二、填空题1. 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b),使f'(ξ)=______.
2. 设b≠0,则
3.
4. 设a<x<b时,f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)的关系为f(x)=______.
5. 设函数f(x)在x
0处可导,则f(x)在x
0取得极值的______条件是f'(x
0)=______.
6. 设函数
,则它在区间______内单调减少,在区间______内单调增加.
(1,2),(0,1)
[解析]
的定义域是[0,2].
,令f'(x)=0,得驻点x=0.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)单调增加;当x∈(1,2)时,f'(x)<0,故f(x)在(1,2)单调减少.
7. 函数
的定义域是______,极大值点是x=______.
(0,+∞),e
[解析]
的定义域是(0,+∞).
,令f'(x)=0,得驻点x=e.
,令f"(e)=-e
-3<0,故x=e是极大值点.
8. 函数
的定义域是______,极小值点是______,极小值是______.
(0,1)∪(1,+∞),x=e,f(e)=e
[解析]
的定义域是(0,1)∪(1,+∞).
,令f'(x)=0,得驻点x=e.
,故x=e是极小值点,极小值是f(e)=e.
9. 曲线
的拐点是______.
(4,2)
[解析]
的定义域是(-∞,+∞).
.在x=4,f'(x),f"(x)不存在.
当x∈(-∞,4)时,f"(x)>0;当x∈(4,+∞)时,f"(x)<0,故(4,2)是f(x)的唯一拐点.
10. 设在(a,b)内的曲线弧是上凹的(或凹的,下凸的),则曲线弧必位于其每一点处的切线的______方.
三、解答题1. 求f(x)=x
3-6x
2+9x-4的极值.
(1)f(x)的定义域是(-∞,+∞).
(2)f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0,得驻点x1=1,x2=3.
(3)f"(x)=6x-12,f"(1)=-6<0,则f(x)在x=1处取得极大值f(1)=0,f"(3)=6>0,
则f"(x)在x=3处取得极小值f(3)=-4.
2. 判断
有无极值点.
f(x)的定义域是(-∞,+∞).
(2)
,当x=4时,f'(4)不存在.
(3)用第一种充分条件判别x=4是否为极值点.因为当x<4时,f'(x)>0;当x>4时,f'(x)>0,故x=4不是f(x)的极值点,即f(x)无极值点.
3. 求f(x)=2x
3-12x
2+4在[-1,7]的最大值和最小值.
解 由f'(x)=6x2-24x=6x(x-4)=0,得驻点x1=0,x2=4.因f(-1)=-10,f(0)=4,f(4)=-60,f(7)=102,故f(7)=102是最大值,f(4)=-60是最小值.
4. 求
在[1,10]的最值.
解 由
,得驻点x=e,又f(1)=1,
,故
是最大值,f(1)=1是最小值.
5. 设有一根长为l的铁丝,将其分为两段,分别构成圆形和正方形,若记圆形面积为S
1,正方形面积为S
2,证明当S
1+S
2为最小时,
.
解 设圆形周长为x,则正方形周长为l-x,圆形面积和正方形面积之和为
令
,则
是S的唯一驻点,是S的极小值点,也是S的最小值点,此时,
判定下列曲线的凹凸性.6. y=xe
x2
解 此函数的定义域是(-∞,+∞).
y'=(1+2x2)ex2,
令y"=4xex2+(1+2x2)·2xex2=2x(3+2x2)ex2=0,得x=0.
当x∈(-∞,0)时,y"<0,故曲线y=xex2是下凹的;当x∈(0,+∞)时,y">0,曲线y=xex2是上凹的.
7.
解
令y"=0,得x=0.
当x∈(-∞,0)时,y">0,故曲线
是上凹的.
当x∈(0,+∞)时,y"<0,故曲线
是下凹的.
求下列曲线的拐点及凹凸区间.8.
解
令y"=0,解得
.此三点将函数的定义域分为四个区间(-∞,
.
当
时,y"<0,故曲线是下凹的;
当
时,y">0,故曲线是上凹的;
当
时,y"<0,故曲线是下凹的;
当
时,y">0,故曲线是上凹的.
曲线的拐点是
9.
解
当x=1时,f"(x)不存在.当x∈(-∞,1)时,y"<0,故曲线是下凹的;当x∈(1,+∞)时,y">0,故曲线是上凹的.曲线的拐点是(1,0).
10. 求
的水平与铅直渐近线.
解 按定义分别计算即可(此时函数的定义域为x>0)
因为
所以曲线
有水平渐近线y=1,有铅直渐近线x=0.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
判断下列函数的单调性.17. y=x-lnx
函数y=x-lnx的定义域是[0,+∞).
