一、选择题在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.3. 设f(x)在点x
0处连续,则下面命题正确的是______
A.
可能不存在
B.
必定存在,但不一定等于f(x
0)
C.
必定存在,且等于f(x
0)
D.f(x)在点x
0处一定可导
A B C D
C
[解析] 由连续函数定义可知:f(x)在x
0处连续应有
C项正确;函数连续并不一定函数可导,D项错误.所以选C.
4. 由点A(x
1,y
1,z
1),B(x
2,y
2,z
2)确定向量
,则
______
A.
B.
C.
D.(x
2-x
1)
2+(y
2-y
1)
2+(z
2-z
1)
2 A B C D
B
[解析] 由A(x
1,y
1,z
1),B(x
2,y
2,z
2),可知
={x
2-x
1,y
2-y
1,z
2-z
1),则
故选B
6. 幂级数
在点x=3处收敛,则级数
______
- A.绝对收敛
- B.条件收敛
- C.发散
- D.收敛性与an有关
A B C D
A
[解析] 因为
在x=3处收敛,即
所以由常数级数中几何级数
知
是绝对收敛的.故选A.
7. 设y=lnx,则y"______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析] y=lnx,
故选C.
9. 设函数f(x)=e
2x,则不定积分
______
- A.2ex+C
- B.ex+C
- C.2e2x+C
- D.e2x+C
A B C D
B
[解析] f(x)=e
2x.令
,则
C=e
x+C.故选B.
10. 设
则f(x,y)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[解析]
令x+y=u,x-y=v,则有f(u,v)=
故选C.
二、填空题1. 设z=x
2+y,则
1
[解析] 由于z=x
2+y,求
时,只需将x认定为常量,因此将x
2对y求偏导数得0,故
2. 设y=2
x·x
2+sin2,则y'______.
2xx2ln2+2x+1x
[解析] 已知y=2x·x2+sin2,则y'=2xln2·x2+2x·2x=2xx2ln2+2x+1x.
3.
1-e-1
[解析] 解法一 利用凑微分法.
解法二 利用定积分换元法.
设t=-x,则dx=-dt.当x=0时,t=0;当x=1时,t=-1,因此
4. 函数y=x
3-2x+1在区间[1,2]上的最小值为______.
0
[解析] y'=3x
2-2,令其为0,得驻点
分别将
,x=1,x=2代入y=x
3-2x+1,得当x=1时,y值最小,最小值为0.
5. 设
且k为常数,则k=______.
[解析]
6. 微分方程y"+2y'=0的通解为______.
y=C1+C2e-2x
[解析] 二阶齐次方程y"+2y'=0,特征方程为r2+2r=0,解得r1=0,r2=-2,
所以其通解y=C1e0+C2e-2x=C1+C2e-2x.
7. 设
在x=0处连续,则k=______.
1
[解析] 由连续的三要素及f(0-0)=1=f(0+0)=f(0),得k=1.
8. 设
则dz=______.
9. 级数
的收敛区间为______.
(-∞,+∞)
[解析] 因为
所以R=∞,即收敛区间为(-∞,+∞).
10. 过点(1,-1,0)与直线
垂直的平面方程为______.
x-2y+3z-3=0或(x-1)-2(y+1)+3z=0
[解析] ∵直线垂直于平面π,∴π的法向量即为直线的方向向量,即n=s={1,-2,3},且点(1,-1,0)在平面π上∴(x-1)-2(y+1)+3z=0.
三、解答题共70分.解答应写出推理、演算步骤.1. 计算
解法一 令
则x=t
2,dx=2tdt.
当x=1时,t=1;当x=4时,t=2.
于是
解法二
[解析] 本题考查定积分的计算.可以利用换元积分法或凑微分法进行计算,注意换元时要将积分上、下限也随之变换.
2. 试证:当x>0时,有不等式
[证明] 先证x>sinx(x>0).
设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0(x>0),
所以f(x)为单调递增函数,于是对x>0有f(x)>f(0)=0,
即 x-sinx>0,亦即x>sinx(x>0).
