银符考试题库B12
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专升本高等数学(二)分类模拟40
解答题
计算下列定积分
1. 设分段函数
2.
当-1≤x≤0时,|x
2
-3x|=x
2
-3x;当0≤x≤1时,|x
2
-3x|=-(x
2
-3x)=3x-x
2
故
求下列极限
3.
4.
计算下列定积分
5.
设
,则x=t
2
,dx=2tdt,当x=1时,t=1;x=4时,t=2,故
6.
设x=tant,则dx=sec
2
tdt,当x=0时,t=0;当x=1时,
,故
若用分部积分法,则
7.
或设lnx=t,则x=e
t
,dx=e
t
dt,当x=1时,t=0;x=e
3
时,t=3,故
8.
设x=tant,则dx=sec
2
tdt,当x=1时,
;故
9.
10.
11.
12.
设
,则x=t
3
,dx=3t
2
dt.当x=1时,t=1;当x=8时,t=3.
13.
计算下列定积分
14.
15.
16.
由
故
17.
18.
19. 不计算积分值,证明
,其中n是正整数.
设
,则dx=-dt,当x=0时,
时,t=0,故
判断下列广义积分的敛散性,若收敛,计算其值
20.
不存在,故
发散.
21.
,故积分收敛.
22.
23.
24.
,故积分收敛.
25.
因
,故积分收敛.
26.
,故积分收敛.
求平面图形的面积
27. 求由曲线y=cosx与直线y=1,
上所围成的平面图形的面积.
所围的平面图形见下图,
或
28. 求由曲线y=x
3
与直线y=x所围图形的面积.
如图所示.
解方程
利用图形的对称性,得
或
29. 求由曲线y=x
2
(x≥0)与直线y=x+1,y=0,y=1所围图形的面积.
求旋转体体积
30. 求由曲线y=x
2
与x=2,y=0所围成图形分别绕x轴,y轴旋转一周所生成的旋转体体积
如图所示,绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为
绕y轴旋转一周所得的旋转体体积为
31. 求由曲线y=lnx与直线x=e,y=0所围成图形分别绕x轴,y轴旋转一周所生成的旋转体体积.
如图所示.
32. 证明
,m,n是自然数.
设1-x=t,则x=1-t,dx=-dt;当x=0时,t=1;当x=1时,t=0.故
33. 设f(x)是连续函数,且满足
,求f(x).
由于定积分是一个数值,可设
,则f(x)=3x
2
-Ax,将两端在区间[0,1]上取定积分,得
于是,
也可对等式两端积分,得
此题的关键是将
理解为一个常数.
34. 已知
,证明
由
,后一等式两端对x求导得
即
35. 设
,n是正整数,证明
36. 设
,求该函数极值及曲线
的拐点.
由
,得y'=xe
-x
.令y'=0,得y的唯一驻点x=0.又y"=(1-x)e
-x
,y"|
x=0
=1>0,故当x=0时,为所给函数y的极小值点,此时有极小值是y|>=
令y"=0,得x=1.当x<1时,y">0;当x>1时,y"<0,又
是曲线y的拐点.
解答题
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