二、填空题1. 设函数
在x=0处连续,则常数k=______.
2
[解析]
,故k=2.
2. 函数
的间断点是______,x=______是第一类断点,x=______是第二类间断点.
x=0,0,kπ+
[解析]
的间断点是x=0,
.
当x=0时,因为
,所以x=0是第一类间断点.
当
时,因为
,所以x=kπ+
是第二类间断点.
3. 函数f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是______.
4. 设
在x=1处连续,则常数a=______.
5. 设
当常数k=______时,函数f(x)在其定义域内连续.
6. 函数
的间断点是______.
三、解答题1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
设e
x-1=t,则e
x=1+y,x=ln(1+y),当x→0时,y→0.
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20.
21. 计算
23. 设f(x)在点x=0处连续,且x≠0时,
,求f(0).
令t=e
x-1,则x=ln(1+t),当x→0时,t→0,故
由f(x)连续得
24. 设
在(-∞,+∞)内连续,求a和b.
因f(x)在(-∞,+∞)连续,
因f(x)在x=-1处连续,故f(-1+0)=f(-1)=-1,即1-a+b=-1.
又
因f(x)在x=1处连续,故f(1-0)=f(1)=1,即1+a+b=1.
解方程组
求下列函数的间断点,并指出间断点的类型.25.
在x=0和x=-1处,f(x)无定义,故x=0,x=-1是f(x)的间断点.
当x≠0时,由于
连续,则
也连续;当x≠-1时,由于
,则
也连续.
所以,函数f(x)只有x=0和x=-1两个间断点.
由于
,因此,x=0是f(x)的第一类间断点,且是可去间断点;
x=-1是f(x)的第二类间断点,且是无穷间断点.
26.
在|x|≤1上无间断点;|x-1|在|x|>1上无间断点.对可能的间断点x=1,x=-1,有
又
,以及f(1-0)=f(1+0)=f(1),故x=1不是间断点.
因f(-1-0)≠f(-1+0),故x=-1是第一类间断点,且是跳跃间断点.
27.
f(x)在x≠1处均连续.对x=1,
因f(1-0)≠f(1+0),故x=1是第一类间断点,且是跳跃间断点.
28.
f(x)在x≠1处均连续,对x=1,
因f(1)无定义且f(1-0)=f(1+0),故x=1是第一类间断点,且是可去间断点.
29. 讨论函数
在点x=0的连续性.
因f(0-0)≠f(0+0),故函数f(x)在x=0不连续.
30.
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32.
33.
34. 证明方程x=asinx+b(a>b,b>0)至少有一个不超过a+b的正根.
令f(x)=asinx+b-x,显然f(x)在[0,a+b]上连续且f(0)=b>0,f(a+b)=a[sin(a+b)-1].若sin(a+b)<1,则f(a+b)<0,f(0)>0,由取零值定理知f(x)=0在(0,a+b)内至少有一根;若sin(a+b)=1,此时f(a+b)=0,a+b就是f(x)=0的根.
故不论何种情况,f(x)=0在[0,a+b]总有一根.即x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根.