一、选择题1. 在[-1,1]上满足罗尔中值定理的所有条件的函数f(x)是______
A.
B.|x|
C.x
2-1
D.x+1
A B C D
C
[解析] 罗尔中值定理有三个条件:(1)函数y=f(x)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).
对A,
在x=0不连续.
对B,
f'
-(0)=-1,f'
+(0)=1,即f'(0)不存在,即f'(0)不可导.
对C,f(x)=x
2-1,在[-1,1]连续;f'(x)=2x在(-1,1)内可导;f(-1)=f(1)=0,故f(x)满足罗尔中值定理的三个条件,应选C.
对D,f(x)=x+1,f(-1)=0,f(1)=2,f(-1)≠f(1),不满足第三个条件.
2. 在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的函数f(x)是______
A.ln(x-1)
B.lnx
C.
D.lnlnx
A B C D
B
[解析] 当x=1时,函数ln(x-1)无定义,ln(x-1)在[1,e]不连续,故不选A.
对B,f(x)=lnx在[1,e]连续,在(1,e)内可导,故y=lnx在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的条件,应选B.
对C,
在x=1处无定义,故在[1,e]不连续.
对D,lnlnx在x=1处无定义,故在[1,e]上不连续.
3. 设
在[1,2]满足拉格朗日中值定理的条件,则定理中的ξ等于______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 因
,又a=1,b=2;f(a)=1,
,故
,于是
,故
,应选C.
5. 设
,则x=1是f(x)在[-2,2]上的______
- A.极小值点,但不是最小值点
- B.极小值点,也是最小值点
- C.极大值点,但不是最大值点
- D.极大值点,也是最大值点
A B C D
B
[解析] f(x)=x
2-1.令f'(x)=0,得驻点x
1=-1,x
2=1.f"(x)=2x,f"(1)=2>0,故x=1是极小值点.但
,于是,x=1也是最小值点.应选B.
8. 若点(1,3)是曲线y=ax
3+bx
3的拐点,则______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] y'=3ax
2+2bx,y"=6ax+2b,因(1,3)是曲线的拐点,则y"|
x=1=6a+2b=0;又点(1,3)在曲线上,故3=a+b.
解方程
,选A.
二、填空题1. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=______.
f'(ξ)(b-a)
[解析] 此题满足拉格朗日中值定理的条件,应填f'(ξ)(b-a).
2. 函数y=ln(x+1)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=______.
[解析] 设f(x)=ln(x+1),则f(0)=0,f(1)=ln2,
由
3.
[解析] 解1 原式=
解2 该式为“
”型未定式,且满足洛必达法则:
4.
0
[解析] 该式为“
”型未定式,且满足洛必达法则:
5. 设函数
,则它在其定义域(-∞,∞)内严格单调______.
增加
[解析] 根据导数的正负判别函数是严格单调增加或是严格单调减少.由于
故函数y在其定义域内严格单调增加.
6. 函数
在闭区间[0,4]上最大值点x=______.
[解析] f'(x)=x
2-6x+9=(x-3)
2≥0,故f(x)在[0,4]上单调增加,当x=4时,f(x)在[0,4]上取得最大值,故最大值点
.
7. 设函数y=2x
2+ax+3在点x=1处取得极小值,则a=______.
-4
[解析] y'=4x+a,y"=4>0,当x=1时,y取极小值,此时由4x+a=0,a=-4x=-4.
8. 设函数y=xe
-x,则它在点x=______有极______值______,曲线的拐点是______.
1,大,
,
[解析] y=xe
-x的定义域是(-∞,+∞).
由y'=(1-x)e
-x,令y'=0,得驻点x=1.
y"=(x-2)e
-x,
,故当x=1时有极大值
令y"=0,得x=2,且当x<2时,y"<0,曲线向下凹;当x>2时,y">0,曲线向上凹.故
是曲线的拐点.
三、解答题求下列方程所确定的隐函数的导数.1. cos(xy)=x
由-sin(xy)(y+xy')=1,得
2. y-sin-cos(x-y)=0
由y'-cosx+sin(x-y)(1-y')=0,得
3.
由
4. e
y=xy
由e'y'=y+xy',得
5. sin(x
2+y)=xy
由cos(x
2+y)(2x+y')=y+xy',得
6. y
3=x+arccos(xy)
由
7. 证明,当x>0时,
证 设
,f(0)=0,由
在(0,+∞),f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)内严格单调增加,从而当x>0时,
f(x)>f(0+0),又函数f(x)在[0,+∞)连续,故f(0+0)=f(0).
又f(0)=0,故当x>0时,f(x)>0,即
8. 设函数z=z(x)由方程xz=e
z所确定,求
.
由z+xz
x'=e
zz
x',得
9. 设函数f(x)=e
x,g(x)=sinx,且y=f[g'(x)],求
.
因g'(x)=cosx,故y=f(cosx)=e
cosx,
用对数求导法求下列函数的导数.10.
11. y=(sinx)
cosx
y'=-(sinx)1+cosxln(sinx)+cos2x(sinx)-1+cosx
=(sinx)cosx[cos2xcscx-sinxln(sinx)].
13.
14.
15. 设函数f(x)=xe
x,求f"(v).
f'(x)=(x+1)ex,f"(x)=(x+2)ex,f"(0)=2.
求下列函数的一阶微分.18.
19. x
3+y
3-3axy=0(a>0,是常数)
20. 计算
解1 该式为“
”型,由洛必达法则,有
解2 原式=
21. 计算
解
22. 计算
解 该式为“∞-∞”型,先通分后分为两项乘积:
对前一因式用初等办法求极限
对后一因式用洛必达法则求极限
故
23. 计算
解 未定式为“
”型,使用洛必达法则得
24. 计算
解 未定式为“∞·0”型,将其化为“
”型,再应用洛必达法则求极限.
25. 计算
解
26. 计算
解 此极限为“
”型,但分子和分母的导数之比的极限不是A(或∞),即
极限不存在,此时,洛必达法则失效.事实上,
求下列函数的单调增减区间.27. f(x)=2x
3-6x
2-18x+l
解 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3).
令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)内单调增加;
当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,3)内单调减少;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)内单调增加.
28. f(x)=2x
2-lnx
解 f(x)的定义域为(0,+∞).
令f'(x)=0,得驻点
,舍去.
当
时,f'(x)<0,故f(x)在
内单调减少;
当
时,f'(x)>0,故f(x)在
内单调增加.
29. 判断函数f(x)=x+arctanx的增减性.
解 f(x)=x+arctanx的定义域是(-∞,+∞).
故f(x)=x+arctanx在(-∞,+∞)内单调增加.
30. 证明当x≥0时,x≥arctanx.
证 设f(x)=x-arctanx(x≥0),f(0)=0-arctan0=0
由
,可知f(x)=x-arctanx在[0,+∞)内单调增加,即当x≥0时,f(x)≥f(0),即x-arctanx≥0,
故x≥0时,x≥arctanx.