一、选择题7. 当x→0时,x
2是x-ln(1+x)是______。
- A.较高阶的无穷小量
- B.等价无穷小量
- C.同阶但不等价的无穷小量
- D.较低阶的无穷小量
A B C D
C
[解析] 本题考查两个无穷小量阶的比较。
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限,从而确的选项.本题即为计算:
。
由于其比的极限为常数2,所以选项C正确。
请考生注意:由于分母为x-ln(1+x),所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)~x,否则将导致错误的结论。
与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为:确定一个无穷小量的“阶”.
例如:当x→0时,x-ln(1+x)是x的
A.
阶的无穷小量 B.等伸无穷小量 C.2阶的无穷小量 D.3阶的无穷小量
这类题的解法是:首先设x-ln(1+x)为x的k阶无穷小量,再由
存在且为一个有限值,从而确定k值。
因为
,
要使上式的极限存在,则必须有k-2=0,即k=2。
所以,当k→0时,x-ln(1+x)为x的2阶无穷小量,选C。
二、填空题1. 函数z=ln(x
2+y
2)-1的全微分dz=______。
2. 设函数y
(n-2)=a
x+x
a+a
a(a>0,a≠1),则y
(n)=______.
axln2a+a(a-1)xa-2
y(n-1)=axlna+axa-1,y(n)=axln2a+a(a-1)xa-2.
3.
=______。
4.
[考点] 本题考查了定积分的换元积分法的知识点.
5. 设离散型随机变量X的分布列为
则c=______.
6.
7. 设ln 2x为f(x)的一个原函数,则f(x)=______。
8.
______.
[解析]
9. 已知
是
的极值点,则a=______.
10.
三、解答题1. 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池,其容积是
,池底的材料30元/m
2,池壁的材料20元/m
2,问如何设计,才能使成本最低,最低成本是多少元?
设池底半径为r,池高为h(如图所示),则
,得
.
又设制造成本为S,则
S=30·πr
2+20·27πrh
令S'=0,得驻点r=1.
因为
所以r=1为唯一的极小值,即为最小值点.
所以,池底半径为1m,高为
时,可使成本最低,最低成本为90π元.
[解析] 本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值.所谓“成本最低”,即求制造成本函数在已知条件下的最小值.因此,本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式,再利用已知条件将其化为一元函数,并求其极值.
2.
利用等价无穷小量的定义求.
3. 设z=x(x,y)由方程x
2z=y
2+e
2x确定,求dz.
直接对等式两边求微分(构造辅助函数,用公式法求导请读者自行练习).
d(x
2z)=dy
2+de
2z,
2xzdx+x
2dz=2ydy+2e
2xdz.
所以dz=
4. 求抛物线y=2x
2在点M(1,2)处的切线方程和法线方程。
y'=4x,y'|
x=1=4,所以切线方程为y-2=4(x-1),法线方程为
。