂c₁)(b₁d₂-b₂d₁)

[解析] 本题有较多的0，并有较好的规律性，应当有用拉普拉斯展开式的设想．
   

120

[解析] 化成范德蒙行列式计算：将行列式第四行逐行加到第一行上，可提出公因子10再将第四行逐行相换至第二行得：
   

4!3!2!(或288)

[解析] 第2、3、4行提出公因子2、3、4，再转置，得范德蒙行列式，直接代入范德蒙行列式的结果得
   

[解析]

a，b，-(a+b)

[解析] 行列式的展开后是一元三次方程，应有三个根，由观察，当x=a时，一、二行相等，行列式为零，x=a是方程的根．同理x=b也是．(理由?)又行列式每行元素和为相等，且等于x+a+b，将第二、三列加到第一列，并提公因子，得
   
   得x=-(a+b)．故方程的三个根是a，b，-(a+b)．

6x²

[解析]

(2，0)，(3，0)

[解析] 曲线与x轴即y=0的交点为
   方程右端为范德蒙行列式，，得x=2，x=3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)．

20

[解析] 由行列式性质，将|B|用已知行列式|A|表出．
   |B|=|α₁-3α₂+2α₃，α₂-2α₃，2α₂+α₃|
   =|α₁-2α₂，α₂-2α₃，2α₂+α₃|
   =|α₁-2α₂，α₂-2α₃，5α₃|
   =5|α|-2α₂，α₂，α₃|
   =5|α₁，α₂，α₃|=20
   或者，利用分块矩阵乘法
   
   有

-56

[解析] 因为
   A-3B=[α，γ₂，γ₃，γ₄]-[3β，3γ₂，3γ₃，3γ₄]
   =[α-3β，-2γ₂，-2γ₃，-2γ₄]
   故有
   |A-3B|=|α-3β，-2γ₂，-2γ₃，-2γ₄|
   =-8|α-3β，γ₂，γ₃，γ₄|
   =-8(|α，γ₂，γ₃，γ₄|-3|β，γ₂，γ₃，γ₄|)
   =-8(|A|-3|B|)=-56

-12

[解析] 因为代数余子式A_ij的值与元素a_ij的值无关．本题求第一列元素的代数余子式，故可构造一个新的行列式．把|A|中第1列换为所求和的代数余子式的系数，即
   
   则|A|与|B|的第一列元素的代数余子式A₁₁，A₂₁，A₃₁，A₄₁是一样的，而对|B|按第1列展开就是
   |B|=A₁₁+2A₂₁+A₃₁+2A₄₁
   那么只要计算出行列式|B|的值也就求出本题代数余子式的和．易计算出A₁₁+2A₂₁+A₃₁+2A₄₁=|B|=-12．

[解析] 因为
   又因
   所以

[解析]
   
   从而有A⁵=A³A²=2A·A²=2A³=2²A
   …………
   

[解析] 按定义，求出行列式|A|的代数余子式，有
   
   所以
   或者，由A^*=|A|A^-1，现在|A|=-10，．
   而得．

[解析] 将Aα₁，Aα₂，Aα₃合并成矩阵，利用分块矩阵，有
   
   其中，[α₁，α₂，α₃]可逆，上式两边右乘A^-1
   那么

[解析] 先求出A满足的关系式，再利用逆矩阵的定义求(A+2E)^-1．因为
   A²=(E+αβ^T)(E+αβ^T)
   =E+2αβ^T+αβ^Tαβ^T=E+2αβ^T+α(β^Tα)β^T=E+2αβ^T+α(α^Tβ)β^T
   =E+5αβ^T=5(E+αβ^T)-4E=5A-4E
   即A²-5A+4E=O
   那么(A+2E)(A-7E)+18E=O
   得
   故．

E+A+A²+A³+A⁴

[解析] A⁵=O，故-A⁵=O，两边加E，得
   E-A⁵=E
   左边分解因式，有(E-A)(E+A+A²+A³+A⁴)=E，
   故(E-A)^-1可逆，且
   (E-A)^-1=E+A+A²+A³+A⁴．

[解析] (A+B)^-1没有运算法则．应当恒等变形将其化为乘积形式，本题用单位矩阵恒等变形之技巧．
   因为B-E=(E-A)(E+2A)^-1-(E+2A)(E+2A)^-1
   =[(E-A)-(E+2A)](E+2A)^-1
   =-3A(E+2A)^-1
   故
   因为
   所以

[解析] 化简矩阵方程，左乘A^-1、右乘A有
   2B=BA+6E
   于是B(2E-A)=6E
   所以
   

[解析] 因为AA^*=|A|E，故A=|A|(A^*)^-1，由已知得|A^*|=-8，又|A^*|=|A|³，得|A|=-2．
   又
   所以

4-3a

[解析] 若能求得A^*，则A^*的全体元素之和即是|A|的全部代数余子式之和，由公式AA^*=|A|E，故A^*=|A|A^-1．
   |A|=1
   
   故
   故

[解析] 由AA^*=|A|E，有
   因为(A^-1)^-1=A，求出A^-1的逆矩阵就是求出矩阵A．
   
   又因|A^-1|=2．故

[解析] 由于A的每一行元素之和为a，即
   即
   在等式两边左乘A^-1得
   
   由于A可逆，则a≠0．从而．故A^-1的每行元素之和为．

[解析] 由已知AX+2B=BA+2X，得
   AX-2X=BA-2B，即(A-2E)X=B(A-2E)
   由于可逆，故X=(A-2E)^-1B(A-2E)
   那么