再证
令
g'(x)=cosx-1+x,
则 g"(x)=-sinx+1≥0,
所以g'(x)单调递增,又g'(0)=0,可知g'(x)>g'(0)=0(x>0),那么有g(x)单调递增.又g(0)=0,
可知g(x)>g(0)=0(x>0),
所以
即
综上可得:当x>0时,
[解析] 可将不等式分成两部分来证,即x>sinx,sinx>
分别设f(x)=x-sinx和
,然后再分别求导数,利用单调性思想即可证出.
3. 已知直线
平面π:-nx+2y-z+4=0,试确定m,n的值,使得直线L在平面π上.
解 要使直线L在平面π上,只要直线L平行于平面π,且有一点在平面π上即可.
直线L的方向向量为s={2,-1,m},平面π的法线向量为n={-n,2,-1},由直线平行于平面π得
s·n=0,
即 -2n-2-m=0 ①
又点P(1,-2,-1)为直线L上的点,把此点的坐标代入平面π的方程得
-n-4+1+4=0 ②
联立①,②解得
[解析] 此题的关键是抓住直线L在平面π上,即意味着满足两个条件:其一,直线L与平面π平行;其二,直线L上的点也满足平面π的方程.这样即可由下面方法求得m,n的值.
4. 已知f(π)=1,且
求f(0).
解 因为
而
所以
又 f(π)=1,所以f(0)=2.
[解析] 由于
对
采用凑微分和分部积分后与
相加,代入条件即可求出f(0).
5. 设f(x,y)=cos(x
2y),求
[解析] 在做此题时要注意,对谁求偏导数只需把谁看成变量,其他都看成常数,用一元函数求导的方法求导即可.
6. 求函数y=x
3-3x
2-9x+1的极值.
解 由于y=x3-3x2-9x+1的定义域为(-∞,+∞),y'=3x2-6x-9,令y'=0,得驻点x1=-1,x2=3,y"=6x-6,y"(-1)<0,y"(3)>0,故f(-1)=6为极大值,f(3)=-26为极小值.
[解析] 利用导数判定函数y=f(x)极值的步骤:
(1)求出y=f(x)的定义域.
(2)求出y'=f'(x).在函数的定义域内,求出导数不存在的点及函数的驻点.
(3)判定上述点两侧导数的符号,利用极值的第一充分条件判定其是否为函数的极值点.
(4)如果驻点处函数的二阶导数易求,可利用极值的第二充分条件判定其是否为函数的极值点.
(5)将极值点横坐标代入函数表达式求出相应函数值.
7. 将函数f(x)=ln(1+x-2x
2)展开为x
0=0的幂级数.
解 因为1+x-2x
2=(1+2x)(1-x),
所以ln(1+x-2x
2)=ln(1+2x)+ln(1-x).
由
得
故
[解析] 因为我们已知ln(1+x)和ln(1-x)的展开式,所以首先将f(x)化成上述形式.即ln(1+x-2x2)=ln[(1+2x)(1-x)]=ln(1+2x)+ln(1-x).然后套用已知展开式.这是间接展开的方法.
8. 设f(x)为连续函数,且满足
试求f(x).
解 由所给关系式两边求导,得
上式再次求导,得
f"(x)=f(x)+6x,
即 f"(x)-f(x)=6x,
这是二阶常系数非齐次线性微分方程,对应齐次方程为
f"(x)-f(x)=0,
其特征方程为λ
2-1=0,有两个根λ
1=1,λ
2=-1.
于是齐次方程的通解为
f(x)=C
1e
x+C
2e
-x(C
1,C
2为任意常数).
由于λ=0不是特征根,设f'(x)=Ax+B,
把它代入所给方程,得-Ax-B=6x,
比较同次幂系数,得A=-6,B=0,
于是求得一特解为f
*(x)=-6x,
故所给方程f"(x)-f(x)=6x的通解为
f(x)=C
1e
x+C
2e
-x-6x(C
1,C
2为任意常数).
又由题设及f'(x)表达式,知f(0)=0,f'(0)=0,从而得
解得
故f(x)=3e
x-3e
-x-6x.
[解析] 这是一道较为综合的题.先在等式两边求关于x的二阶导数f"(x),用到变上限积分公式,即
.得到一个二阶非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x.然后再求它的通解.再由条件f(0)=0,f'(0)=0就可求出f(x).