一、选择题4. 下列反常积分收敛的______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题考查了反常积分的敛散性的知识点.
[解析] 由
当p≤1时发散,p>1时收敛,可知应选D.
注:本题容易看出A选项发散.而B选项
中
相当于
,故此积分发散.对于C选项,由
,故此积分发散.
6. y=lnx,则y"=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] y=lnx,
.故选C.
二、填空题1. 设f(x)=ln(1+x
2),则f"(-1)=______.
2.
3. 函数
在[1,2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=______.
[解析] 由拉格朗日中值定理有:
.
4. ∫f(x)f'(x)dx=______.
[解析] 凑微分法,
.
5. 设y=lnx,则y'=______.
[解析]
6. 设f(x)=ln(1+x
2),则f"(-1)=______.
7.
=______.
8.
______.
[解析]
9.
=______.
[解析] 本题考查的知识点为定积分的换元法.
由于被积函数
分母为二次函数,分子为一次函数,本例有多种解法.
解法1 利用凑微分,注意到
,可得
解法2 令t=1+x
2,则dt=2xdx.
当x=1时,t=2;当x=2时,t=5.
有的考生填为
,这个错误的原因是引入变量t=1+x
2,则dt=2xdx.得到
这里的错误在于进行定积分变量替换,积分区间没做变化.
10. 微分方程y"+y'=0的通解为______.
y=C1+C2e-x,其中C1,C2为任意常数
[解析] 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解.
二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为:先写出特征方程,求出特征根,再写出方程的通解.
微分方程为 y"+y'=0.
特征方程为 r2+r=0.
特征根 r1=0. r2=-1.
因此所给微分方程的通解为
y=C1+C2e-x,
其牛C1,C2为任意常数.
三、解答题1. 求由曲线y=2-x
2,y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积.
2. 计算
其中D是由y=x,x=0,y=1围成的平面区域.
[解析] 本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序.
由于
不能用初等函数形式表示,因此不能先对y积分,只能选取先对x积分后对y积分的次序.
通常
都不能由初等函数形式表示,即不可积分,考生应该记住这两个常见的形式.
3. 计算
,其中D为x=0,y=x,y=1所围成的区域。
先对x积分,再对y积分得
[解析] 此题必须先对x积分,再对了积分,否则将求不出积分的结果。
4. 若y=y(x)由方程y=x
2+y
2确定,求dy.
解:对y=x
2+y
2两边微分
dy=2xdx+2ydy,
所以
5. 设x>0时f(x)可导,且满足
,求f(x).
因
可导,在该式两边乘x得
两边对x求导得f(x)+xf′(x)=1+f(x),
所以
则f(x)=lnx+C,
再由x=1时,f(1)=1,
得C=1,故f(x)=lnx+1.