一、填空题1. 设曲线y=x
3+ax
2-9x+1在x=1有拐点,则拐点是______.
(1,-10)
[解析] 由y'=3x2+2ax-9,y"=6x+2a,令y"|x=1=6+2a=0,则a=-3.
当x<1时,y"<0,当x>1时,y">0,故(1,-10)是曲线y=x3-3x2-9x+1的拐点.
2. 曲线
处的切线方程是______.
y=1
[解析] 由
,切线方程是y=1.
3. 函数
的极小值点是______.
x=0
[解析] 由
,令f'(x)=0,得驻点x=0.又
,f"(0)=1>0,故x=0是
的极小值点.
4. 函数
在区间[0,2]上的最大值是______.
[解析] 由f'(x)=x
2+1>0,故f(x)在[0,2]单调增加,最大值在右端点取得,
5. 若∫f(x)dx=arccos(2x)+c,则f(x)=______.
[解析] 对等式两端求导得
6. ∫x
2e
2x3dx=______.
[解析]
7.
ln|x+cosx|+c
[解析]
8.
[解析]
9. 若∫f(x)dx=a
x+log
ax+c,则f(x)=______.
10. 设f(x)是连续函数,则[∫f(x
2)dx]'=______.
12. ∫x|x|dx=______.
[解析] 因为
故
因原函数连续,得
,故c
1=c
2,于是
13. 设∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f(2x+3)dx=______.
[解析] 设2x+3=t,则
,故
14. 设
,则f(x)=______.
e3x
[解析] 由
=∫f'(lnx)d(lnx)=f(lnx)+x
3+c=e
lnx3+c=e
3lnx+c,故f(lnx)+c=e
3lnx+c,即f(x)=e
3x.
15. 设f'(cos
2x)=sin
2x,则f(x)=______,(0≤x≤1).
[解析] 因f'(cos
2x)=sin
2x=1-cos
2x,得f'(x)=1-x,
16.
[解析] 设
,则x=t
2,dx=2tdt,故
17. ∫xlnxdx=______.
[解析]
18. ∫xf(x
2)f'(x
2)dx=______.
[解析]
19. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则
0
[解析]
20.
[解析]
21. 设∫
a0x(2-3x)dx=2,则a=______.
-1
[解析] 由
又∫
a0(2-3x)dx=2,故a
2-a
3=2,即a
3-a
2+2=(a+1)(a
2-2a+2)=0解得a=-1.
22. 设
,则f'(x)=______.
23. 设
,则f"(x)=______.
cosx(cos2x-2sin2x)
[解析] f'(x)=sinxcos2x,f"(x)=cosx(cos2x-2sin2x).
24. 极限
[解析]
25. 设f(x)=∫
0xte
-t2dt,则当x=______时,f(x)有极值______.
0,0
[解析] 因f'(x)=-xe-x2,令f'(x)=0,得驻点x=0,当x<0时,f'(x)>0;当x>0时,f'(x)<0,故当x=0时,f(x)取得极大值0.
26.
a+b
[解析]
27.
ee(1-e-1)
[解析]
28.
[解析]
29. 设
[解析]
30.
[解析]
31.
[解析]
32.
[解析]
33. 直线y=x与曲线y=x+sin
2x在0≤x≤π范围内所围平面图形的面积A=______.
[解析]
34. 二元函数
的定义域是______.
35. 设f(x+y,xy)=x
2+3xy+y
2+6,则f(x,y)=______.
x2+y+6
[解析] 因f(x+y,xy)=(x+y)2+xy+6,故f(x,y)=x2+y+6.
36. 设
37. 设z=x
yy
x,则
xyyx-1(x+ylnx)
[解析]
38. 设
,其中u=xy,v=x+y,f(u),g(v)是可微函数,则
=______.