一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.3. ∫sin2xdx=______
A.-sin
2x+C
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
故选B.
4. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是______
A.
B.f(x)=(x-4)
2,x∈[-2,4]
C.f(x)=sinx,
D.f(x)=|x|,x∈[-1,1]
A B C D
C
[解析] 罗尔定理条件主要检查三条.A中
在x=0处无定义;B中f(x)=(x-4)
2 ,
f(-2)=36≠f(4)=0;C中f(x)=sinx在
上连续,在
内可导且
;D中f(x)=|x|在[-1,1]上不可导.故选C.
6. 微分方程
的通解为______
- A.2(x3-y2)+3(x2-y3)=C
- B.2(x3-y3)+3(y2-x2)=C
- C.2(x3-y3)+3(x2-y2)=C
- D.3(x3-y3)+2(x2-y2)=C
A B C D
C
[解析] 对原式变形得(x+x
2)dx-(y+y
2)dy=0,移项得(x+x
2)dx=(y+y
2)dy.对等式两边积分可得
从而可得2(x
3-y
3)+3(x
2-y
2)=C.
7. 平面π
1:x-2y+3z+1=0,π
2:2x+y+2=0的位置关系为______
A B C D
A
[解析] 本题考查的知识点为两平面的位置关系.
两平面的关系可由平面的法向量n
1,n
2间的关系确定.
若n
1⊥n
2,则两平面必定垂直.
若n
1∥n
2,则两平面平行.其中当
时,两平面平行,但不重合.
当
时,两平面重合.
若n
1与n
2既不垂直,也不平行,则两平面斜交.
由于n
1={1,-2,3},n
2={2,1,0),n
1·n
2=0,可知n
1⊥n
2,因此π
1⊥π
2,故选A.
9. 设
是正项级数,且u
n<v
n(n=1,2,…),则下列命题正确的是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 由正项级数的比较判别法可以得到,若小的级数
发散,则大的级数
必发散.故选B
10. 设D={(x,y)|x
2+y
2≤a
2,a>0,y≥0},在极坐标下二重积分
可以表示为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 因为D:x
2+y
2≤a
2,a>0,y≥0,令
则有r
2≤a
2,0≤r≤a,0≤θ≤π,所以
故选B.
二、填空题1. 若
则k=______.
2
[解析] 这是检查第二类重要极限的题.
所以由条件等式有e
-5k=e
-10,即5k=10,k=2.
2. 要使y=arcsinau(a>0),u=2+x
2能构成复合函数,则a取值范围是______.
[解析] 因为由常见函数y=arcsinQ(x),这里的|Q(x)|≤1,-1≤Q(x)≤1,即-1≤au≤1,0<a(2+x
2)≤1,有0<2a≤a(2+x
2)≤1,得
又由a>0可知a的取值范围为
3. 设
且f(x)在点x=0处连续,则a=______.
0
[解析] 由
f(0)=a,可知当f(x)在x=0处连续时,必有
从而a=0.
4. 已知由方程x
2+y
2=e确定函数y=y(x),则
______.
[解析] 此题是隐函数求导数的题.且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数
具体解法是:在x
2+y
2=e两侧关于x求导数,得2x+2yy'=0,
也就是
5. 已知∫f(x)dx=2
x+sinx+C,则f(x)=______.
2xln2+cosx
[解析] 这是求原函数的题,等式右侧的导数应该为f(x).即
f(x)=(2x+sinx+C)'=2xln2+cosx.
6. 设f(2)=1,
1
[解析] 由分部积分公式有:
2×1-1=1.
7. 过原点且与平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程为______.
2x-y+3z=0
[解析] 已知平面π1:2x-y+3z+5=0的法向量n1={2,-1,3}.所求平面π∥π1,则平面π的法向量n∥n1,可以取n=n1={2,-1,3}.由于所求平面过原点,由平面的点法式方程,得2x-y+3z=0为所求平面方程.
8. 函数f(x,y)=x
3+y
3-9xy+27的极小值点是______.
(3,3)
[解析] 这是二元函数求极值的题.令
解得驻点为(3,3),(0,0).f"
xx=6x,f"
xy=-9,f"
yy=6y.当
时,A=f"
xx(3,3)=18,B=f"
xy(3,3)=-9,C=f"
yy(3,3)=18,B
2-AC<0,且A=18>0,所以在(3,3)处f(x,y)取得极小值;当
时,A=f"
xx(0,0)=0,B=f"
xy(0,0)=-9,C=f"
yy(0,0)=0,B
2-AC>0,所以点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
9. 级数
绝对收敛的充要条件是______.
|a|<1
[解析] 如果想判定
是绝对收敛还是条件收敛,通常依下列步骤进行:
(1)先判定
的收敛性,如果
收敛,则可知
绝对收敛.
