三、解答题1. 求下列数列的极限
解 这4个极限均为“
”型,一般采用分母和分子同除以n的某次幂的方法求极限.
(1)分母和分子同除以n
3,得
(2)分母和分子同除以n,得
(3)分母和分子同除以n,得
(4)分母和分子同除以n
2,得
2. 计算
解 此数列极限为“∞-∞”型,将其有理化后求极限.
4. 计算
5. 计算
解 极限是“
”型,分母和分子同时分解因式,约去分母为零的因式,得
7. 计算
解 极限是“
”型,将分母和分子同除以x
3,得
一般情形有如下结论,设a
0≠0,b
0≠0,m,n是正整数,则
计算下列极限:8.
解
9.
解
另解1
另解2 利用等价无穷小代换,当x→0时,sinx~x,
,故
10.
解
若用等价无穷小量代换,则
当分母或分子是两个等价无穷小量相减时,不可简单地用各自的等价无穷小量代换,否则将导致错误的结果.从另一个角度,等价无穷小量代换适宜在乘积和商中进行,不宜在加减运算中简单代换.例如,因为tanx~x,sinx~x,(x→0)
上式出现错解的原因是当x→0时,尽管tanx~x,sinx~x,但tanx与sinx(x→0)趋于零的速度只能近似相等,但不完全相等.
12. 计算
解 极限是“∞-∞”型,将其有理化后求极限.
13.
解
14.
解
15.
解 令tanx=t,则当x→0时,t→0,
,故
16.
解
凑成重要极限需要一些技巧.如使用代换,令x-1=t,则当x→1时,t→0,故
17. 计算
解 极限是“∞
0”型.设
,由洛必达法则,有
故
容易计算
在两个重要极限的使用中,有些人易将
混淆,此处将
求出,以引起注意.
18. 设
,求常数k.
解
则k=ln2.
或
,故k=ln2.
用洛必达法则求k.
19. 设
,b是有限数,求a和b.
解 已知极限存在,而极限式的分母的极限是0,分子的极限必须是0,即
=2+a=0,得a=-2,且
所以a=-2,b=3
求下列函数在分段点处的极限.21.
解
因f(1-0)≠f(1+0),故
不存在.
22. 设
已知
存在,求a的值.
解
由f(0-0)=f(0+0),故a=1.
23. 当x→0时,将下列函数与x进行比较:
(1)tan
2x (2)1-cosx (3)ln(1+x) (4)
哪些是高阶、同阶、等价无穷小?
(1)因
,故当x→0时,tan
2x是比x高阶的无穷小,即tan
2x=o(x).
(2)因
,故当x→0时,1-cosx是比x高阶的无穷小,即1-cosx=o(x).
(3)因
,故当x→0时,ln(1+x)与x是等价无穷小,即ln(1+x)~x.
(4)因
,故当x→0时,
与x是同阶无穷小,即
24. 已知当x→0时,sin4x
2与
是等价无穷小,求a的值.
解
,故a=8.
25. 求极限
,其中m,n是常数.
26. 设
,求f(ln2).
f(ln2)=e
πln2=2
π.
27. 已知
,求a和b的值.
若
则1-a=0,-(a+b)=0,故a=1,b=-1.
28. 设
,求f(0-0),f(0+0).
29. 当x→1时,
都是无穷小,对f(x)和g(x)进行无穷小量阶的比较.
,故当x→1时,f(x)~g(x).
即f(x)与g(x)是等价无穷小.
30. 讨论函数
在点x=1处的连续性.
解
,f(1)=8,即
,故f(x)在点x=1处连续.
31. 讨论函数
在点x=0处的连续性.
解
因f(0-0)≠f(0+0)≠f(0),故f(x)在点x=0处不连续.
32. 设函数
确定常数a的值,使f(x)在x=1处连续.
解 因f(1)=2,
.
当1+a=2,即a=1时,f(x)在x=1处连续.
33. 设
试确定常数a的值,使f(x)在(-∞,+∞)内连续.
解 当x<1或x>1时,无论a取何值,f(x)均连续若在x=1处连续,需f(1-0)=f(1+0)=f(1),
,f(1)=e.
令e=a+1,即当a=e-1时,f(x)在(-∞,+∞)内连续.
34. 求函数
的间断点并确定其类型.
解 所给函数在x=nπ(n=0,±1,±2,…)无定义,故x=0,nπ(n=±1,±2,…)是函数的间断点.
当x=0时,
,故x=0时是第一类间断点,且是可去间断点.
若补充定义f(0)=1,则f(x)在x=0处连续.
当x=nπ(n=±1,±2,…)时,
,故x=nπ是第二类间断点,且是无穷间断点.
35. 设
x=0是第几类间断点?
解 f(x)在x=0处有定义且f0)=0.
因f(0-0)≠f(0+0),故x=0是f(x)的第一类间断点,且是跳跃间断点.