一、选择题2. 设函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图像如下图所示,则下列结论肯定正确的是______.
- A.x=-1是驻点,但不是极值点
- B.x=-1不是驻点
- C.x=-1为极小值点
- D.x=-1为极大值点
A B C D
C
[解析] 本题主要考查极值的充分条件及驻点的概念.由f'(x)的图像可知,在x=-1时,f'(-1)=0,所以x=-1为驻点,排除B.而当x<-1时,f'(x)<0;x>-1时,f'(x)>0.根据导数符号由负变正,可知x=-1为函数的极小值点,所以选C.
本题也可以由y'(x)的图像而得y'=x+1,则原函数为
,从而很容易得知选项C是正确的.
对于这种由函数导数的图像来分析和研究函数特性的方法,建议考生多做练习,熟练掌握.如果本题换一种提法则可以得到另外两个选择题.
(1)设函数y=f(x)的导函数y'=f(x)的图像如题图所示,则函数y=f(x)的单调递增区间为
A.(-∞,1) B.(-∞,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) (C)
(2)设函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)的图像如题图所示,则下列结论肯定正确的是
A.在(-∞,-1)内,曲线y=f(x)是凸的
B.在(-∞,+∞)内,曲线Y=f(x)是凹的
C.在(-∞,+∞)内,曲线y=f(x)是凸的
D.在(-∞,+∞)内,曲线y=f(x)是直线 (B)
由于y'=x+1,则有y"=1>0,从而可以判定曲线y=f(x)在(-∞,+∞)内是凹的,所以选B.
二、填空题1. 微分方程y"-4y'-5y=xe
-x的特解应设为______.
2. 若
,则a=______.
[解析] 被积函数中的xsin
4x是奇函数,而
是偶函数.则有
,
所以
.
3.
______。
[解析]
4.
5.
6. 设函数
它在区间(1,2)内单调减少,则在区间______内单调增加.
7. 设f(x)的n-1阶导数为
,则f
(n)(x)=______.
[解析]
9.
______.
2sin1
[解析] 注意x
3e
x2是奇函数,所以
10. 曲线y=e
-x在点(0,1)处的切线的斜率k为______.
-1
y'=(e
-x)'=-e
-x,根据导数的几何意义有,
三、解答题1. 设随机变量ζ的分布列为
求a值并求E(ζ).
1+0.3+0.2+a=1 得a=0.4.
E(ζ)=0×0.1+1×0.3+2×0.2+3×0.4=1.9.
从装有2个白球,3个黑球的袋中任取3个球,记取出白球的个数为X.2. 求X的概率分布;
X可能的取值为0,1,2.
因此X的概率分布为
3. 求X的数学期望E(X).
E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.
4. 将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图),然后将其沿虚线折起,做成一个无盖的正三棱柱盒子,当图中的x取何值时,该盒子的容积最大?
由于正三棱柱盒子的高为
,
正三棱柱盒子的底面积为
,
所以正三棱柱盒子的容积为
,
。
令V'(x)=0,得驻点
(舍去),
由于
,
所以
为极大值点,由于实际问题存在最大值,所以
亦为最大值点,即
时容积最大,最大容积为
。