(0，1，0，0)^T，(-2，0，3，1)^T

[解析] 由齐次方程组的系数矩阵
   
   易见秩r(A)=2，那么n-r(A)=4-2=2，故基础解系由两个线性无关的解向量所构成，且每个解中有两个自由变量．由于1、3两列所构成的二阶子式
   
   故可取x₂，x₄为自由变量．
   令x₂=1，x₄=0，由第二个方程x₃-3x₄=0求出x₃=0．再把x₂=1，x₄=0，x₃=0代人第一个方程x₁+2x₄=0求出x₄=0，于是得到解η₁=(0，1，0，0)^T，
   令x₂=0，x₄=1由第二个方程x₃-3x₄=0求出x₃=3，再将x₂=0，x₄=1，x₃=3代人第一个方程x₁+2x₄=0，求出x₁=-2，于是得到解η₂=(-2，0，3，1)^T．
   所以Ax=0的基础解系是η₁，η₂．

-5或-6

[解析] 齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)＜n．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．
   
   故a=-5或a=-6．

3

[解析] 线性方程组Ax=b有无穷多解的充要条件是．对增广矩阵作初等行变换，有
   
   由于r(A)=2，而
   所以，方程组有无穷多解的充分必要条件是a=3．

-1

[解析] 非齐次线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是．对增广矩阵作初等行变换有
   
   可见a=-1时，r(A)=2，，线性方程组无解，所以应当填a=-1．

(6，-1，1)^T+k(13，-5，-1)^T(k为任意常数)
   (或(-7，4，2)^T+k(13，-5，-1)^T，k为任意常数)

[解析] 一方面因为α₁，α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，故必有．另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式
   
   又必有r(A)≥2，因此，必有．
   那么，n-r(A)=3-2=1，因此，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质
   α₁-α₂=(6，-1，1)^T-(-7，4，2)^T=(13，-5，-1)^T
   是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，那么再根据解的结构，知
   (6，-1，1)^T+k(13，-5，-1)^T(k为任意常数)
   是方程组的通解．(或(-7，4，2)^T+k(13，-5，-1)^T)

k[M₁₁，-M₁₂，…，(-1)ⁿ⁺¹M_1n]^T，其中k是任意常数

[解析] |A|=0，AA^*=|A|E=0，A^*的任一列都是Ax=0的解．
   因|A|=0，M_1n≠0，故r(A)=n-1．故通解为k(A₁₁，A₁₂，…，A_1n)^T=k(M₁₁，-M₁₂，…，(-1)ⁿ⁺¹M_1n)^T，k是任意常数．

(-3，1，1)^T

[解析] 由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量．若方程组(2)有解ζ=(a，b，c)^T，则η=(0，a，b，c)^T必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解k(1，2，-1，1)^T+(1，-1，0，2)^T，其中k是任意常数，选择任意常数k，使(1)的解的第一个分量为0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1)^T，则向量(-3，1，1)^T满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解．故向量(-3，1，1)^T即为所求．

k(-3，-1，1，2)^T+(-2，1，4，2)^T，其中k是任意常数

[解析] 方程组(1)Ax=b有唯一解ξ=[1，2，3]^T，故r(A)=r(A|b)=3．By=b有特解η=[-2，1，4，2]，显然r(B)=r(B|b)=3，且η₁=(1，2，3，0)^T是方程组B_3×4y=b的另一个特解．
   B是3×4矩阵，故对应齐次方程组Bx=0的基础解系只有一个线性无关向量组成，且是η-η₁故(2)的通解为
   k(η-η₁)+η=k(-3，-1，1，2)^T+(-2，1，4，2)^T

，其中k是任意常数

[解析] A_3×3x=b，r(A)=2，方程组通解的形式为kξ+η．则ξ=(η₁+η₂)-(η₂+η₃)=(-1，-5，6)^T是对应齐次方程组Ax=0的基础解系
   ，是Ax=b的一个特解．
   故通解为，其中k是任意常数．

(0，0，-5)^T

[解析] 法一  由正交矩阵定义：AA^T=A^TA=E，知A的列向量与行向量都是单位向量，故
   
   故方程组Ax=b有解
   
   法二  由法一，
   由克拉默法则，
   
   得解
   故x=(0，0，-5)^T．

k(17，9，5，1)^T，k是任意常数

[解析] 方程组(2)的通解必在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)
   中第3个方程的解，令(1)的通解
   
   满足(2)的第3个方程，得
   (2k₁+3k₂)-2(-k₁+2k₂)+0k₂+k₁=0
   得5k₁=k₂
   代入(1)的通解，得方程组(2)的通解为
   k₁(2，-1，0，1)^T+5k₁(3，2，1，0)^T=k₁(17，9，5，1)^T
   (其中k₁是任意常数)．

k(-5，3，1)^T，k为任意常数

[解析] 所谓方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解，即这两个方程组解集合的交集，把(Ⅰ)与(Ⅱ)联立得到方程组(Ⅲ)，那么方程组(Ⅲ)的解就是(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，有
   
