一、选择题4. 设f'(x)为连续函数,则
等于
.
A B C D
B
本题考查的知识点为定积分的换元积分法、牛-莱公式.
解法1 利用定积分的换元积分法.令t=2x,则dt=2dx,
可知应选B.
解法2 利用凑微分法.
可知应选B.
9. 设区域D={(x,y)|x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0),则在极坐标系下,二重积分
可表示为
A B C D
C
[解析] 因为区域D:x
2+y
2≤1,x≥0,y≥0,令
有0≤r≤1,0≤θ≤
,故选C.
10. 函数y=x
2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于
.
A.
B.0 C.
D.1
A B C D
D
本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论.
由于y=x
2-x+1在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,可知y在[-1,3]上满足拉格朗日中值定理,又由于y'=2x-1,因此必定存在ξ∈(-1,3),使
可知应选D.
二、填空题1.
[解析]
2. 函数y=x
3-2x+1在区间[1,2]上的最小值为______.
0
[解析] 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题.
通常求解的思路为:
先求出连续函数f(x)在(a,b)内的所有驻点x
1,…,x
k.
比较f(x
1),f(x
2),…,f(x
k),f(a),f(b),其中最大(小)值即为f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相应的x即为f(x)在[a,b]上的最大(小)值点.
由y=x
3-2x+1,可得
y'=3x
2-2.
令y'=0得y的驻点为
,所给驻点皆不在区间(1,2)内,且当x∈(1,2)时有
y'=3x
2-2>0.
可知y=x
3-2x+1在[1,2]上为单调增加函数,最小值点为x=1,最小值为f(1)=0.
注也可以比较f(1),f(2)直接得出其中最小者,即为f(x)在[1,2]上的最小值.
本题中常见的错误是,得到驻点
和
之后,不讨论它们是否在区间(1,2)内,而是错误地比较
从中确定f(x)在[1,2]上的最小值.则会得到错误结论.
3. 设z=x
2y
2+3x,则
=______.
2xy(x+y)+3
[解析] 本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
由于z=x
2y
2+3x,可知
因此
4.
______.
2
[解析]
5.
6. 空间直角坐标系中,方程y
2+z
2=4表示的二次曲面是______.
以Ox轴为轴的圆柱面
[解析] 空间直角坐标系中,方程y2+z2=4表示的二次曲面是以Ox轴为轴的圆柱面.
7. 函数在
______处间断.
8. 设x
2+x为f(x)的原函数,则
______.
9. ∫x
2e
2x3dx=______.
.
10. 若
,则b=______.
e
,可知b(ln b-1)=0,可知ln b-1=0,即b=e.(注意:由上式可得b=0,但由于ln b此时无意义,故应舍掉.)