一、选择题1. 设函数y=f(x)在点x
0处可导,且下列各极限都存在,其中一定成立的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 因为
,不一定等于f'(a),或f'(a)不存在,故A不成立.
对B,
故B不正确.
由定义,知C不成立,故应选D.事实上
2. 函数y=f(x)在点x
0处的左导数f'
-(x
0)和右导数f'
+(x
0)存在且相等是f(x)在点x
0可导的______
- A.充分条件
- B.必要条件
- C.充分必要条件
- D.非充分非必要条件
A B C D
C
[解析] 由函数在点x0处导数存在的充分必要条件是f'-(x0)=f'+(x0),故选C.
3. 设y=f(x)在点x
0处不连续,则______
A.f'(x
0)存在
B.
C.f'(x
0)不存在
D.
A B C D
C
[解析] 由于可导函数必连续,不连续函数则不可导,故选C.
4. 设y=f(x)在x=x
0处可导,且f'(x
0)=-2,则
等于______
A.
B.2
C.
D.-2
A B C D
B
[解析]
,故选B.
5. 过椭圆x
2+2y
2=27上横、纵坐标相等的点的切线斜率为______
A.-1
B.
C.
D.1
A B C D
B
[解析] 对椭圆x
2+2y
2=27两端使用隐函数求导法,得2x+4yy'=0,故
.因为x=y,得
,选B.
二、填空题1. 设f(x)在点x=x
0处可导,则
f'(x0)
[解析] 将其凑成导数定义中的极限形式:
2. 设f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,则
f'(0)
[解析] 因f(0)=0,由导数定义可知,
3. 设y=π
x+log
πx+sin(πx)+arccos(ex)+e
π,则y'=______.
4. 设
[解析] 用复合函数求导法,
5. 设f(x)=ln(1+x
2),则f"(-1)=______.
0
[解析]
6. 设f(1)=1,则
[解析]
7. 设
,则
1
[解析] 解1 y是幂指函数,用对数求导法,两端取对数:
,两边对x求导,有
解2 将y化为
,用复合函数求导法,得
8. 设xy
2-e
xy+2=0,则
[解析] 利用隐函数求导法,两端对x求导:
解出
9. 设
,则dy=______d(cos2x).
[解析] 利用一阶微分形式不变性,则
三、解答题1. 按定义求
在点x=1和x处的导数.
(1)
(2)
根据导数定义求函数的导数,如果是求在一点处的导数,用
求较方便;如果是求在任意一点处的导数,用
较方便.
2. 讨论函数f(x)=|sinx|在点x=0处的连续性与可导性.
解 可只考虑x在
内的情形,故
由于
即f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0,故f(x)在点x=0处连续.又
即f'
-(0)≠f'
+(0),故f(x)在点x=0处不可导.
3. 讨论函数
在点x=0处的连续性与可导性.
解 因为
,所以f(x)在点x=0处连续.但是,
由于f'
-(0)≠f'
+(0),故f(x)在点x=0处不可导.
求下列函数的导数.4.
解
5. f(x)=e
xsinx
解 f'(x)=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx).
6. f(x)=cos(lnx)
解
7.
解
求下列函数的导数.9.
10. y=3
xe
x
解 y=[(3e)x]'=(3e)xln(3e)=(3e)x(1+ln3)
11.
解
12.
解
13.
解
14. 求
的导数.
解
15. 求
的导数.
解
此题如注意到
即得y'=0.
设f(x)可导,求19.
解
20. [lnf(x
3)]'
解
21. 求由方程xy=e
x+y确定的函数y(x)的导数.
解1 两端对x求导,注意y是x的函数,则
y+xy'
x=e
x+y(1+y'
x)
化简得
解2 利用微分形式不变性,得
ydx+xdy=e
x+y(dx+dy)
化简即得
解3 设F(x,y)=xy-e
x+y=0,得
,其中F'
x(x,y)和F'
y(x,y)分别表示F(x,y)对x和y的偏导数.
把y看作常数,对x求导,得F'
x(x,y)=y-e
x+y,
把x看作常数,对y求导,得F'
y(x,y)=x-e
x+y,
故
解4 利用对数求导法,两端取对数,得
ln|x|+ln|y|=x+y (因x与y同号,此处取绝对值),
两端对x求导,得
整理得
22. 求y=ln|x|在x>0和x<0时的导数.
解 对x>0,y=ln|x|=lnx,
;
对x<0,y=ln|x|=ln(-x),
,
故无论x>0,或x<0,均有
类似地,若y=ln|f(x)|,则
.
23. 设
,求y'.
解 显然,函数的定义域为D=(-∞,1]∪[2,3)∪(4,+∞).若x>4,对y取对数,得
两端对x求导,得
故
对x<1或2<x<3,上式仍成立.如2<x<3,对y取对数得
故
对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数,用对数求导法常常比较方便.对于幂指函数y=u(x)
v(x)(u(x)>0),可以利用指数函数与对数函数的关系,将其化为
y=e
v(x)lnu(x) 再利用复合函数求导法则求导,得
24. 求y=x
sinx的导数.
解 先对y取对数,则
lny=sinxlnx
两端对x求导,得
故
.
也可利用幂指函数y=e
sinxlnx求导:
25. 求
的导数.
解 将等式变形,
,则
若直接求导数,步骤繁杂且容易出现错误:
26. 在曲线y=4-x
2(x≥0)上求一点P,使过P点的切线在两个坐标轴上的截距相等.
解1 因为过P点的切线在两个坐标轴上的截距相等,故设在P点的切线方程为
其中a为截距,即y=-x+a,于是,过P点的切线斜率是-1.又曲线y=4-x
2的斜率是y'=-2x,故-2x=-1,解得
,将其代入y=4-x
2,得
.因此,P点坐标是
.
解2 设切点P的坐标是(x
0,y
0),曲线y=4-x
2在P点的斜率为y'|
x=x0=-2x|
x=x0=-2x
0,故过P点的切线方程是
y-y
0=-2x
0(x-x
0)
即
令y=0,得切线在x轴上的截距
;令x=0,得切线在y轴上的截距
.由于截距相等,故
解出
求下列函数的二阶导数.27. y=xe
x2
解 y'=(1+2x2)ex2
y"=4xex2+(1+2x2)·2xex2=2x(3+2x2)ex2
28.
解
29.
解
30. y=x
2(lnx)
2
解 y'=2x(lnx)2+2xlnx
y"=2(lnx)2+4lnx+2lnx+2
=2[(lnx)2+3lnx+1]
31. 求下列函数的微分.
解 求微分有两种方法:运用微分定义dy=f'(x)dx,求出f'(x)后代入即得;或利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分.
(1)因为y'=lnx+1+2xcosx
2,故
dy=(1+lnx+2xcosx
2)dx
或
dy=d(xlnx+sinx
2)=d(xlnx)+d(sinx
2)
=lnxdx+xd(lnx)+cosx
2d(x
2)
=lnxdx+dx+2xcosx
2dx
=(1+lnx+2xcosx
2)dx.
(2)
故
(3)
(4)
32. 设函数z=z(x)由方程x
2+z
2=xz所确定,求
.
由2x+2zz
x'=z+xz
x',得