一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2. 当x→0时,
与1-cosx比较,可得______
A.
是较1-cosx高阶的无穷小量
B.
是较1-cosx低阶的无穷小量
C.
与1-cosx是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量
D.
与1-cosx是等价无穷小量
A B C D
B
[解析] 因为
所以
是1-cosx的低阶无穷小量.故选B.
5. 若
收敛,则下面命题正确的是______
A.
可能不存在
B.
必定不存在
C.
存在,但
D.
A B C D
D
[解析]
收敛,
故选D.
6. 设函数
在x=0处连续,则a的值为______
A.-2
B.2
C.
D.
A B C D
A
[解析] ∵f(x)在x=0处连续,所以
又∵f(0)=2,∴-a=2,a=-2.故选A
8. 交换二次积分次序:
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] 由所给积分限可知积分区域D可以表示为:0≤x≤1,0≤y≤x,其图形如图所示.交换积分次序可得
故选C.
二、填空题1.
2
[解析] 由于所给极限为“
”型极限,由极限的四则运算法则有
2. 比较积分大小:
>
[解析] 因为在[1,2]上lnx>(lnx)
3,所以
3. 设
则y'=______.
[解析]
4. 设z=y
2x,则
2xy2x-1
[解析] 求
只需将x看作常数,因此y
2x可看作是幂函数,故
5. 设
则其在区间[0,2]上的最大值为______.
[解析] 由
知
所以y在[0,2]上单调递减.于是y
max=y|
x=0=arctan1=
.
6. 微分方程y"+y'+y=0的通解为______.
(其中C
1,C
2为任意常数)
[解析] 特征方程为r
2+r+1=0,解得:
所以通解为
(其中C
1,C
2为任意常数).
7. 设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则该切线方程为______.
y=f(1)
[解析] 因为曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以y'(1)=0,即斜率k=0,则此处的切线方程为y-f(1)=0(x-1)=0,即y=f(1).
8. 过点M
0(1,-2,0)且与直线
垂直的平面方程为______.
3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)
[解析] 因为直线的方向向量s={3,-1,1},且平面与直线垂直,所以平面的法向量n={3,-1,1}.由点法式方程有平面方程为:3(x-1)-(y+2)+(z-0)=0,即3(x-1)-(y+2)+z=0.
9. 级数
的收敛区间为______.(不包括端点)
(1,3)
[解析] 级数
的一般项
则由比值法有:
即当|x-2|<1时收敛,所以有-1<x-2<1,即1<x<3.
故收敛区间为(1,3).
10. 设二元函数z=ln(x+y
2),则
dx
[解析] 由于
函数z=ln(x+y
2)的定义域为x+y
2>0.在z的定义域内
为连续函数,因此dz存在,且
又由于
故
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 设
,求f'(x).
解 令u=x
2,则f(x
2)=f(u).由于
由题设有
[解析] 这是一道一般形式的复合函数求导和求函数值的小综合题.
即
则
当然也可用上面的解法.
2. 计算
解 令
,x=t
2,dx=2tdt.
当x=4时,t=2;当x=9时,t=3.
则有
[解析] 本题采用凑微分法.即
,也可采用上面的方法来解.
3. 设f(x)=e
3x,求
解法一 直接求解法
f'(x)=3e
3x,
f'(lnx)=3e
3lnx=3x
3,
解法二 利用换元积分法
[解析] 本题属于求函数值与积分的小综合题.可采用下面两种方法:(1)直接求解法;(2)用换元积分法.
4. 试证:|arctan b-arctan a|≤|b-a|.
[证明] 对于所给不等式,可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设y=f(x)=arctanx,不妨设a<b.则y=arctanx在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导.进而可知,y=arctanx在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件,因此必定存在点ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).由于
从而有
由于1+ξ≥1,因此
|arctanb-arctana|≤|b-a|.
[解析] 由于拉格朗日中值定理描述了函数的增量与自变量的增量及导数在给定区间内某点值之间的关系,因而微分中值定理常可用来证明某些有关可导函数增量与自变量的增量,或它们在区间内某点处函数值有关的等式与不等式.
5. 计算
其中D为x
2+y
2≤2y与x≥0的公共部分.
解 采用极坐标,则D可表示为
0≤r≤2sinθ,
[解析] 本题考查极坐标系下二重积分的计算.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的步骤:
(1)将x=rcosθ,y=rsinθ代入被积函数;
(2)将积分区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式,确定相应的积分限;
(3)将面积元dxdy换为rdrdθ.
6. 设z=f(u,v),而u=x
2y,
其中f(u,v)存在偏导数,求
解 由复合函数的链式法则有
由于所给z=f(u,v)为抽象函数,而
于是
[解析] 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法.题中已给出u=x
2y,
所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可.
7. 判定级数
的收敛性.若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?
解 所给级数是任意项级数,不是交错级数.由于
又由于
的p级数,因而收敛.由正项级数的比较判别法可知
收敛,从而
绝对收敛.
[解析] 这是一道任意项级数判断敛散性的题,首先清楚如果给了一个任意项级数
那么先看看
是否收敛.如收敛,则原级数
绝对收敛.如
发散,但原级数
收敛,则称
条件收敛.
8. 求y"+6y'+13y=0的通解.
解 特征方程为r2+6r+13=0,故r=-3±2i为共轭复根,
于是通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).
[解析] 本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解.