一、选择题6. 已知f(xy,x-y)=x
2+y
2,则
等于______
- A.2+2y
- B.2-2y
- C.2x+2y
- D.2x-2y
A B C D
A
[解析] 因f(xy,x-y)=x
2+y
2=(x-y)
2+2xy,设u=xy,v=x-y,则f(u,v)=v
2+2u,即f(x,y)=2x+y
2.由此得
,选A.
二、填空题1. 设z=(1+x)
y,则
2. 设
,则du=______.
3. 设
4. 设z=xy+x
3,则
5. 设z=f(x,y)由方程yz+x
2+z=0所确定,则dz=______.
6. 设由方程(x
2+y
2+z
3)
2-xyz=0确定z=f(x,y),则
7. 设x+y+z-e
-(x+y+z)=0,x+y+z≠0,则
8. 设z=ln(xy+lny),则
9. 设
10. 设z=cos(x
2+y
2),则
11. 函数z=2xy-3x
2-3y
2+20的极______值是______.
大 20
[解析] 由
为驻点.
又z"
xx=-6=A,z"
xy=2=B,z"
yy=-6=C,B
2-AC=-32<0,则z在(0,0)取得极值.
因A=-6<0,极大值是20.
12. 设x+y+z-e
-(x+y+z)=0,x+y+z≠0,则
0
[解析] 由
13. 设事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(B|A)=0.5,则P(A+B)=______.
14. 若事件A,B为对立事件,且P(A)>0,则P(B|A)=______.
三、解答题求下列函数的定义域,并画出图形.1.
解 由
,得y
2≥x,再由x≥0,得所求函数的定义域
D={(x,y)|y
2≥x≥0}
D是一个无界闭区域(如图).
2.
解 在
,y≠0.
在arccos(1-y)中,由-1≤1-y≤1
0≤y≤2.
所求定义域
D={(x,y)|-y
2≤x≤y
2,0<y≤2}
D是一个有界区域(如图),注意D不含(0,0)点.
3.
解 注意到x≠0及1+xy>0,所求定义域为
D={(x,y)|xy>-1,x≠0}
D是一个无界区域(如图),D不含y轴及xy=-1.
4. 设f(x,y)=x(x+y
2),求f(x+y,xy).
解 函数的要素之一是对应法则,而用什么字母表示是不重要的,因此,所给函数关系可表示为
f(u,v)=u(u+v2)
令u=x+y,v=xy,代入上式得
f(x+y,xy)=(x+y)(x+y+x2y2)
5. 设f(x+y,x-y)=x(x+y
2),求f(x,y).
解 设
代入所给函数,则
再将u,v换为x,y,得
6. 求z=3x
2+5xy+y
3在点(0,2)的偏导数.
解
7. 求
在(0,0)的偏导数.
解1
下面给出一种方法,它可以化简本题的计算.
设z=f(x,y)的一阶偏导数存在,则
证明是简单的,从略.
上述结果表明,求f(x,y)在(a,b)关于x的偏导数值时,可先将y=b代入得f(x,b),再对x求导数后,代入x=a即可.对y的情形类似.这在实际计算中,可使求偏导数的工作量减少.对本题,我们有
解2 设
8. 求
的偏导数.
解
9. 求z=(x
2+y
2)
xy的偏导数.
解1 将函数变形z=e
xyln(x2+y2),把y看作常数,
又因x与y轮换对称,在上式中,将x换为y,y换为x,可得
解2 引入中间变量,设u=x
2+y
2,v=xy,则z=u
v是x与y的复合函数,由复合函数求导法
解3 用全微分不变性求解:
dz=d(u
v)=vu
v-1du+u
vlnudv
其中du=d(x
2+y
2)=2xdx+2ydy
dv=d(xy)=ydx+xdy
故
因全微分形式不变性
将上面两个dz比较即得
解4 由z=u
v,取对数得lnz=vlnu,再利用隐函数求导法,得
类似可得
10. 设
11. 设
解
12. 设
和z的全微分.
解1 把x和y分别看作常数
解2
解3 dz=a[x(e
yy
-2)]=e
yy
-2dx+x(e
yy
-2-2e
yy
-3)dy
=e
yy
-3[ydx+x(y-2)dy].
13. 求
的全微分.
解
对该例,注意到
对上式两端直接微分即得所求结果.
14. 求由
确定的隐函数y=f(x)的导数.
解1 直接利用公式,如隐函数y=f(x)由方程F(x,y)=0所确定,则
设
故
解2 在方程的两端求y关于x的导数,视y为x的函数,利用复合函数求导法则求导,解出
整理得
解3 利用全微分形式不变性,当求出全微分时,同时求出了偏导数.
两端微分,得
整理即得
15. 设由方程xy+yz+zx=2确定函数z=f(x,y),求
解1 设F(x,y,z)=xy+yz+zx-2=0,
则
F'
x=y+z,F'
y=x+z,F'
z=y+x
故
解2 在方程的两端求z关于x的偏导数,
故
类似可由
16. 设z=f(x,y)是由F(x+mz,y+nz)=0确定,其中F是可微函数,m,n是常数,mF'
1+nF'
2≠0,F'
1表示F对x+mz求偏导数,F'
2表示F对y+nz求偏导数,求
.
解1 F'
x=F'
1,F'
y=F'
2,F'
z=mF'
1+nF'
2,
由隐函数求偏导数公式,有
故
解2
其余步骤类似解1,略.
17. 设方程x
2z+y+2y
2z
2=0确定函数z=f(x,y),求dz.
解1 两端微分,得
d(x
2z)+dy+d(2y
2z
2)=2xzdx+x
2dz+dy+4yz
2dy+4y
2zdz=0.
由此解出
解2 对x,y分别求偏导数,得
故由全微分公式,