解答题3. 计算
5. 计算
6. 计算
7. 计算
.
9. 计算
设
,则x=t
2-1,dx=2tdt,故
10. 计算
11. 计算
12. 计算
13. 计算
14. 设
求∫
1-1f(x)dx.
15. 计算广义积分
因
16. 计算广义积分
因∫xe
-xdx=-(xe
-x-∫e
-xdx)=-xe
-x-e
-x+c,故
17. 设
18. 设
,ψ(u)是可微函数,求
19. 设
,求z'
y.
设u=xy,
20. 设函数z=xe
-xy+sin(xy),求dz.
因
故
dz=[e
-xy(1-xy)+ycos(xy)]dx+[-x
2e
-xy+xcos(xy)]dy.
21. 设函数
22. 设函数z=x
lny,求
23. 设函数z=z(x,y)由方程x
2+z
2=2ye
z确定,求dz.
由2xdx+2zdz=2[e
zdy+ye
zdz],得
24. 设函数z=z(x,y)由方程e
-xy-z+e
z=0确定,求dz.
设F(x,y,z)=e
-xy-z+e
z≡0,
因F'
x(x,y,z)=-ye
-xy,F'
y(x,y,z)=-xe
-xy,F'
z(x,y,z)=-1+e
z,
故
25. 设函数z=z(x,y)由方程e
z+xy
2+lnz=0确定,求
由
由
26. 若极限
,求常数a,b的值.
由
若上式极限为0,则1-a
2=0及1+2ab=0,解得a=±1,
27. 求函数
的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点.
函数y的定义域是(0,+∞).
,令y'=0,得驻点x=e.
.故x=e是极大值点,极值是
当0<x<e时,y'>0,故y单调增加;当x>e时,y'<0,故y单调减少.
令y"=0,得
,y"<0,曲线在
内是下凹的(凸的或上凸的);
当
时,y">0,曲线在
内是上凹的(凹的或下凸的).拐点是
列表如下:
28. 求函数y=x
3-2x
2的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点.
函数y的定义域是(-∞,+∞).
y'=3x
2-4x=x(3x-4),令y'=0,得驻点x
1=0,
y"=6x-4,y"|
x=0=-4<0,故x=0是极大值点,极值是y=0;
故
是极小值点,极值是
当-∞<x<0时,y'>0;当
时,y'>0,故y的单调增加区间是
,y'<0,故y的单调减少区间是
.
令y"=0,得
,y"<0,曲线在
内是下凹的;当
时,y">0,曲线在
内是上凹的.拐点是
,列表如下.
29. 求函数
在[0,1]上的最小值和最大值.
因
,(x∈[0,1]),函数f(x)在[0,1]单调增加,故在[0,1]上有最小值
有最大值
31. 证明
设arccosx=t,则x=cost,dx=-sintdt,当x=0时,
;当x=1时,t=0,故
32. 证明
设
,故
另证:设
.当x>0时,
故f(x)=c.又f(1)=0,即f(x)=0,此即
33. 设
34. 求曲线
与y=x围成的平面图形的面积A以及该平面图形分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积V
x和V
y.
平面图形见下图.
35. 求由直线x=0,x=2,y=0与抛物线y=1-x
2所围成的平面图形(如图所示的阴影部分)的面积A,以及该图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积V
x和V
y.
36. 设函数
37. 设函数
,其中f(u),g(v)是可导函数,证明
38. 设函数z=f(x
2-y
2),其中f(u)是可导函数,证明
39. 某班级有学生50人,其中男生30人,10个是团员,女生20人中有团员15人.现从中选一人参加校团代会,已知选出的是女生,问选出的人是团员的概率是多少?
设A=“选出的是团员”,B=“选出的是女生”,则所求的概率为P(A|B).
在缩小的样本空间(女生)中直接计算可立即得到