   由于秩r(A)=2，n-r(A)=1，取x₃为自由变量，令x₃=1，代入求解得x₂=3，x₁=-5，所以，方程组(Ⅲ)的基础解系是
   η=(-5，3，1)^T
   那么(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是：kη，k为任意常数．

1

[解析] 所谓两个方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解．对(Ⅰ)求出其通解
   (3，2，0)^T+k(3，-1，1)^T=(3k+3，2-k，k)^T．
   把x₁=3+3k，x₂=2-k，x₃=k代入方程组(Ⅱ)，有
   
   整理为
   
   因为k为任意常数，故a=1．此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解．
   且当a=1时，方程组(Ⅱ)为
   
   由r(A₂)=2，从解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη和(Ⅰ)的通解结构相同．(Ⅰ)的通解已满足(Ⅱ)，也是(Ⅱ)的通解，故(Ⅰ)，(Ⅱ)有同解．
   或者易于验算α=(3，2，0)^T是A₂x=b的解，η=(3，-1，1)^T是A₂x=0．
   所以(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．

1，7，7

[解析] (解法一)  按伴随矩阵定义，由代数余子式
   
   知伴随矩阵
   那么
   所以A^*的特征值是1，7，7．
   (解法二)由矩阵A的特征多项式
   
   由|A|=Πλ_i，从而|A|=7·1·1=7．
   因为若Aα=λα，则有．所以A^*的特征值是1，7，7．
   (解法三)因为
   由秩r(B)=1，知B的特征值是6，0，0．故A的特征值是7，1，1．
   下同解法二．

6，3，2

[解析] 由
   知B=6(A^-1-E)^-1
   因为A的特征值的特征值的特征值1，2，3(A^-1-E)^-1的特征值，
   所以矩阵B的特征值：6，3，2．

1，-3，-3

[解析] 设λ是矩阵A的特征值，α是相对应的特征向量，即Aα=λα，α≠0．
   那么根据Aⁿα=λⁿα，由A²+2A-3E=0有(λ²+2λ-3)α=0，又因α≠0．
   故λ²+2λ-3=(λ+3)(λ-1)=0．
   知λ取值范围为1和-3，再由∑λ_i=∑a_ii=-5，知矩阵A的特征值是1，-3，-3．

-5

[解析] 设α是矩阵A^-1属于特征值λ₀的特征向量，按定义有A^-1α=λ₀α，于是α=λ₀Aα．即
   
   即
   由(2)知λ₀≠0，(2)-(3)易见a=-1，那么．因为A和A^-1特征值互为倒数，故α是矩阵A中λ=-5所对应的特征向量．

-1

[解析] α是A^*的特征向量，设对应的特征值为λ₀，则有A^*α=λ₀α．两边左乘A，得AA^*α=λ₀Aα=|A|α．即
   
   得
   
   因r(A^*)=3，|A^*|≠0，故λ₀≠0，由(1)(2)式解得a=-1，(λ₀=-5)

1，1，1

[解析] 由已知条件，有
   
   因为α₁，α₂，α₃线性无关，故矩阵P=[α₁，α₂，α₃]可逆．记，
   那么由AP=PB得P^-1AP=B，即A～B．
   因为
   矩阵B的特征值1，1，1，因相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵A的特征值为1，1，1．

6

[解析] 设α=(a₁，a₂，a₃)^T，记A=αα^T，有
   
   又
   可见α^Tα是矩阵A主对角线元素之和，即矩阵A的迹tr(A)由于相似矩阵迹相同，所以本题中α^Tα=2+2+2=6．

-7

[解析] 由伴随矩阵定义
   
   又∑a_ii=∑λ_i，故只需求出伴随矩阵A^*的特征值之和也就是代数余子式A₁₁+A₂₂+A₃₃之和．
   由|A|=Πλ_i=1·2·(-3)故A^*的特征值：-6，-3，2，故A₁₁+A₂₂+A₃₃=(-6)+(-3)+2=-7．

[解析]
   若λ=2是二重根，则有λ²-2λ-2(a-2)|_λ=2=0，得a=2
   若λ²-2λ-2(a-2)=0是完全平方，则有(λ-1)²=0，(即λ=1是二重根)则有-2(a-2)=1，得．

0，2，3

[解析] 由题设条件知，有特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量分别是ξ₁，ξ₂，ξ₃，即有
   Aξ_i=λ_iξ_i=iξ_i，i=1，2，3
   又Q是正交矩阵，ξ₁，ξ₂，ξ₃满足条件
   
   故
   
   故有特征值0，2，3．

k(1，1，1)^T，k≠0

[解析] 令B=αβ^T，由于秩r(B)=1，且β^Tα=a+1知矩阵B的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．
   因为λ=3是矩阵A的特征值，故a+2=3，知a=1．
   那么βα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=2α
   α=(1，-1，1)^T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．