(2)如果
发散,再考察
的收敛性,如果
收敛,则为条件收敛.
10. 微分方程x(y')
2-2xy'+x=0的阶数是______.
1
[解析] 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数,称为这个方程的阶.
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 当x→∞时,f(x)与
为等价无穷小量,求
解 由于当x→∞时,f(x)与
为等价无穷小量,因此
[解析] 此极限是“∞·0”型,可用四则运算将其化成“
”,即
.再用等价无穷小量替换
2.
解
[解析] 本题考查如何求函数的二阶导数.
3. 设f'(cos
2x)=sin
2x,且f(0)=0,求f(x).
解 因为f'(cos
2x)=sin
2x=1-cos
2x.所以f'(x)=1-x,
又因为f(0)=0,所以C=0,
[解析] 先根据f'(cos2x)=sin2x=1-cosx2x可得f'(x)=1-x,然后再积分就可得到f(x).
4. 欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元.问场地的两边各为多少米时,才能使所用材料费最少?
解 设所围场地正面长为x,另一边为y,则xy=150,从而
设四面围墙高度相同,都是h,则四面围墙所使用的材料总费用为
f(x)=6xh+3(2yh)+3xh
则
令f'(x)=0,得驻点x
1=10,x
2=-10(舍去).
f"(10)=1.8h>0.
由于驻点唯一,由实际意义可知最小值存在,因此可知当正面长为10米,侧面长为15米时所用材料费最少.
[解析] 先用其四个面的面积乘以相应的单位面积的造价,求和写出总费用函数f(x),然后用一元函数y=f(x)求最值法,即可得解.具体解法步骤如上.
5. 已知f(x)连续,证明
[证明]
[解析] 本题考查分部积分公式.只需要将右侧被积函数整体
看成F(t),然后分部积分整理后就可等于左侧.具体解法如上.
6. 已知直线
若平面π过点M(-2,9,5)且与l垂直,求平面π的方程.
解 由题意可知,直线l的方向向量s={3,4,-7}必定平行于所求平面π的法向量n,因此可取
n=s={3,4,-7}.
利用平面的点法式方程可知
3[x-(-2)]+4(y-9)-7(z-5)=0,
即 3(x+2)+4(y-9)-7(z-5)=0为所求平面方程.
或写为一般式方程:3x+4y-7z+5=0.
[解析] 由直线的方向向量可以确定平面的法向量,进而求出平面的点法式方程.
7. 设
判定该函数的极值、单调性以及该曲线的凹向与拐点.
解 所给函数的定义域为(-∞,+∞),
令y'=0,得驻点x
1=-2,x
2=0.当x=-1时,y'不存在.
在x=-1处y"不存在,当x≠-1时,y">0.
列表分析
x
|
(-∞,-2)
|
-2
|
(-2,-1)
|
-1
|
(-1,0)
|
0
|
(0,+∞)
|
y'
|
-
|
0
|
+
|
不存在
|
-
|
0
|
+
|
y"
|
+
|
+
|
+
|
不存在
|
+
|
+
|
+
|
y
|
↘上凹
|
极小值0
|
↗上凹
|
极大值1
|
↘上凹
|
极小值0
|
↗上凹
|
由上表可知,函数y的单调递减区间为(-∞,-2),(-1,0);
单调递增区间为(-2,-1),(0,+∞).
x=-2与x=0为其两个极小值点,极小值f(-2)=0,f(0)=0;
x=-1为其极大值点,极大值f(-1)=1.
曲线在(-∞,+∞)上都是上凹的,没有拐点.
[解析] 本题考查利用函数的一阶导数y',二阶导数y"的符号来判定函数的单调性、极值、凹凸性和拐点.
8. 求y"-2y'-3y=e
x的通解.
解 其对应的齐次方程的特征方程为r
2-2r-3=0,特征根为r
1=-1,r
2=3,
相应齐次方程的通解为Y=C
1e
-x+C
2e
3x.
设方程的特解为y*=Ae
x,代入y"-2y'-3y=e
x,
得
原方程的特解
原方程的通解为
(其中C
1,C
2为任意常数).
[解析] 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解.
求解二阶常系数非齐次线性微分方程
y"+p1y'+p2y=f(x)的一般步骤:
(1)先求出其相应的齐次方程通解Y=C1y1+C2y2;
(2)再求出它的一个特解y*;
(3)y=C1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解.