，其中k，l，λ是任意常数

[解析] 将B按列分块，设B=[β₁，β₂，β₃]则
   ，Aβ₂=0，Aβ₃=0，故β₁，β₂，β₃都是齐次线性方程组Ax=0的解向量．
   作齐次线性方程组Ax=0，并求出通解．
   
   Ax=0有通解k[-2，-1，1]^T，取β_i，i=1，2，3为Ax=0的通解，再合并成B，得
   ，其中k，l，λ是任意常数．

，t、u为任意实数

[解析] 由于矩阵不可逆，故可设，于是
   
   得方程组
   所以，t，u是任意常数．

2

[解析] 由AB+2A=A(B+2E)，而
   
   是可逆矩阵，故r(AB+2A)=r(A(B+2E))=r(A)
   经初等变换矩阵的秩不变，易见
   
   所以r(AB+2A)=2．

0

[解析] 根据
   
   现在n=4，r(A)=3r(A^*)=1
   那么r(A^*)＜n-1再利用伴随矩阵秩的关系式(2)，就可看出r(A^*)^*=0．

0

[解析] 因为η₁与η₂的分量不成比例，所以η₁，η₂线性无关．因而齐次方程组Ax=0至少有两个线性无关的解，于是n-r(A)≥2，即有r(A)≤3．
   又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，故|A|中4阶子式必全为0，因此，代数余子式A_ij恒为零，从而A^*=0，所以秩r(A^*)=0．

[解析] 初等行变换相当于左乘初等阵，将题设初等行变换的过程用左乘初等阵表出即可
   
   故

-3

[解析]
   其中
   

(-∞，+∞)

[解析] 由于向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来进行分析．
   
   由于，恒有r(A)=3，所以向量组α₁，α₂，α₃必线性无关．

[解析] β+α₁，β+α₂，αβ+α₃线性相关，存在不全为零的数k₁，k₂，k₃，使得
   k₁(β+α₁)+k₂(β+α)+k₃(αβ+α₃)=0
   整理得(k₁+k₂+k₃a)β+(k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃)=0
   因已知2α₁-α₂+3α₃=0，且β是任意向量，上式成立，只需取k₁=2，k₂=-1，k₃=3，则有2α₁-α₂+3α₃=0，且令β的系数为0，即k₁+k₂+ak₃-2-1+3a=0，即

3或-1

[解析] 因为
   α₁+2α₂+α₃，α₁+aα₂，3α₂-aα₃
   线性相关，故有不全为0的x₁，x₂，x₃使
   x₁(α₁+2α₂+α₃)+x₂(α₁+aα₂)+x₃(3α₂-aα₃)=0
   即
   (x₁+x₂)α+(2x₁+ax₂+3x)α₂+(x₁-αx₃)α₃=0
   已知α₁，α₂，α₃线性无关，故必有
   
   因为x₁，x₂，x₃不全为0，所以上述齐次方程组有非零解．系数行列式必为0，于是
   
   从而a=3或-1．

α₁，α₂，α₄(不唯一)

[解析] 列向量作行变换，有
   
   因为矩阵中有3个非零行，所以向量组的秩为3，又因非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α₁，α₂，α₄是向量组α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组．

3或-4

[解析] 因为对任何a，α₁，α₂分量不成比例，故线性无关，所以β可由α₁，α₂线性表出的充分必要条件是α₁，α₂，β线性相关．又因α₁，α₂，β是3个3维向量．故α₁，α₂，β线性相关的充分必要条件是行列式|α₁，α₂，β|=0．
   由于
   
   所以a=3或a=-4．

2

[解析] β₁可由α₁，α₂，α₃线性表出，即方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β₁有解，β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表出，即方程组y₁α₁+y₂α₂+y₃α₃=β₂无解．由于这两个方程组的系数矩阵是一样的，因此可联合起来加减消元．
   
   a，方程组总有解，即β₁必可由α₁，α₂，α₃线性表出．
   而方程组在a=2时元解，即β₂在a=2时不能由α₁，α₂，α₃线性表出．故a=2．

a≠1

[解析] 三个3维向量α₁，α₂，α₃可表示任一个3维向量
   
   由
   ．
   所以a≠1．

[解析] 向量α，β正交内积α^Tβ=0
   设β=(x₁，x₂，x₃，x₄)^T与α₁，α₂，α₃均正交，那么
   
   对齐次方程组Ax=0的系数矩阵作初等行变换，有
   
   得到基础解系是β=(-1，-1，1，0)^T．将其单位化故即为所求．

[解析] 先正交化
   β₁=α₁=(1，1，2，3)^T
   ，取分量为整数得β₂=(-2，1，5，-3)^T
   再单位化，有