-2

[解析] 因为
   所以矩阵A的特征值为2，3，3．因为矩阵A的特征值有重根，所以
   
   那么可见a=-2．

[解析] 设Aα=λα，α≠0，那么由Aⁿα=λⁿα有
   (λ⁴-λ³-λ²-2λ)α=0，α=0
   从而λ⁴-λ³-λ²-2λ)=0．即λ(λ-2)(λ²+λ+1)=0
   再由秩r(A)=3，可知特征值必为2，2，2，0．A是实对称矩阵，故．

2，2，2

[解析] 根据定理“若A有n个不同的特征值，则A有n个线性无关的特征向量”，现因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必是三重根，否则A至少有两个不同的特征值，那么至少有两个线性无关的特征向量．
   由于∑a_ii=∑λ_i，故1+3+2=λ+λ+λ，即知λ₁=λ₂=λ₃=2．

4

[解析] 由题设条件知，A有特征值λ₁=1，λ₂=λ₃=-1，将λ₁=1代人特征方程，得
   
   得a=4．

[解析] ξ，α，β线性无关，都是非零向量，Ax=0有解ξ，即Aξ=0=0ξ，故A有λ₁=0，(对应的特征向量为ξ)，又Ax=β有解α，即Aα=β，Ax=α有解β，即Aβ=α，且A(-β)=-α．从而有
   A(α+β)=β+α=(α+β)
   (A(α-β)=β-α=-(α-β)
   故知A有λ₂=1，λ₃=-1，(α+β，α-β均是非零向量，是对应的特征向量)，三阶矩阵A有三个不同的特征值，0，1，-1．故
   

0

[解析] 因A～Λ，故知存在可逆阵P，使P^-1AP=Λ，A=PΛP^-1代入B，得
   B=(A-E)(A-2E)=(PΛP^-1-E)(PΛP^-1-2E)

[解析] 展开行列式，写出二次型的一般表述式，再写出对应矩阵．
   ，故f的对应矩阵为．

2

[解析] 二次型矩阵由于二次型的秩为2，即矩阵A的秩为2．那么
   
   显然a=1时r(A)=1，不合题意，故
   当时
   因为
   所以矩阵A的特征值为，故p=2．

[解析] 二次型矩阵
   由于|λE-A|=(λ²-1)(λ²-5λ)
   知矩阵A的特征值为：1，5，-1，0．故二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．
   因此二次型的规范形为
   或利用配方法．
   令
   得f的规范形为

±1

[解析] 因为二次型x^TAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以1，2，7是A的特征值．
   又因经过正交变换二次型的矩阵不仅合同而且还相似，因此有
   
   根据相似矩阵的性质，有
   
   即：a=6，t²=1，所以应填±1．

[解析] 二次型f的矩阵为
   因为f正定A的顺序主子式全大于零，即
   
   故

k＜-2或k＞0

[解析] 由于
   有|λE-A|=λ³-2λ²=λ²(λ-2)
   即矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE+A的特征值是k+2，k，k，那么B=(kE+A)^*的特征值是k²，k(k+2)，k(k+2)．
   所以，B正定的充要条件是：k²＞0，k(k+2)＞0．得k＜-2或k＞0．

a＜0

[解析] 矩阵A与B合同x^TAx与x^TBx有相同的正、负惯性指数．
   由于
   可见p_A=1，q_A=1．因而的p_B=1，q_B=1时，矩阵A和B合同．
   所以a＜0即可．

[解析] 二次型x^TAx经坐标变换(或称可逆线性变换)，x=Cy得x^TAx=y^TBy就有A和B合同，其中B=C^TAC，那么求矩阵C就是求所用坐标变换(由于本题矩阵A和B不相似，若先用正交变换过渡是可行的，但比较麻烦)．
   对二次型
   用配方法，令
   即有
   可见经坐标变换，就有矩阵A和B合同，所以

k＞2

[解析] 由题设条件A³=2A²+5A-6E，即
   A³-2A²-5A+6E=0
   设A有特征值λ，则λ满足
   λ³-2λ²-5λ+6=0
   因式分解得λ³-2λ²-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0
   故A的特征值的取值范围是1，-2，3．kE+A的特征值的取值范围是k+1，k-2，k+3，当k＞2时，kE+A的特征值均大于零，故k＞2．

a＜0

[解析] B^T=(-aE+A^TA)^T=-aE+A^TA=B．B是对称阵．
   B正定对任给的x≠0，有
   x^TBx=x^T(-aE+A^TA)x=-ax^Tx+x^TA^TAx=-ax^Tx+(Ax)^TAx＞0  (*)
   其中(Ax)^T(Ax)≥0，x^Tx＞0，
   故(*)式成立，a的取值范围应-a＞0，即a＜0．