,令y'=0,得驻点x=1.当x∈(0,1)时,y'<0,故函数单调减少;
当x∈(1,+∞)时,y'>0,故函数单调增加.
18. y=x+e
x
y'=1+ex>0,故函数在(-∞,+∞)单调增加.
19.
函数的定义域是(0,+∞).
,令y'=0,得驻点x=1.当x∈(0,1)时,y'>0,故函数单调增加;
当x∈(1+∞)时,y'<0,函数单调减少.
20.
函数的定义域是[0,4].
,令y'=0,得驻点x=0,x=3,由于x=0是边界点,只需考虑x=3.当x∈(0,3)时,y'>0,函数在(0,3)单调增加;当x∈(3,4)时,y'<0,函数在(3,4)单调减少.
证明下列不等式.21. 当x>1时,
设
,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)单调增加.又f(1)=2-3+1=0,故当x>1时,f(x)>0,即
,(x>1).
22. 当x≥0时,2xarctanx≥ln(1+x
2).
设f(x)=2xarctanx-ln(1+x
2),因
,(x>0),故f(x)在x>0时是单调增加的.又f(0)=2·0·arctan0-ln(1+0
2)=0,故当x≥0时,f(x)≥0,即2xarctanx≥ln(1+x
2).
23. 当x≥0时,
设
知f(x)在x>0时是单调增加的.又f(0)=0,故f(x)≥0(x≥0).
即
求下列函数的极值.24. y=(x+1)e
-x
y'=e-x-(x+1)e-x=-xe-x,令y'=0,得驻点x=0.
y"=-e-x+xe-x=(x-1)e-x,y"|x=0=-1<0,故y在x=0时取得极大值1.
25. y=x
3-3x+2
y'=3x2-3,令y'=0,得驻点x1=-1,x2=1.
y"=6x,y"|x=-1=-6<0,y"|x=1=6>0,故y在x=-1取得极大值4,在x=1取得极小值0.
26. 为测得量A,做n次实验,得到n个数a
1,a
2,…,a
n.现在要确定一个量
,使它到测得的数值之差的平方和为最小.
设
,令s'=0,得驻点
又s"=2n>0,故当
时,s取得极小值(此时
称为n个数据的均值).
27. 窗户的形状下部是矩形,上部是半圆形,周长是15米,问矩形的宽和高是多少米,窗户的面积A最大.
设矩形的底宽为x,高为y,则窗户的周长是
,窗户的面积
,令A'=0,得驻点
,故当
米,y=
米时,窗户的面积最大.
求下列曲线的凹凸区间和拐点.28. y=ln(1+x
2)
,令y"=0,得x=±1.
当|x|>1时,y"<0,曲线在(-∞,-1)∪(1,+∞)内是下凹的(凸的或上凸的);
当-1<x<1时,y">0,曲线在(-1,1)内是上凹的(凹的或下凸的).拐点是(-1,ln2)和(1,ln2).
29. y=xe
-x
y'=(1-x)e
-x,y"=(x-2)e
-x,令y"=0,得x=2.
当-∞<x<2时,y"<0,曲线在(-∞,2)内是下凹的;
当2<x<+∞时,y">0,曲线在(2,+∞)内是上凹的.
拐点是
.
30.
定义域是x≠0.
,令y"=0,得x=-1.
当x<-1时,y">0,曲线在(-∞,-1)内是上凹的;
当x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,y"<0,曲线在(-1,0)∪(0,+∞)内是下凹的.
拐点是(-1,0).
31.
当
时,y">0,曲线在
内是上凹的;
当
时,y"<0,曲线在
内是下凹的;
当
时,y">0,曲线在
内是上凹的.
拐点是
32. 求函数y=x
3-3x
2-1的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
函数的定义域是(-∞,+∞).y'=3x
2-6x=3x(x-2),y"=6x-6=6(x-1).
令y'=0.得x
1=0,x
2=2.今y"=0.得x=1.列表如下.
x
|
(-∞,0)
|
0
|
(0,1)
|
1
|
(1,2)
|
2
|
(2,+∞)
|
y' y"
|
+ -
|
0 -
|
- -
|
- 0
|
- +
|
0 +
|
+ +
|
函数的单调递增区间是(-∞,0)∪(2,+∞);单调递减区间是(0,2);极大值是f(0)=-1;极小值是f(2)=-5.
曲线的下凹区间是(-∞,1);上凹区间(1,+∞);拐点是(1,-3).