二、解答题1. 计算
2. 计算
3. 计算
4. 计算
5. 计算
6. 计算
7. 计算
9. 计算
因
(无穷小量与有界量乘积的极限是零),
故
10. 计算
当x→0
+时,e
sinx-1~sinx,故
11. 计算
12. 设
确定常数k的值,使f(x)在x=0处连续.
因
,但f(0)=k,故当k=2时,f(0-0)=f(0)=f(0+0)=2,f(x)在x=0处连续.
13. 设y=cos
2(1-x),求y'.
y'=2cos(1-x)[-sin(1-x)](-1)=sin[2(1-x)].
15. 设y=sin
2(x
3),求y'和y".
y'=2sin(x3)cos(x3)·3x2=3x2sin(2x3),
y"=3[2xsin(2x3)+x2cos(2x3)6x2]=6x[sin(2x3)+3x3cos(2x3)].
16. 设f(x)=e
2x-1,求f"(0).
f'(x)=2e2x-1,f"(x)=4e2x-1,f"(0)=4e-1.
17. 设y=(lnx)
x,求dy.
等式两端取对数,得lny=xln(lnx),再对x求导,得
,故
18. 设
由
19. 设
,其中f(x)是连续函数,求F'(x).
F'(x)=f(ex)·ex-f(x2)·2x=exf(ex)-2xf(x2).
20. 设f(x)=arcsinx,
,求f'(g'(x)).
因
21. 设f(x)=(x
2001-1)g(x),其中g(x)在x=1处可导且g(1)=1,求f'(1).
因f'(x)=2001x2000g(x)+(x2001-1)g'(x),故f'(1)=2001.
22. 设y=y(x)是由方程e
xy=x+y所确定的隐函数,求dy.
由e
xy(ydx+xdy)=dx+dy,得
23. 设函数y=e
f(sin2x),其中f(u)可导,求y'.
y'=2ef(sin2x)(sin2x)cos2x.
25. 设函数
,求f'(π).
26. 设y=(1+x
2)arctanx,求y".
y'=2xarctanx+1,
27. 设函数y=y(x)由方程sin(x
2+y)=xy确定,求
由
28. 设f(x)=x
2,g(x)=2
x,求f'(g'(x)).
因f'(x)=2x,g'(x)=2xln2,故f'(g'(x))=2(2xln2)=2x+1ln2.
29. 求函数f(x)=xlnx的极值.
由f'(x)=1+lnx,令f'(x)=0,得
,故当x=
时,f(x)取得极小值
.
30. 求函数y=x-ln(x-1)的单调区间、极值和曲线的凹凸区间.
函数的定义域是(1,+∞).
由
,令y'=0,得驻点x=2.当1<x<2时,y'<0,故y单调减少;
当x>2时,y'>0,故y单调增加.固此,y有极小值y(2)=2.
由
知,在(1,+∞)内,曲线是上凹的.
31. 计算
32. 计算
33. 计算