一、选择题2. 微分方程y″-2y=e
x的特解形式应设为______
- A.y*=Aex
- B.y*=Axex
- C.y*=2ex
- D.y*=ex
A B C D
A
本题考查了二阶线性微分方程的特解形式的知识点.
由方程知,其特征方程为,r
2-2=0,有两个特征根
.又自由项f(x)=e
x,λ=1不是特征根,故特解y″可设为Ae
x.
3. 设y =x
4,则y'=
A.
B.
C. 4x
3D. x
4lnx
A B C D
C
[解析] y=x4,则y'=4x4-1=4x3,故选C.
7. 设f'(cos
2x)=sin
2x,且f(0)=0,则f(x)等于______.
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
令u=cos
2x,则sin
2x=1-cos
2x=1-u,因题设有f'(u)=1-u,从而
.由于f(0)=0=C,故
.应选D.
二、填空题1.
______.
本题考查了不定积分的知识点.
.
2. 设f(x)=
,则f'(x)=______.
3. 方程y′-e
x-y=0的通解为______.
ey=ex+C
本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.
y′-ex-y=0,可改写为eydy=exdx,两边积分得ey=ex+C.
4. 设
,则其在区间[0,2]上的最大值为______.
[解析] 由
,所以y在[0,2]上单调递减.于是
.
5. 设
,则
=______.
-2,先求出f(x,y)=x-
6. 设
,则y′=______.
本题考查了函数的一阶导数的知识点.
,则
.
所以
,
则
注:本题另解如下:
7.
8. 级数
的收敛半径为______.
[解析] 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径.
所给级数为缺项情形,由于
可知当
时,即x
2<3时级数绝对收敛,因此级数的收敛半径为
9. 设函数f(x)在x=2处可导,且f'(2)=1,则极限
______.
10. 微分方程xy'=1的通解为______.
ln|x|+C
[解析] 本小题主要考查可分离变量方程的解法.
y=ln|x|+C.