解答题1. 验证下列各组函数是否为同一函数的原函数.
解 只需验证每一对函数的导函数是否相等.
(1)
故
是同一函数
的原函数.
(2)
故
不是同一函数的原函数.
(3)
故lnx似和lnc(x)是同一函数
的原函数.
(4)
故
的原函数.
2. 设f'(x)是连续函数,求∫f'(x)dx.
解 由不定积分的定义知∫f'(x)dx=f(x)+c,(c为任意常数).
3. 设∫xf(x)dx=arcsinx+c,求
解
4. 求
解 利用三角恒等式1=sin
2x+cos
2x,得
原式
5. 求
解 采用加一项减一项的处理,得
原式
6. 求
解 原式=
7. 求
解 3
xe
x=(3e)
x,利用基本积分公式
,得
原式=
8. 求
解 利用三角恒等式cos
2x=cos
2x-sin
2x,得
原式
9. 求
解 原式
10. 求过点(0,0)的积分曲线y=∫sinxdx的方程.
解 y=∫sinxdx=-cosx+c,积分曲线过点(0,0),代入得c=1,故积分曲线方程为y=-cosx+1.
11. 求
解 原式
12. 求
解 原式
13. 求
解 原式
14. 求
解 原式=
15. 求
解 原式=
17. 求∫sin3xsin5xdx.
解 原式
18. 求∫sin
3xdx.
解1 原式=
解2 原式=
19. 求
解 原式
20. 求
解 原式=
21. 求
解 原式=
22. 求
解 原式=
23. 设f(x)为连续函数,求∫f
2(x)df(x).
解 原式=
24. 求
解 用三角代换
去掉被积函数的根号,则dx=acostdt,故
原式
辅助图见图,
故
25. 求
解 设
,则dx=asec
2tdt.
原式=
辅助图见图.
故
其中c=c
1-lna,又因为
,所以去掉绝对值号.
26. 求∫xe
2xdx.
解 设u=x,
,由分部积分公式,
原式
27. 求∫xsin2xdx.
解 设u=x,
,则
原式
28. 求∫lnxdx.
解 设u=lnx,v=x,dv=dx,则
原式=
29. 求∫xln(1+x
2)dx.
解 设u=ln(1+x
2),
,则
原式
30. 求∫arcsinxdx.
解 设u=arcsinx,v=x,dv=dx,则
原式
31. 求∫xarctanxdx.
解 设u=arctanx,
,则
原式
32. 求∫e
xsinxdx.
解1 设u=sinx,v=e
x,dv=e
xdx=d(e
x),则
原式=∫sinxd(e
x)=e
xsinx-∫e
xcosxdx.
对∫e
xcosxdx,再设u=cosx,v=e
x,dv=e
xdx=d(e
x),则
∫e
xcosxdx=e
xcosx+∫e
xsinxdx
代入上式得
∫e
xsinxdx=e
x(sinx-cosx)-∫e
xsinxdx
解方程,得
注意不要丢掉常数c.
解2 设u=e
x,dv=sinxdx=-d(cosx),则
故
上述两种解法每次选的u(x)均为同类型函数,如果不是同类型函数,则有
∫e
xsinxdx=∫sinxd(e
x)(第一次选u=sinx)
=e
xsinx-∫e
xd(sinx)(第二次选u=e
x)
=e
xsinx-[e
xsinx-∫sinxd(e
x)]
=e
xsinx-e
xsinx+∫e
xsinxdx,
即得到
∫e
xsinxdx=∫e
xsinxdx
故无法计算此不定积分.
33. 求
解 设
,则x=t
2,dx=2tdt.
原式
34. 求∫x
3e
xdx.
解 由∫x3exdx=∫x3d(ex)=x3ex-3∫x2exdx,
∫x2exdx=∫x2d(ex)=x2ex-2∫xexdx,
∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+c,
故
∫x3exdx=x3ex-3[x2ex-2(xex-ex)]+c
=ex(x3-3x2+6x-6)+c.
由该例可看出,计算不定积分有时需用几次分部积分才能积出.
35. 设f(x)具有二阶连续导数,求∫xf"(x)dx.
解 设u=x,dv=f"(x)dx=d[f'(x)],则
∫xf"(x)dx=∫xd[f'(x)]=xf'(x)-∫f'(x)dx
=xf'(x)-∫d[f(x)]=xf'(x)-f(x)+c.
36. 求
解 对被积函数的分母配方后用换元积分法求积.
原式=
37. 求
解 因被积函数是有理假分式,将其化为多项式和有理真分式之和的形式
用加一项减一项的方法:
或用多项式除法(多项式除以多项式):
原式=