一、选择题1. 设u
n≤av
n(n=1,2,…)(a>0),且
收敛,则
- A.必定收敛
- B.必定发散
- C.收敛性与a有关
- D.上述三个结论都不正确
A B C D
D
[解析] 由正项级数的比较判定法知,若u
n≤v
n,则当
收敛时,
也收敛;若
发散时,则
也发散,但题设未交待u
n与v
n的正负性,由此可分析此题选D.
3. 设f(x)为连续函数,则(
)'等于
.
A.f(t) B.f(t)-f(a) C.f(x)D.f(x)-f(a)
A B C D
C
本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质.
这是一个基本性质:若f(x)为连续函数,则
必定可导,且
本题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质
与牛顿-莱布尼茨公式
混在了一起而引起的错误.
9. 设
,则函数f(x)在x=a处
.
- A.导数存在,且有f'(a)=-1
- B.导数一定不存在
- C.f(a)为极大值
- D.f(a)为极小值
A B C D
A
本题考查的知识点为导数的定义.
由于
,可知f'(a)=-1,因此选A.
由于f'(a)=-1≠0,因此f(a)不可能是f(x)的极值,可知C,D都不正确.
二、填空题1.
2. 微分方程y'-2xy=0的通解为y=______.
[解析] 本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.
y'-2xy=0,即
,两边积分得lny=x
2+C
1,即
.
3.
1
[解析] 本题考查的知识点为定积分的换元积分法.
4. 设函数z=x
2+ye
x,则
=______.
5. 级数
的收敛半径R=______.
1
[考点] 本题考查了级数的收敛半径的知识点.
[解析]
,故收敛半径R=1.
6.
7. 设z=ln(x
2+y),则全微分dz=______.
8. 将
改变积分次序后,则I=______.
[解析] 本题考查了交换积分次序的知识点.
从原积分可看出积分区域D={(x,y)|0≤x≤2,x≤y≤4-x},则I=
.
注:画出积分区域的草图是解决这类问题的关键.
9.
______。
10. 设f(x)=sin(lnx)+ln(sinx),则f'(x)=______.
三、解答题1. 已知曲线C的方程为y=3x
2,直线,的方程为y=6x.求由曲线C与直线,围成的平面图形的面积S.
2.
3. 设有一圆形薄片x
2+y
2≤a
2,在其上一点M(x,y)的面密度与点M到点(0,0)的距离成正比,求分布在此薄片上的物质的质量.
解:依题意,面密度函数为
所以
4. 求
5.