一、选择题2. 设
,则I的值______
A.
B.
C.
D.I≥1
A B C D
A
[解析] 设
,x∈[0,1],当x=0时,f'(x)=0,故f(x)在[0,1]的最小值为0,最大值为
由定积分性质
,知
,选A.
6. 设
且f(0)=1,则f(x)等于______
A.
B.
C.
D.e
2x A B C D
D
[解析] 由
,故f'(x)=2f(x).
对A:
;对B:
;
对C:
;对D:f'(x)=(e
2x)'=2e
2x=2f(x).
故A和B错误.将f(0)=1代入C,得
;代入D,得f(0)=1,故C错误,
应选D.
该题也可用微分方程求解.对方程两端求导得
.两端积分
,故lnf(x)=2x+c,由f(0)=1,得c=0.因此lnf(x)=2x导出f(x)=e
2x,故选D.
10. 设函数f(x)在[0,1)上连续,令t=2x,则∫
10f(2x)dx等于______
A.∫
20f(t)dt
B.
C.
D.
A B C D
D
[解析] 设t=2x,则
,当x=0时,t=0;当x=1时,t=2,故
,选D.
11. 下列广义积分收敛的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因
,当b→+∞时,sinb在[-1,1]上振荡,故极限不存在,故
发散.
因
收敛,选B.
因
,故C和D均不收敛.
三、解答题1. 求由抛物线y=4-x
2与直线x=4,x=0,y=0在区间[0,4]上所围图形的面积.
解 图形见下图,y=4-x
2与x轴交点为x=2,故
如改为用y作为积分变量,则y=4-x
2与y轴的交点为(0,4),与x=4的交点为(4,-12),故
2. 求抛物线y
2=2x与其在点
处的法线所围成图形的面积.
解 图形见下图.y
2=2x在点
处的切线斜率k
1为
故y
2=2x在点
的法线斜率
,法线方程为
,
即
,所求问题转化为求抛物线y
2=2x与直线
所围图形的面积.
解联立方程
交点为
和
图形面积为
如用x作为积分变量,计算较复杂.
3. 直线x=x
0平分由曲线y=e
x与直线x=0,x=4及y=0所围图形的面积,求x
0.
解 图形见下图.由题意可知
即
故
此题也可由
,积分得e
x0-1=e
4-e
x0,由此解出
.
4. 求椭圆
的面积.
解 利用对称性,得
当a=b时,得到圆的面积是a
2π.
5. 求椭圆
绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积.
解 由
,故旋转体体积
当a=b时,得到球的体积是
.
如椭圆绕y轴旋转一周,所生成的旋转体体积为
,中间步骤留给读者完成.
6. 求由抛物线y=2-x
2与直线y=x(x≥0),x=0围成的平面图形绕x或y轴旋转一周所生成的旋转体体积.
解 图形见下图.
解联立方程
则绕x轴旋转的旋转体体积为
绕y轴旋转的旋转体体积为
计算下列定积分7.
9.
10.